Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

Hướng dẫn chấm: Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho AB trùng Ox, A trùng O khi đó parabol có đỉnh $G(2;4)$ và đi qua gốc tọa độ. Gọi phương trình của parabol là $y=a{x}^2+bx+c$. Parabol (P): $y=a{x}^2+bx+c$ đi qua điểm $A(0;0)$ và có đỉnh $G(2;4)$ nên ta có: $\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=4\\ c=0\end{array}$ $\Rightarrow (P):y=-x^2+4x$. Do vậy chiều cao $CF=DE=f(0,9)=2,79(m)$, $CD=4-2.0,9=2,2(m)$. Diện tích hai cánh cổng là $S_{CDEF}=CD\cdot CF=6,138(m^2)$. Diện tích phần xiên hoa là $S_{xh}=S-S_{CDEF}=\frac{32}{3}-6,138=\frac{6793}{1500}(m^2)$. Nền tiền là hai cánh cổng là $6,138.1200000=7365600$ (đồng) và tiền làm phần xiên hoa là $\frac{6793}{1500}.900000=4075800$ (đ). Vậy tổng chi phí là $7365600+4075800=11441400$ đồng $\approx 11441$ (nghìn đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm treo ngôi sao là đỉnh của parabol $y=-0,004x^2+1,2x-80$. Hoành độ đỉnh: $x=-\frac{1,2}{2\cdot (-0,004)}=150$. Tung độ đỉnh: $y=-0,004\cdot 150^2+1,2\cdot 150-80=-90+180-80=10$ (m). Vậy khoảng cách từ điểm treo ngôi sao đến mặt đất là $10$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a,b$ là bán trục lớn, bán trục nhỏ. Độ dài trục lớn gấp 2 lần độ dài trục nhỏ nên $2a=2\cdot 2b\Rightarrow a=2b$. Elip đi qua $A(2;-2)$: $\frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1$. Thay $a^2=4b^2$: $\frac{4}{4b^2}+\frac{4}{b^2}=1\Rightarrow \frac{5}{b^2}=1\Rightarrow b^2=5$, suy ra $a^2=20$. Phương trình: $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1$. Kiểm tra: $\frac{4}{20}+\frac{4}{5}=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}=1$ đúng. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=36,b^2=9$ nên $a=6,b=3$. Độ dài trục lớn $2a=12$, trục nhỏ $2b=6$. Tích $2a\cdot 2b=12\cdot 6=72$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Elip có bán trục lớn 2a=10 (a=5), bán trục nhỏ 2b=6 (b=3), trục lớn nằm trên trục Ox theo hình.
a) Phương trình: x²/25 + y²/9 = 1. Đúng.
b) c² = a² − b² = 25 − 9 = 16 nên c = 4, tức M(−4;0), N(4;0) chính là hai tiêu điểm. Theo định nghĩa elip, tổng khoảng cách từ mọi điểm trên elip đến hai tiêu điểm bằng 2a = 10. Đúng.
c) Mọi điểm trong hồ có khoảng cách đến O không vượt quá a = 5m (điểm xa O nhất trên elip là hai đỉnh của trục lớn, cách O đúng 5m). P cách O là 6m > 5m nên P nằm ngoài hồ (hình vẽ cũng thể hiện P ngoài elip). Sai.
d) C trên elip, cách trục lớn (Ox) một khoảng |y| = 2. Thay vào phương trình: x²/25 = 1 − 4/9 = 5/9, suy ra |x| = 5√5/3 ≈ 3,73m, không phải 5/3m. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bán trục lớn a=5 (trên Ox), bán trục nhỏ b=3 (trên Oy), nên phương trình là x²/25 + y²/9 = 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
c² = a² − b² = 16, c = 4 nên M(−4;0), N(4;0) là hai tiêu điểm; tổng khoảng cách từ mọi điểm trên elip đến hai tiêu điểm bằng 2a = 10.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điểm xa O nhất trên elip cách O đúng a = 5m. P cách O 6m > 5m nên P nằm ngoài hồ.
d) (AI giải đề cho tôi)
|y| = 2 cho x²/25 = 1 − 4/9 = 5/9, suy ra |x| = 5√5/3 ≈ 3,73m ≠ 5/3m.

(AI giải đề cho tôi)
Elip có tiêu điểm trên trục $Ox$: $F_1(-2;0)$, $F_2(2;0)$ nên $c=2$. Theo định nghĩa elip, tổng khoảng cách $M{F}_1+M{F}_2=2a=10\Rightarrow a=5$. Khi đó $b^2=a^2-c^2=25-4=21\Rightarrow b=\sqrt{21}$. Phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{21}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a,b>0$. A có vế phải $-1$ (sai); B là phương trình hyperbol (dấu trừ); D là đường tròn/quỹ đạo khác ($x^2+y^2=9x$). Chỉ phương trình C $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ thỏa dạng chính tắc của elip với $a^2=16,b^2=9$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip có $2a=769266$ nên $a=384633$ km; $2b=768106$ nên $b=384053$ km. Trái đất là tiêu điểm nên khoảng cách ngắn nhất từ trái đất đến mặt trăng là $a-c$ với $c=\sqrt{a^2-b^2}$. Tính $c^2=(a-b)(a+b)=580\cdot 768686=445837880$, suy ra $c\approx 21115$ km. Vậy khoảng cách ngắn nhất $a-c\approx 384633-21115=363518$ km $\approx 364$ (nghìn km).

