Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của Elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a,b>0$. Xét các phương án: A có vế phải bằng 0 nên không phải (đây chỉ là điểm $O$); B có dấu trừ nên là phương trình Hyperbol; C có dạng $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$ thực chất cũng là phương trình Elip chính tắc (đặt $a^2=16,b^2=4$, trục lớn trên trục $Oy$); D có dạng $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ với $a^2=16>b^2=4$, là phương trình chính tắc của Elip có trục lớn trên trục $Ox$. Cả C và D đều là phương trình Elip chính tắc, tuy nhiên đáp án theo mã đề 2022 là D (elip với $a=4$, $b=2$, trục lớn nằm trên trục $Ox$). Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc $O$ tại tâm mặt cắt, trục $Ox$ nằm ngang. Nửa elip có $a=212:2=106$, $b=46$, phương trình: $\frac{x^2}{106^2}+\frac{y^2}{46^2}=1$ với $y\ge 0$. Điểm cách chân tường 6 m có hoành độ $x=106-6=100$. Thay vào: $\frac{100^2}{106^2}+\frac{y^2}{46^2}=1\Rightarrow y=46\sqrt{1-\frac{10000}{11236}}=46\sqrt{\frac{1236}{11236}}\approx 15,256$. Làm tròn: $15,3$ mét, khớp với đáp án đã cho (Mã đề 2022, Câu 4: 15,3).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$. Xét các phương án: A có vế phải bằng 0 nên không phải elip (chỉ là điểm); B có $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ với $a^2=16>b^2=4$ là phương trình chính tắc của elip; C có $a^2=4<b^2=16$ nên là elip với trục lớn trên trục $Oy$, không phải dạng chính tắc chuẩn (trục lớn nằm trên trục tung); D có dấu trừ nên là phương trình hyperbol. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 2014, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Nửa elip có $2a=212\Rightarrow a=106$, $b=46$. Phương trình: $\frac{x^2}{106^2}+\frac{y^2}{46^2}=1$ với $y\ge 0$. Điểm cách chân tường 6 m có hoành độ $x=106-6=100$. Khi đó $y=46\sqrt{1-\frac{100^2}{106^2}}=46\sqrt{1-\frac{10000}{11236}}=46\sqrt{\frac{1236}{11236}}\approx 46\cdot 0,33166\approx 15,26\approx 15,3$ mét. Kết quả khớp đáp án nguồn 15,3.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (hoặc $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$) với $a,b>0$. Các phương trình ở A, C, D đều có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với các hệ số dương nên là phương trình chính tắc của hypebol. Phương trình ở B có vế phải bằng $-1$: $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=-1$, tức không ở dạng chuẩn $=1$ theo cách trình bày của đề (đáp án theo key của đề là B). Vậy phương trình không phải phương trình chính tắc của hypebol theo yêu cầu của đề là phương trình ở phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$ (hoặc $b>a>0$). Xét từng phương án: A) $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{6}=1$ có mẫu $1<6$, không thỏa $a>b>0$ theo dạng chính tắc chuẩn (đây là elip nhưng với mẫu dưới lớn hơn, không phải dạng chính tắc chuẩn $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b$); B) $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ có $a^2=2>b^2=1>0$, là phương trình chính tắc của elip; C) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{9}=1$ là đường tròn; D) $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1$ là hyperbol. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (đề 102, câu 12: B).

Phương trình của Elip có dạng $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,(0<b<a).$$

Theo giả thiết, ta có
$$\{\begin{array}{l}2a=20\\ 2b=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=10\\ b=2\end{array}.$$ Phương trình của Elip có dạng $$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{4}=1.$$ (0,25 điểm)

Tại vị trí của điểm trên thuyền cách đầu thuyền $2m$ ứng với điểm $M$ nằm trên Elip có hoành độ bằng $-8$. Khi đó tung độ của điểm $M$ là $1,2$ hoặc $-1,2$.

Kết luận: Vậy chiều ngang của thuyền ở vị trí cách đầu thuyền $2m$ là $2.1,2=2,4m$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a\ne b$, $a,b>0$. Xét các phương án: A là $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1$ có dấu trừ nên là phương trình hyperbol, loại. C là $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{6}=1$ tuy có dạng tổng nhưng theo quy ước phương trình chính tắc của elip thường yêu cầu $a^2>b^2$ (trục lớn nằm trên trục hoành), nên không phải dạng chính tắc chuẩn. D là $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{9}=1$ có $a=b=3$ là phương trình đường tròn, không phải elip. Phương án B: $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ có $a^2=2>b^2=1>0$, đúng là phương trình chính tắc của elip. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 10: B).

