Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$ có $a^2=5,b^2=4$, nên $c^2=a^2-b^2=1\Rightarrow c=1$. Tiêu cự $2c=2$. Đáp án A.

a) Elip cắt hai trục tọa độ tại $A_1(-5;0),A_2(5;0),B_1(0;-3),B_2(0;3)$; diện tích hình thoi $A_1{B}_1{A}_2{B}_2=A_1{A}_2\cdot B_1{B}_2=60(dvdt)$ nên mệnh đề sai. b) Elip cắt trục hoành tại $A_1(-5;0);A_2(5;0)$ nên mệnh đề sai. c) $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-9}=4$, elip có hai tiêu điểm $F_1(-4;0);F_2(4;0)$ nên mệnh đề đúng. d) $a^2=25;b^2=9$ nên mệnh đề đúng.
a) Tọa độ giao điểm của elip với trục tung: $x=0\Rightarrow \frac{y^2}{9}=1\iff y^2=9\iff y=\pm 3$. Vậy elip cắt trục tung tại 2 điểm có tọa độ là $B_1(0;-3);B_2(0;3)$. Elip cắt trục hoành tại 2 điểm có tọa độ là $A_1(-5;0);A_2(5;0)$. Diện tích hình thoi $A_1{B}_1{A}_2{B}_2$ bằng: $S_{A_1{A}_2{B}_1{B}_2}=A_1{A}_2\cdot B_1{B}_2=60(dvdt)$ suy ra mệnh đề sai.
b) Tọa độ giao điểm của elip với trục hoành: $y=0\Rightarrow \frac{x^2}{25}=1\iff x^2=25\iff x=\pm 5$. Vậy elip cắt trục hoành tại 2 điểm có tọa độ là $A_1(-5;0);A_2(5;0)$ suy ra mệnh đề sai.
c) $a^2=25,b^2=9$. Do đó $c=\sqrt{a^2-b^2}=4$. Vậy elip có hai tiêu điểm là $F_1(-4;0);F_2(4;0)$ suy ra mệnh đề đúng.
d) Ta có: $a^2=25;b^2=9$ suy ra mệnh đề đúng.

Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
a) $y^2=24x\Rightarrow 2p=24\Rightarrow p=12$, tiêu điểm $F(p;0)=F(6;0)$, không phải $F(5;0)$ → Sai. b) $\vec{x}=2\vec{a}-2\vec{b}=(4;-4)-(-2;6)=(6;-10)$ → Đúng. c) VTCP $\vec{u}=(3;4)$ nên PTCT $4(x-2)-3(y-1)=0\iff 4x-3y-5=0\iff -4x+3y+5=0$ → Đúng. d) Nửa elip: $a=8$, $b=6$, $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$. Tại $x=4$: $y=6\sqrt{1-\frac{16}{64}}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\approx 5,2m\ne 5,5m$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^2=24x\Rightarrow 2p=24\Rightarrow p=12$, tiêu điểm $F(6;0)$, không phải $F(5;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{x}=2(2;-2)-2(-1;3)=(4;-4)-(-2;6)=(6;-10)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$4(x-2)-3(y-1)=0\iff 4x-3y-5=0\iff -4x+3y+5=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$, tại $x=4$: $y=3\sqrt{3}\approx 5,2m$, không phải $5,5m$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip (E): $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$ có $a^2=169\Rightarrow a=13$, $b^2=25\Rightarrow b=5$ (vì $a>b$ nên trục lớn nằm trên trục hoành).
- Độ dài trục lớn: $2a=26$.
- Độ dài trục bé: $2b=10$.
- $c^2=a^2-b^2=169-25=144\Rightarrow c=12$.
- Hai tiêu điểm: $F_1(-12;0)$ và $F_2(12;0)$.

Vậy trục lớn dài 26, trục bé dài 10, tiêu điểm $F_1(-12;0)$, $F_2(12;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có tiêu điểm $F_2(6;0)$ nên $c=6$ và trục thực là trục $Ox$. Điểm $M(4;0)$ thuộc hypebol nên là đỉnh, do đó $a^2=16$. Suy ra $b^2=c^2-a^2=36-16=20$. Vậy phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1$, tương ứng đáp án B. (D sai vì là phương trình elip.)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với đỉnh chụp đèn là gốc $O$, trục đối xứng là trục $Ox$. Parabol có dạng $y^2=4px$. Theo hình vẽ, miệng chụp có đường kính $20\text{ cm}$ nên bán kính $10\text{ cm}$, và độ sâu $15\text{ cm}$, tức parabol đi qua điểm $(15;10)$. Thay vào phương trình: $10^2=4p\cdot 15\Rightarrow 100=60p\Rightarrow p=\frac{5}{3}$. Tiêu điểm cách đỉnh một khoảng bằng $p$, nên khoảng cách từ dây tóc bóng đèn tới đỉnh chụp là $p=\frac{5}{3}\approx 1,67\text{ cm}$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1$ có $a^2=9,b^2=6$ nên $c^2=a^2-b^2=9-6=3\Rightarrow c=\sqrt{3}$. Tiêu cự $2c=2\sqrt{3}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{2500}+\frac{y^2}{900}=1$ có $a^2=2500\Rightarrow a=50$, $b^2=900\Rightarrow b=30$ (vì $a^2>b^2$ nên elip có trục lớn trên trục $Ox$). Ta có $c^2=a^2-b^2=2500-900=1600\Rightarrow c=40$.
- Các đỉnh trên trục lớn: $A_1(-50;0)$, $A_2(50;0)$.
- Các đỉnh trên trục nhỏ: $B_1(0;-30)$, $B_2(0;30)$.
- Tiêu cự: $F_1(-40;0)$, $F_2(40;0)$; tiêu cự (độ dài) $2c=80$.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $(P):y^2=4x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=4\Rightarrow p=2$. Tiêu điểm của parabol $y^2=2px$ là $F\left(\frac{p}{2};0\right)=F(1;0)$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài trục thực $2a=6\Rightarrow a=3$. Tiêu cự $2c=10\Rightarrow c=5$. Khi đó $b^2=c^2-a^2=25-9=16\Rightarrow b=4$. Phương trình chính tắc của hypebol nhận trục thực làm trục $Ox$ là $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$. (Nếu trục thực là trục $Oy$ thì $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$; đáp án chuẩn thường lấy trục thực là $Ox$.)

