Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục toạ độ gốc O tại trung điểm AB trên mặt đất, trục Oy đi qua đỉnh parabol. Đỉnh parabol có cao 4m nên đỉnh là (0;4), parabol có dạng y = ax² + 4 (a < 0). Cửa chính rộng 4m, cao 3m nên hai đỉnh trên của cửa chính có hoành độ x = ±2 và nằm trên parabol với tung độ y = 3. Thay vào: 3 = a·4 + 4 ⇒ a = -1/4. Vậy y = -x²/4 + 4. Hai chân cổng A, B nằm trên mặt đất y = 0: -x²/4 + 4 = 0 ⇒ x² = 16 ⇒ x = ±4. Khoảng cách AB = 4 - (-4) = 8 (m). Kết quả trùng với đáp án nguồn là 8.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $(P):y^2=6x$ có $2p=6\Rightarrow p=3$. Đường chuẩn của parabol là đường thẳng $x=-\frac{p}{2}=-\frac{3}{2}$. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường chuẩn $x=-\frac{3}{2}$ là $d=\left|0+\frac{3}{2}\right|=\frac{3}{2}=1,5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: 1,5.

Gọi $r$ và $R$ lần lượt là bán kính nóc và bán kính đáy của tháp. Ta tính được khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng 40 m và khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy bằng 80 m.
Tọa độ 2 điểm $M(R;-80)$ và $N(r;40)$ lần lượt nằm trên đường tròn đáy và đường tròn nắp của tháp. Đồng thời 2 điểm $M(R;-80)$ và $N(r;40)$ cũng thuộc hypebol nên thay vào phương trình hypebol ta tính được:
$$R=30\sqrt{1+\frac{(-80{)}^2}{50^2}}\approx 57(\text{m})$$
$$r=30\sqrt{1+\frac{40^2}{50^2}}\approx 38(\text{m}).$$

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (vế trái là hiệu hai bình phương, vế phải bằng $1$). Xét các phương án: A có $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=-1$ (vế phải là $-1$, không phải chính tắc); B và D có dạng tổng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ là phương trình elip; C có $\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{2}=1$ đúng dạng hypebol chính tắc với $a^2=7,b^2=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 0123, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục toạ độ với đỉnh parabol tại gốc $O$, trục $Oy$ hướng xuống, parabol có dạng $y=-a{x}^2$ (đỉnh tại $(0;0)$, nhánh hướng xuống). Chiều cao cổng là $4m$ nên chân cổng nằm trên đường thẳng $y=-4$. Cửa chính cao $3m$ nên mép trên cửa chính nằm tại $y=-3+1=-1$ (cách đỉnh $4-3=1m$), và rộng $4m$ nên hai mép cửa chính có hoành độ $x=\pm 2$. Thay điểm $(2;-1)$ vào $y=-a{x}^2$: $-1=-a(2{)}^2\Rightarrow a=\frac{1}{4}$. Vậy $y=-\frac{x^2}{4}$. Tại chân cổng $y=-4$: $-4=-\frac{x^2}{4}\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=\pm 4$. Khoảng cách $AB=4-(-4)=8m$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (8).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $(P):y^2=6x$ có $2p=6\Rightarrow p=3$. Đường chuẩn của parabol là đường thẳng $x=-\frac{p}{2}=-\frac{3}{2}=-1,5$. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường chuẩn $x=-1,5$ (tức $x+1,5=0$) là $d=\frac{|0+1,5|}{\sqrt{1^2+0^2}}=1,5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (1,5).

Gọi $r$ và $R$ lần lượt là bán kính nóc và bán kính đáy của tháp. Ta tính được khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng 40 m và khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy bằng 80 m.
Tọa độ 2 điểm $M(R;-80)$ và $N(r;40)$ lần lượt nằm trên đường tròn đáy và đường tròn nắp của tháp. Đồng thời 2 điểm $M(R;-80)$ và $N(r;40)$ cũng thuộc hypebol nên thay vào phương trình hypebol ta tính được:
$$R=30\sqrt{1+\frac{(-80{)}^2}{50^2}}\approx 57(\text{m})$$
$$r=30\sqrt{1+\frac{40^2}{50^2}}\approx 38(\text{m}).$$

