Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình elip $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$: Với $N(3;0)$: $\frac{9}{25}+0=\frac{9}{25}\ne 1$. Với $P(4;0)$: $\frac{16}{25}\ne 1$. Với $Q(1;3)$: $\frac{1}{25}+\frac{9}{16}=\frac{16+225}{400}=\frac{241}{400}\ne 1$. Với $M(5;0)$: $\frac{25}{25}+0=1$, thỏa mãn. Vậy điểm $M(5;0)$ thuộc elip (đây là đỉnh của elip, trùng với đáp án D trong bảng mã đề 101).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ gốc tại tâm đường hầm trên mặt đường. Nửa elip có chiều rộng 10 m nên $a=5$, chiều cao đỉnh vòm 3 m nên $b=3$. Phương trình elip: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$. Tại vị trí cách tâm $3m$ theo phương ngang ($x=3$): $\frac{9}{25}+\frac{y^2}{9}=1\Rightarrow y^2=9\cdot \frac{16}{25}=\frac{144}{25}\Rightarrow y=\frac{12}{5}=2,4$. Vậy $h=2,4m$, khớp đáp án nguồn (mã đề 103, câu 4 Phần III: 2,4).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=2px$ có tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)$. Vì $F(3;0)$ nên $\frac{p}{2}=3\Rightarrow p=6$, do đó $2p=12$. Vậy phương trình chính tắc của $(P)$ là $y^2=12x$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có trục thực $2a=6$ nên $a=3$, $a^2=9$; tiêu cự $2c=8$ nên $c=4$, $c^2=16$. Suy ra $b^2=c^2-a^2=16-9=7$. Phương trình chính tắc: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$. Các phương án A là elip, B có $a^2=2$, C có $a^2=16$ đều sai. Đáp án D, khớp với các phương án hiển thị ở đầu trang 2.

(AI giải đề cho tôi)
Elip có trục lớn nằm ngang: chiều rộng 12m nên $2a=12\Rightarrow a=6$; chiều cao 5m nên $b=5$. Tiêu cự $2c=2\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{36-25}=2\sqrt{11}\approx 6,63$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (hoặc $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$) với $a,b>0$. Xét các phương án: A là phương trình elip (dấu cộng, vế phải bằng 1). B có vế phải bằng 0 nên là hai đường thẳng $\frac{x}{4}=\pm \frac{y}{3}$, không phải hypebol. C có dạng $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$ với $a^2=25,b^2=9$, đúng là phương trình chính tắc của hypebol. D có vế phải bằng $-1$, tương đương $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1$, về mặt lý thuyết đây cũng là phương trình chính tắc của hypebol (trục thực là Oy). Đáp án chính thức của đề (mã đề 1002, bảng đáp án trang 5, cột câu 2) là C, nên đáp án được chọn là C.

Giải:
Gọi hai điểm có khoảng cách xa nhất của (E) là $A_1;A_2$, O là trung điểm $A_1{A}_2$.
Gắn hệ trục tọa độ oxy sao cho gốc tại O trùng tâm Elip, tiêu điểm $F_2$ và điểm $A_2(3;0)$ thuộc tia ox. Giả sử PTCT của Elip có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
$(E)$ qua $A_2(3;0)$ nên $\frac{3^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\iff a^2=9$
$(E)$ có tiêu điểm $F_2(\sqrt{3};0)$ nên $2c=2\sqrt{3}\Rightarrow c=\sqrt{3}\Rightarrow c^2=3$
$\Rightarrow a^2-b^2=3$
$\Rightarrow b^2=a^2-3=9-3=6$
$\Rightarrow (E):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1$ (0,25 điểm).
Gọi điểm $A(\sqrt{3};y_0)$ suy ra $B(\sqrt{3};-y_0)$
$A(\sqrt{3};y_0)\in (E)\Rightarrow \frac{{\sqrt{3}}^2}{9}+\frac{y_0^2}{6}=1\Rightarrow y_0=2$ (0,25 điểm)
$AB=2y_0=4(m)$ (0,25 điểm)
$\Rightarrow S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}O{F}_2.AB=\frac{1}{2}\sqrt{3}.4=2\sqrt{3}\approx 3,46(m^2)$. (0,25 điểm)
Học sinh giải cách khác GK thống nhất chia điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a,b>0$. Xét các phương án: A có vế phải bằng 0 nên là cặp đường thẳng, không phải hypebol; B có vế phải bằng $-1$ (tương đương $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1$, hypebol với trục thực là $Oy$, không phải dạng chính tắc chuẩn theo đề); C có $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ đúng dạng chính tắc với $a^2=9,b^2=4$; D là phương trình elip. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn (đề 1001, câu 3: C).

