Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

Ta có: $a^2=25,b^2=6$.
$\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-6}=\sqrt{19}$.
Suy ra tiêu cự $F_1{F}_2=2c=2\sqrt{19}$.
Gọi M (1 ; y) với y > 0 là điểm thuộc elip thỏa bài toán.
Thế tọa độ M vào phương trình của elip ta được
$$\frac{1^2}{25}+\frac{y^2}{6}=1\iff \frac{y^2}{6}=1-\frac{1}{25}\iff \frac{y^2}{6}=\frac{24}{25}\iff y^2=\frac{144}{25}\iff \{\begin{array}{l}y=\frac{12}{5}(N)\\ y=-\frac{12}{5}(L)\end{array}$$
Suy ra $M\left(1;\frac{12}{5}\right)$
Vì M thuộc elip nên khoảng cách từ M đến $F_1{F}_2$ bằng $\left|y_M\right|$.
$$d\left(M,F_1{F}_2\right)=\left|y_M\right|=\left|\frac{12}{5}\right|=\frac{12}{5}$$
Diện tích tam giác $M{F}_1{F}_2$ là
$$S=\frac{1}{2}\cdot F_1{F}_2\cdot d\left(M,F_1{F}_2\right)=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{19}\cdot \frac{12}{5}=\frac{12\sqrt{19}}{5}\approx 10,46135746$$
Làm tròn kết quả đến hàng phần chục là $S\approx 10,5{\mathrm{m}}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hyperbol $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{16}=1$ có $a^2=20$, $b^2=16$, nên $c^2=a^2+b^2=36\Rightarrow c=6$. Tiêu cự $2c=12$. Vậy chọn B, khớp với đáp án nguồn.

Parabol $(P)$ có đường chuẩn là $\Delta :x+\frac{1}{2}=0$ và tiêu điểm $F\left(\frac{1}{2};0\right)$.
Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$ là điểm cần tìm. Có $M\in (P)$ nên $y_0^2=2x_0\Rightarrow x_0=\frac{1}{2}{y}_0^2\Rightarrow x_0\ge 0$.
Khoảng cách từ $M$ đến tiêu điểm $F$ bằng 4 nên $MF=d(M;\Delta )=\frac{\left|x_0+\frac{1}{2}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=4$.
$\Rightarrow x_0=\frac{7}{2}$ hoặc $x_0=\frac{-9}{2}$. Mà $x_0\ge 0$ nên $x_0=\frac{7}{2}\Rightarrow y_0^2=7\Rightarrow y_0=\pm \sqrt{7}$.
Vậy $M\left(\frac{7}{2};\sqrt{7}\right)$ hoặc $M\left(\frac{7}{2};-\sqrt{7}\right)\Rightarrow d\left(M,Oy\right)=\frac{7}{2}=3,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=16,b^2=9$ nên $c^2=a^2-b^2=16-9=7$, tức $c=\sqrt{7}$. Trục lớn nằm trên trục $Ox$ nên các tiêu điểm là $(\pm \sqrt{7};0)$. Vậy một tiêu điểm là $(\sqrt{7};0)$, khớp với đáp án nguồn C.

a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Sai. (Theo bảng đáp án D/S chính thức, mã đề 102; xem ghi chú về ý a) trong danh sách vấn đề.)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tọa độ với gốc tại tâm hình chữ nhật (trục Ox song song chiều dài 18, trục Oy song song chiều rộng 12). Đường tròn trong hình tiếp xúc với các cạnh trên dưới nên bán kính R = 6, tâm trùng tâm hình chữ nhật. Hypebol nhận tâm này làm tâm, hai nhánh đối xứng qua trục Ox, có đỉnh tại hai điểm trái/phải của đường tròn nên a = 6, và đi qua các đỉnh của hình chữ nhật, ví dụ điểm (9; 6). Thay vào phương trình x²/36 − y²/b² = 1: 81/36 − 36/b² = 1 ⇒ 36/b² = 45/36 ⇒ b² = 28,8. Suy ra c² = a² + b² = 36 + 28,8 = 64,8 ⇒ c = √64,8 ≈ 8,05. Tiêu cự 2c = 2√64,8 ≈ 16,1 cm, khớp với đáp án nguồn.

Giả sử phương trình elip $(E)$ là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$.



Đường tròn $(C):x^2+y^2=4$ có tâm $O(0;0)$ và bán kính $R=2$.