(AI giải đề cho tôi)
Elip có $a^2=25\Rightarrow a=5$. Độ dài trục lớn là $2a=10$. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Elip (E): $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$ có $a^2=16$, $b^2=7$ nên $c^2=a^2-b^2=16-7=9\Rightarrow c=3$. Tiêu cự $2c=6$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi độ dài trục lớn là $2a$, trục nhỏ là $2b$ với $a>b>0$. Theo đề: $2a=2\cdot 2b\Rightarrow a=2b$. Tiêu cự $2c=4\sqrt{3}\Rightarrow c=2\sqrt{3}$, nên $c^2=12$. Ta có $c^2=a^2-b^2=4b^2-b^2=3b^2=12\Rightarrow b^2=4\Rightarrow b=2$, suy ra $a=4$, $a^2=16$. Vậy phương trình chính tắc của $(E)$ là $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ (trường hợp trục lớn trên trục $Ox$; nếu trục lớn trên trục $Oy$ thì $\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1$). Thường đáp án chuẩn là $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a,b>0$. Xét từng phương án: A) $4x^2+8y^2=32\iff \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ chưa ở dạng chính tắc (cần chia hết cho 32 trước). B) $\frac{x^2}{1/5}+\frac{y^2}{1/2}=1$ có dạng chính tắc với $a^2=\frac{1}{5},b^2=\frac{1}{2}$, thỏa mãn. C) vế phải bằng $-1$, không phải elip. D) có dấu trừ, là phương trình hyperbol. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Elip có tiêu điểm $F_2(2;0)$ nên tâm tại gốc $O$, trục lớn nằm trên trục hoành, $c=2$. Elip cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $-3$, tức đỉnh $(-a;0)$, suy ra $a=3$. Khi đó $b^2=a^2-c^2=9-4=5$. Vậy phương trình chính tắc của $(E)$ là $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc $O$ tại tâm cổng vòm (trung điểm của đáy rộng 12 m), trục $Ox$ nằm ngang theo đáy, trục $Oy$ hướng lên. Cổng vòm là nửa trên của elip $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$ Vì chiều rộng cổng là 12 m nên $2a=12\Rightarrow a=6$. Đỉnh cao nhất là 4 m nên $b=4$. Phương trình elip: $$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1,y\ge 0.$$ Tại điểm cách tâm 3 m theo phương ngang, $x=3$: $$\frac{9}{36}+\frac{y^2}{16}=1\Rightarrow \frac{y^2}{16}=\frac{3}{4}\Rightarrow y^2=12\Rightarrow y=2\sqrt{3}.$$ Vậy chiều cao của vòm tại điểm đó là $2\sqrt{3}\approx 3,46$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$ có $a^2=5>b^2=4$ nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$. Ta có $c^2=a^2-b^2=5-4=1\Rightarrow c=1$. Vậy hai tiêu điểm là $F_{1,2}=(\pm 1;0)$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì tiêu điểm $F_2(3;0)$ nằm trên trục $Ox$ nên $c=3$, do đó $a^2-b^2=c^2=9$, tức $a^2=b^2+9$. Elip đi qua $M\left(3;\frac{16}{5}\right)$ nên $\frac{9}{a^2}+\frac{256}{25b^2}=1$. Thay $a^2=b^2+9$, đặt $t=b^2>0$: $\frac{9}{t+9}+\frac{256}{25t}=1$. Nhân hai vế với $25t(t+9)$: $225t+256(t+9)=25t(t+9)$, tức $25t^2-256t-2304=0$. Biệt thức $\Delta =256^2+4\cdot 25\cdot 2304=295936=544^2$, nên $t=\frac{256+544}{50}=16$ (nhận nghiệm dương). Vậy $b^2=16$, $a^2=25$. Phương trình chính tắc của $(E)$ là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. Kiểm tra: $M(3;16/5)$: $\frac{9}{25}+\frac{256/25}{16}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ đúng; $c^2=25-16=9$ đúng.