$M{F}_1+M{F}_2=2a=2\cdot 9=18$. Đáp án: 18

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip nhận tâm tại gốc tọa độ, trục toạ độ là các trục đối xứng có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$. Các đáp án khác: $y^2=2px$ là parabol, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ là hyperbol, $4x^2+y^2=R^2$ không phải dạng chính tắc. Kết quả trùng với đáp án nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ có $a^2=25,b^2=16$ với $a^2>b^2$ nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$. Ta có $c^2=a^2-b^2=25-16=9\Rightarrow c=3$. Vậy hai tiêu điểm là $F_1(-3;0),F_2(3;0)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại trung điểm hai chân cổng, hai chân cổng tại $x=\pm 8$ (khoảng cách 16 m), parabol có dạng $y=a(x^2-64)$ với $a<0$. Điểm cách chân cổng 1 m nên $x=7$ (hoặc $-7$), độ cao $y=1,5$: $a(49-64)=1,5\Rightarrow a=-0,1$. Đỉnh cổng tại $x=0$: $y=64\cdot 0,1=6,4$ m. Kết quả trùng với đáp án nguồn 6,4 (m).

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $(H):\frac{x^2}{34}-\frac{y^2}{15}=1$ có $a^2=34$, $b^2=15$. Do đó $c^2=a^2+b^2=34+15=49\Rightarrow c=7$. Tiêu cự của hypebol là $2c=2\cdot 7=14$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2 = 14).

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ có $a^2=25$, $b^2=16$ nên $a=5$, $b=4$, $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-16}=3$. Vì $a^2>b^2$ nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$: $F_1(-3;0)$, $F_2(3;0)$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 101, câu 9 = A).

Hyperbol luôn có 2 tiêu điểm có toạ độ là: $F_1=(-c;0)$, $F_2=(c;0)$. Ta có $$a^2+b^2=c^2\Rightarrow c=\pm \sqrt{a^2+b^2}=\pm \sqrt{9+4}=\pm \sqrt{13}$$ $$\Rightarrow F_1=\left(-\sqrt{13};0\right),F_2=\left(\sqrt{13};0\right)$$ Chọn đáp án (A)

Độ dài trục ảo (trục nhỏ) bằng $2b$ (độ dài trục thực bằng $2a$). Ta có: $2b=2\sqrt{4}=4$. Chọn đáp án (D)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục Oxy với gốc tại tâm mặt đất, elip có dạng x²/100 + y²/64 = 1 (a = 10 vì rộng 20m, b = 8 vì cao 8m). Tại điểm cách chân tường 5m, tức cách tâm 10 − 5 = 5m theo phương ngang, thay x = 5: y² = 64(1 − 25/100) = 48, nên y = 4√3 ≈ 6.93m.

(AI giải đề cho tôi)
Hyperbol có tiêu cự $2c=10$ nên $c=5$; độ dài trục thực $2a=6$ nên $a=3$. Khi đó $b^2=c^2-a^2=25-9=16$, suy ra $b=4$. Phương trình chính tắc của Hyperbol (trục thực là trục $Ox$) là $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1$ có $a^2=9>b^2=6$ nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$ với $c^2=a^2-b^2=9-6=3$, tức $c=\sqrt{3}$. Vậy các tiêu điểm là $(\pm \sqrt{3};0)$, do đó một tiêu điểm là $(-\sqrt{3};0)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=12x$ có $2p=12\Rightarrow p=6$. Đường chuẩn là $x=-\frac{p}{2}=-3$, tức $\Delta :x+3=0$. Vậy đáp án A.