Vì $(C)$ tiếp xúc với các cạnh của hình thoi và $A\in Ox$ nên $C\in Ox$ và $B,D\in Oy$.

Các điểm $A,B,C,D\in (E)$ nên $A,B,C,D$ là các đỉnh của $(E)$.

$A,B\in (E)\Rightarrow A(a;0),B(0;b)\Rightarrow OA=a,OB=b$.

Vì $OA=2OB$ nên $a=2b$.

Kẻ $OH\perp AB(H\in AB)$.

Ta có $OH=R=2$.

Tam giác $ABO$ vuông tại $O$ có
$$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}\iff \frac{1}{4}=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{a^2}\iff a^2=20\Rightarrow b^2=5.$$

Vậy phương trình $(E)$ là $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$ có $a^2=9,b^2=1$ với $a>b$, nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$. Ta có $c^2=a^2-b^2=9-1=8\Rightarrow c=\sqrt{8}$. Vậy các tiêu điểm là $F_1(-\sqrt{8};0)$ và $F_2(\sqrt{8};0)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Elip có $a^2=36,b^2=25$ với $a^2>b^2$ nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$. Ta có $c^2=a^2-b^2=36-25=11$, suy ra $c=\sqrt{11}$. Vậy các tiêu điểm là $F_1(-\sqrt{11};0)$ và $F_2(\sqrt{11};0)$. Kết quả khớp với đáp án D trong bảng mã đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Elip (E): x²/16 + y²/9 = 1 có a²=16, b²=9 nên c² = a² − b² = 7, c = √7.
a) Thay A(4;0): 16/16 + 0 = 1, nên A thuộc (E). Đúng.
b) Tiêu cự = 2c = 2√7 ≠ √7. Sai.
c) Với M ∈ (E): MF₁ + MF₂ = 2a = 8. Kết hợp MF₁ + 2MF₂ = 11, trừ đi ta được MF₂ = 3, suy ra MF₁ = 5. Khi đó 2MF₁ + MF₂ = 10 + 3 = 13. Đúng.
d) Tiêu điểm của (E) là F₁(−√7; 0), F₂(√7; 0), không phải (±2√7; 0). Sai.
Kết quả khớp bảng đáp án D/S chính thức (mã đề 101): 2a D, 2b S, 2c D, 2d S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(4;0) vào phương trình: 16/16 + 0 = 1, nên A thuộc (E).
b) (AI giải đề cho tôi)
c² = 16 − 9 = 7 nên c = √7, tiêu cự 2c = 2√7 ≠ √7.
c) (AI giải đề cho tôi)
MF₁ + MF₂ = 2a = 8; kết hợp MF₁ + 2MF₂ = 11 suy ra MF₂ = 3, MF₁ = 5, nên 2MF₁ + MF₂ = 13.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiêu điểm là F₁(−√7; 0), F₂(√7; 0) chứ không phải (±2√7; 0).

Giả sử phương trình elip $(E)$ là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$.



Đường tròn $(C):x^2+y^2=4$ có tâm $O(0;0)$ và bán kính $R=2$.

Vì $(C)$ tiếp xúc với các cạnh của hình thoi và $A\in Ox$ nên $C\in Ox$ và $B,D\in Oy$.

Các điểm $A,B,C,D\in (E)$ nên $A,B,C,D$ là các đỉnh của $(E)$.

$A,B\in (E)\Rightarrow A(a;0),B(0;b)\Rightarrow OA=a,OB=b$.

Vì $OA=2OB$ nên $a=2b$.

Kẻ $OH\perp AB(H\in AB)$.

Ta có $OH=R=2$.

Tam giác $ABO$ vuông tại $O$ có
$$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}\iff \frac{1}{4}=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{a^2}\iff a^2=20\Rightarrow b^2=5.$$

Vậy phương trình $(E)$ là $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1$.