(AI giải đề cho tôi)
Chuẩn hóa phương trình $4x^2+9y^2=1$ về dạng chính tắc: $\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{9}}=1$. Vì $\frac{1}{4}>\frac{1}{9}$ nên elip có trục lớn nằm trên trục hoành, với $a^2=\frac{1}{4}\Rightarrow a=\frac{1}{2}$, $b^2=\frac{1}{9}\Rightarrow b=\frac{1}{3}$. Độ dài trục lớn: $2a=1$. Độ dài trục nhỏ: $2b=\frac{2}{3}$. Tiêu cự: $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{5}{36}}=\frac{\sqrt{5}}{6}$. Tiêu cự $2c=\frac{\sqrt{5}}{3}$. Tọa độ tiêu điểm: $F_1\left(-\frac{\sqrt{5}}{6};0\right)$, $F_2\left(\frac{\sqrt{5}}{6};0\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$. Xét các phương án: A có $a^2=16>9=b^2$ nên là phương trình chính tắc của elip ($a=4,b=3,c=\sqrt{7}$). B cũng là elip nhưng với $a^2=9<16=b^2$ (trục lớn trên Oy), không đúng dạng chính tắc với $a>b$; C là phương trình của hyperbol; D là đường tròn. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{7}=1$ có $b^2=7$ nên $b=\sqrt{7}$. Elip cắt trục tung tại hai điểm $B_1(0;\sqrt{7})$ và $B_2(0;-\sqrt{7})$, do đó $B_1{B}_2=2b=2\sqrt{7}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Elip có $a^2=25\Rightarrow a=5$. Theo định nghĩa elip, với mọi điểm $M$ trên elip: $M{F}_1+M{F}_2=2a=10$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a,b>0$. Xét các phương án: A) $4x^2+8y^2=32\iff \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ là phương trình chính tắc nhưng chưa ở dạng chuẩn sau khi rút gọn (thường không được coi là dạng chính tắc ban đầu); B) $\frac{x^2}{1/5}+\frac{y^2}{1/2}=1$ có đúng dạng chính tắc với $a^2=\frac{1}{5},b^2=\frac{1}{2}>0$, đây là elip với trục lớn trên trục $Oy$; C) vế phải bằng $-1$ nên vô nghiệm, không phải elip; D) có dấu trừ nên là phương trình hyperbol. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{16}=1$ có $a^2=100,b^2=16$ với $a>b$ nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$. Ta có $c^2=a^2-b^2=100-16=84$, suy ra $c=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$. Vậy hai tiêu điểm là $F_1(-2\sqrt{21};0)$ và $F_2(2\sqrt{21};0)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E)$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$. Vì $(E)$ đi qua $A(6;0)$ nên $a=6$ (điểm nằm trên trục lớn). Tiêu cự $2c=8\Rightarrow c=4$. Do đó $b^2=a^2-c^2=36-16=20$. Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$. Độ dài trục lớn bằng $2a=10$ nên $a=5$, suy ra $a^2=25$. Elip đi qua $M\left(3;\frac{12}{5}\right)$ nên $\frac{9}{25}+\frac{144}{25b^2}=1\Rightarrow \frac{144}{25b^2}=\frac{16}{25}\Rightarrow b^2=9$ (thỏa $b<a$). Vậy phương trình đường chính tắc của elip là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{4}=1$ có $a^2=49\Rightarrow a=7$, $b^2=4\Rightarrow b=2$. Trục lớn $2a=14$, trục nhỏ $2b=4$, tích $14\cdot 4=56$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$. Xét các phương án: A và C có dấu trừ nên là hyperbol (C là cặp đường thẳng qua gốc), D có vế phải bằng 0 nên suy biến. Chỉ phương án B $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ thỏa mãn với $a^2=16>b^2=9>0$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a^2=4,b^2=1$.

- $a=2,b=1$. Trục lớn nằm trên trục $Ox$.
- Tiêu cự: $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$, nên $2c=2\sqrt{3}$.
- Độ dài trục lớn: $2a=4$; độ dài trục bé: $2b=2$.
- Các đỉnh: $(\pm 2;0)$ và $(0;\pm 1)$, tức $A_1(-2;0),A_2(2;0),B_1(0;-1),B_2(0;1)$.

Kết luận: tiêu cự $2c=2\sqrt{3}$; trục lớn $2a=4$; trục bé $2b=2$; đỉnh $(\pm 2;0)$, $(0;\pm 1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Tiêu cự $2c=6\Rightarrow c=3$; trục lớn $2a=10\Rightarrow a=5$; $b^2=a^2-c^2=25-9=16$. Phương trình chính tắc: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. Đáp án A.