Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $1$. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }A}$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec{a}=-3\vec{i}+5\vec{j}+\vec{k}$. Độ dài của $\vec{a}$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $M(2;1;-1)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho vectơ $\vec{a}=(2;-1;3)$, $\vec{b}=(1;3;-2)$. Tọa độ của vectơ $\vec{c}=\vec{a}-2\vec{b}$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$. Biết $A(1;2;1)$, $B(2;0;-1)$, $C(6;1;0)$ và diện tích hình thang $ABCD$ bằng $6\sqrt{2}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Một ống dẫn nước $OAB$ được cố định vào một bức tường đồng thời được đặt trong hệ tọa độ $Oxyz$ và có các kích thước như hình vẽ.

- Đoạn ống $OA$ nằm trên tia $Oy$ (vuông góc với tường), có chiều dài $OA=10\text{ dm}$.
- Đoạn ống $AB$ nối tiếp với $OA$, có chiều dài $AB=6\text{ dm}$. Ống $AB$ vuông góc với $OA$ và hướng xuống dưới, tạo với mặt phẳng nằm ngang $(Oxy)$ một góc $60^{\circ }$.
- Đầu $B$ của ống được giữ cố định bởi một thanh sắt nối với điểm $C$ trên tường. Biết điểm $C(4;0;5)$. (Đơn vị trên các trục là $\text{dm}$).

Hình vẽ dưới đây mô tả một căn phòng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $AB=3\text{ m}$, $B{B}^{\prime }=BC=4\text{ m}$, tại $C$ có một tổ kiến.

Kiến 1 xuất phát từ $A^{\prime }$ bò về tổ với vận tốc $0,02\text{ m/s}$ trên hai đoạn thẳng liên tiếp $A^{\prime }B,BC$. Kiến 2 xuất phát từ $D$ bò về tổ với vận tốc $0,06\text{ m/s}$ trên hai đoạn thẳng liên tiếp $D{C}^{\prime },C^{\prime }C$. Biết rằng, hai con kiến xuất phát cùng một lúc. Hỏi, khi kiến 2 còn cách tổ $1\text{ m}$ thì khoảng cách giữa hai con kiến là bao nhiêu $\text{m}$? (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;4)$, $B(4;5;-2)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(1;-1;2)$, $\vec{v}=(2;-1;-3)$. Tính độ dài của vectơ $3\vec{u}+\vec{v}$.

Câu 11. Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (xem hình bên dưới). Phát biểu nào sau đây là đúng?

Câu 4. Trong không gian chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước, trong đó xem mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 km, một ra đa được đặt tại vị trí gốc tọa độ $O$ phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;10)$ đến điểm $N(300;800;10)$ trong 40 phút.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, một vật được treo bằng ba sợi dây không dãn, mỗi sợi dây có một đầu lần lượt được gắn tại các điểm $A(-2;-1;0)$, $B(2;-1;0)$, $C(0;4;0)$, còn đầu kia được gắn với vật tại điểm $D(0;0;-4)$ như hình vẽ (trong đó mặt phẳng $(Oxy)$ song song với mặt đất, trục $Oz$ hướng thẳng lên trên). Biết rằng mỗi sợi dây được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 15 N. Để không dây nào bị đứt thì trọng lượng tối đa của vật bằng bao nhiêu Niutơn? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười).

Câu 9. Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }.Vectơ$$\vec{u}$ = $\overrightarrow{A^{\prime }A}$ + $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ + $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$$ bằng vectơ nào dưới đây?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, khoảng cách giữa hai điểm $A(-2;-3;9)$ và $B(-2;3;1)$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tọa độ các đỉnh $A(1;-1;3)$, $B(0;2;4)$, $D(2;-1;1)$ và $A^{\prime }(0;1;2)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $\overrightarrow{OM}=6\vec{j}+4\vec{i}-3\vec{k}$. Toạ độ của điểm $M$ là

Nhà bác An được mô tả như hình vẽ bên dưới, trong đó phần thân nhà là hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$. Ngôi nhà được lợp ngói hai mái là hai hình chữ nhật $PEHQ$ và $PFGQ$, biết tam giác $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Gọi $T$ là trung điểm của cạnh $DC$. Các kích thước của nhà lần lượt là $AB=6\text{m},AE=5\text{m},AD=8\text{m},QT=7\text{m}$. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho gốc tọa độ là điểm $O$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $OA=2\text{m}$ và các trục tọa độ tương ứng là các trục $Ox,Oy,Oz$.



Khi đó:

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$ bằng

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho vectơ $\vec{a}$ thỏa mãn $\vec{a}=4\vec{i}+3\vec{j}-5\vec{k}$. Tọa độ vectơ $\vec{a}$ là

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $2$. Gọi $I$ là tâm của đáy $ABCD$. Vectơ tổng $\vec{a}=\overrightarrow{I{A}^{\prime }}+\overrightarrow{I{C}^{\prime }}$ có độ dài bằng