Ta có $O(0;0)$ là tâm đối xứng của hypebol. Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy tháp là $OB$ và khoảng cách từ tâm đối xứng đến nóc tháp là $OA=\frac{2}{3}OB$. Mà chiều cao của tháp là $120m$ tức là $$\frac{2}{3}OB+OB=120\Rightarrow OB=72\Rightarrow OA=48$$ Gọi $r$ và $R$ lần lượt là bán kính nóc và bán kính đáy của tháp, $(r,R>0)$. Lấy $N$ là điểm trên nóc tháp, thuộc vào hypebol $\Rightarrow N(r;48)$. Và $M$ là điểm trên đáy tháp, thuộc vào hypebol $\Rightarrow M(R;-72)$. Thay tọa độ điểm $N(r;48)$ và $M(R;-72)$ vào phương trình $\frac{x^2}{30}-\frac{y^2}{50}=1$ ta tìm được $r=\sqrt{\frac{7062}{5}}\approx 37,58$ và $R=\sqrt{\frac{15702}{5}}\approx 56,04$. Vậy bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp lần lượt là $37,58(m)$ và $56,04(m)$. Lưu ý: Học sinh có thể làm bài theo phương pháp giải khác có kết quả đúng thì vẫn được đánh giá điểm tương đương cho phần nội dung trả lời đó.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ có $a^2=4\Rightarrow a=2$ (vì $a>b$). Độ dài trục lớn là $2a=4$. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (hoặc $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$). Xét các phương án: A là đường thẳng $y=2x+1$; C là parabol $y=x^2+2x-1$; D là parabol $y^2=8x$; chỉ có B là $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{6}=1$ với $a^2=8,b^2=6>0$, đúng dạng chính tắc của hypebol. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a,b>0$. Xét các phương án: A là đường thẳng; C là parabol; D là parabol $y^2=2px$ với $2p=8$; chỉ có B là $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{6}=1$ với $a^2=8,b^2=6$ thỏa mãn dạng chính tắc của hypebol. Khớp với đáp án nguồn B.

Ta có $O(0;0)$ là tâm đối xứng của hypebol. Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy tháp là $OB$ và khoảng cách từ tâm đối xứng đến nóc tháp là $OA=\frac{2}{3}OB$. Mà chiều cao của tháp là $120m$ tức là $$\frac{2}{3}OB+OB=120\Rightarrow OB=72\Rightarrow OA=48$$ Gọi $r$ và $R$ lần lượt là bán kính nóc và bán kính đáy của tháp, $(r,R>0)$. Lấy $N$ là điểm trên nóc tháp, thuộc vào hypebol $\Rightarrow N(r;48)$. Và $M$ là điểm trên đáy tháp, thuộc vào hypebol $\Rightarrow M(R;-72)$. Thay tọa độ điểm $N(r;48)$ và $M(R;-72)$ vào phương trình $\frac{x^2}{30}-\frac{y^2}{50}=1$ ta tìm được $r=\sqrt{\frac{7062}{5}}\approx 37,58$ và $R=\sqrt{\frac{15702}{5}}\approx 56,04$. Vậy bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp lần lượt là $37,58(m)$ và $56,04(m)$. Lưu ý: Học sinh có thể làm bài theo phương pháp giải khác có kết quả đúng thì vẫn được đánh giá điểm tương đương cho phần nội dung trả lời đó.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ có $a^2=4\Rightarrow a=2$ (vì $4>1$). Độ dài trục lớn $2a=4$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại tâm đường hầm trên mặt đường. Elip có $a=5$ (bán trục lớn, vì chiều rộng 10 m) và $b=3$ (bán trục nhỏ, vì độ cao đỉnh vòm 3 m). Phương trình nửa elip: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ với $y\ge 0$. Tại $x=4$: $\frac{16}{25}+\frac{y^2}{9}=1\Rightarrow y^2=9\cdot \frac{9}{25}=\frac{81}{25}\Rightarrow y=\frac{9}{5}=1,8$. Vậy $h=1,8$ m, khớp với đáp án nguồn 1,8.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình elip $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$:
- $M(5;1)$: $\frac{25}{25}+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}\ne 1$, không thuộc elip.
- $P(4;0)$: $\frac{16}{25}+0=\frac{16}{25}\ne 1$, không thuộc elip.
- $N(3;0)$: $\frac{9}{25}+0=\frac{9}{25}\ne 1$, không thuộc elip.
- $Q(0;3)$: $0+\frac{9}{9}=1$, thỏa mãn nên $Q$ thuộc elip.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol nhận tiêu điểm $F(5;0)$ trên trục $Ox$ nên có phương trình dạng $y^2=4px$ với tiêu điểm $\left(\frac{p}{2};0\right)$. Suy ra $\frac{p}{2}=5\Rightarrow p=10$. Vậy phương trình chính tắc của $(P)$ là $y^2=4\cdot 10\cdot x=20x$. Khớp với đáp án D (mã đề 102, câu 8 là D).