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$ (trục lớn trên Ox). Các phương án A, B là phương trình của hyperbol, phương án D vô nghiệm vì vế trái không âm. Đáp án khớp với đáp án của đề (mã 0115, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (vế phải bằng 1, hai vế trái trái dấu). Xét các phương án: A có $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=-1$ (vế phải $-1$, không phải dạng chính tắc); B có $\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{2}=1$ thỏa mãn dạng chính tắc của hypebol; C và D có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ là phương trình chính tắc của elip. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0115, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: gốc $O$ là trung điểm của $BC$, trục $Ox$ nằm trên mặt đất, trục $Oy$ là trục đối xứng của parabol đi qua đỉnh $A$. Khi đó $B(-5;0)$, $C(5;0)$, $A(0;H)$ với $H=AH$ là chiều cao cổng. Parabol có dạng $y=a(x^2-25)$ (đi qua hai chân $B$, $C$). Điểm $M$ trên thân cổng có $MK=18$ (khoảng cách tới mặt đất) và $BK=1$ nên $M$ có hoành độ $x=-5+1=-4$, tung độ $y=18$, tức $M(-4;18)$. Thay vào phương trình: $18=a(16-25)=-9a\Rightarrow a=-2$. Vậy parabol là $y=-2x^2+50$, đỉnh $A(0;50)$. Chiều cao $AH=50$ (m). Kết quả trùng với đáp án nguồn là 50.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của Hypebol (với $a,b>0$) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, vì Hypebol có hiệu của khoảng cách tới hai tiêu điểm không đổi, dẫn đến dấu trừ giữa hai số hạng và vế phải bằng 1. Phương án A là elip, C và D không phải phương trình chính tắc của Hypebol. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{81}=1$ có $a^2=225\Rightarrow a=15$, $b^2=81\Rightarrow b=9$. Do $a>b$ nên $c^2=a^2-b^2=225-81=144\Rightarrow c=12$. Độ dài tiêu cự $2c=2\cdot 12=24$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (24).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của Hypebol (với $a,b>0$) nhận trục $Ox$ làm trục thực là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. Phương án A là phương trình chính tắc của Elip; C và D không phải phương trình chính tắc của Hypebol. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 11, Mã đề 301: B).

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{81}=1$ có $a^2=225\Rightarrow a=15$, $b^2=81\Rightarrow b=9$. Tiêu cự $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12$. Độ dài tiêu cự của elip là $2c=2\cdot 12=24$, khớp đáp án nguồn (24).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=10x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=10\Rightarrow p=5$, nên $\frac{p}{2}=\frac{5}{2}$. Tiêu điểm nằm trên trục $Ox$: $F\left(\frac{5}{2};0\right)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có $a^2=16$, $b^2=12$ nên $c^2=a^2+b^2=16+12=28$, suy ra $c=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$. Tiêu cự $2c=4\sqrt{7}$, vậy $m=4$, $n=7$ và $m+n=11$, khớp với đáp án nguồn.

Phương trình của $(E)$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $a>b$. Suy ra: $\{\begin{array}{l}{a}^2=25\\ b^2=9\end{array}\Rightarrow c^2=a^2-b^2=25-9=16\Rightarrow c=4$. $M{F}_1$ và $M{F}_2$ vuông góc nhau nên $M$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $O$ bán kính $R=c=4$, $(C)$ có phương trình là: $x^2+y^2=16$. Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=16\\ 9x^2+25y^2=225\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2=\frac{175}{16}\\ y^2=\frac{81}{16}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\pm \frac{5\sqrt{7}}{4}\\ y=\pm \frac{9}{4}\end{array}$$ Vậy: có 4 điểm $M$ là thỏa mãn bài toán là: $$M_1\left(\frac{5\sqrt{7}}{4};\frac{9}{4}\right),M_2\left(\frac{5\sqrt{7}}{4};-\frac{9}{4}\right),M_3\left(-\frac{5\sqrt{7}}{4};\frac{9}{4}\right),M_4\left(-\frac{5\sqrt{7}}{4};-\frac{9}{4}\right).$$

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=10x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=10\Rightarrow p=5$. Tiêu điểm của parabol $y^2=2px$ là $F\left(\frac{p}{2};0\right)=F\left(\frac{5}{2};0\right)$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 132, Câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có $a^2=16$, $b^2=12$ nên $c^2=a^2+b^2=28$, $c=2\sqrt{7}$. Tiêu cự $2c=4\sqrt{7}$, vậy $m=4$, $n=7$, $m+n=11$. Khớp với đáp án nguồn (11).

Phương trình của $(E)$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $a>b$. Suy ra: $\{\begin{array}{l}{a}^2=25\\ b^2=9\end{array}\Rightarrow c^2=a^2-b^2=25-9=16\Rightarrow c=4$. $M{F}_1$ và $M{F}_2$ vuông góc nhau nên $M$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $O$ bán kính $R=c=4$, $(C)$ có phương trình là: $x^2+y^2=16$. Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=16\\ 9x^2+25y^2=225\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2=\frac{175}{16}\\ y^2=\frac{81}{16}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\pm \frac{5\sqrt{7}}{4}\\ y=\pm \frac{9}{4}\end{array}$$ Vậy: có 4 điểm $M$ là thỏa mãn bài toán là: $$M_1\left(\frac{5\sqrt{7}}{4};\frac{9}{4}\right),M_2\left(\frac{5\sqrt{7}}{4};-\frac{9}{4}\right),M_3\left(-\frac{5\sqrt{7}}{4};\frac{9}{4}\right),M_4\left(-\frac{5\sqrt{7}}{4};-\frac{9}{4}\right).$$