Phương trình của Elip có dạng $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,(0<b<a).$$

Theo giả thiết, ta có
$$\{\begin{array}{l}2a=20\\ 2b=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=10\\ b=2\end{array}.$$ Phương trình của Elip có dạng $$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{4}=1.$$ (0,25 điểm)

Tại vị trí của điểm trên thuyền cách đầu thuyền $2m$ ứng với điểm $M$ nằm trên Elip có hoành độ bằng $-8$. Khi đó tung độ của điểm $M$ là $1,2$ hoặc $-1,2$.

Kết luận: Vậy chiều ngang của thuyền ở vị trí cách đầu thuyền $2m$ là $2.1,2=2,4m$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (hoặc $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$) với vế phải bằng $1$. Các phương trình ở B, C, D đều có vế phải bằng $1$ nên là phương trình chính tắc của hypebol. Riêng phương trình A: $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=-1$ có vế phải bằng $-1$, không đúng dạng chính tắc (khi viết lại $\frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{6}=1$ mới là chính tắc). Vậy đáp án là A, trùng với đáp án của đề (mã đề 101, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$ (đỉnh tại gốc tọa độ, trục đối xứng là trục hoành). Trong các phương án: $y=4x$ là đường thẳng; $y=2x^2$ là parabol nhưng không phải phương trình chính tắc (dạng chính tắc tương ứng là $x^2=\frac{y}{2}$, trục là trục tung, không đúng dạng chuẩn $y^2=2px$ với trục hoành); $y^2+x^2=1$ là đường tròn. Phương trình $y^2=8x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=8$, tức $p=4$, đây là phương trình chính tắc của parabol. Đáp án khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Elip có $a^2=25\Rightarrow a=5$, nên với mọi điểm $P$ thuộc elip: $P{F}_1+P{F}_2=2a=10$. Đặt $M{F}_1=x\Rightarrow M{F}_2=10-x$; đặt $N{F}_2=y\Rightarrow N{F}_1=10-y$. Theo giả thiết $M{F}_1+2N{F}_2=x+2y=9$. Khi đó $M{F}_2+2N{F}_1=(10-x)+2(10-y)=30-(x+2y)=30-9=21$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (21).

Gọi $(H):\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}{a}^2=16\\ b^2=9\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=4\\ b=3\end{array}\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{25}=5$. Tiêu điểm của gương là $F_1(-5;0)$ và $F_2(5;0)$. Đỉnh của gương là $A_1(-4;0)$. Vậy khoảng cách từ tâm của máy ảnh tới đỉnh của gương là $F_2{A}_1=9$.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. Vì $N(\sqrt{5};0)$ thuộc hypebol nên $\frac{5}{a^2}=1\Rightarrow a^2=5$. Vì $M(-5;2\sqrt{3})$ thuộc hypebol nên $\frac{25}{5}-\frac{12}{b^2}=1\Rightarrow \frac{12}{b^2}=4\Rightarrow b^2=3$. Vậy phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{3}=1$, khớp đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $(P):y^2=12x$ có dạng $y^2=2px$, so sánh ta được $2p=12\Rightarrow p=6$. Vậy tham số tiêu của parabol là $p=6$, khớp với đáp án nguồn (Đề 102, Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ có $a^2=9\Rightarrow a=3$, nên với mọi điểm thuộc elip: tổng khoảng cách tới hai tiêu điểm bằng $2a=6$.

Với $M$: $M{F}_1+M{F}_2=6\Rightarrow M{F}_2=6-M{F}_1$.
Với $N$: $N{F}_1+N{F}_2=6\Rightarrow N{F}_1=6-N{F}_2$.

Do đó:
$$M{F}_2+2N{F}_1=(6-M{F}_1)+2(6-N{F}_2)=18-(M{F}_1+2N{F}_2)=18-8=10.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 2 Phần III: 10).

Gọi $(H):\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}{a}^2=16\\ b^2=9\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=4\\ b=3\end{array}\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{25}=5$. Tiêu điểm của gương là $F_1(-5;0)$ và $F_2(5;0)$. Đỉnh của gương là $A_1(-4;0)$. Vậy khoảng cách từ tâm của máy ảnh tới đỉnh của gương là $F_2{A}_1=9$.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có phương trình chính tắc dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. Vì $B(-1;0)\in (H)$ nên $\frac{1}{a^2}=1\Rightarrow a^2=1$. Vì $A(2;2\sqrt{3})\in (H)$ nên $\frac{4}{1}-\frac{12}{b^2}=1\Rightarrow \frac{12}{b^2}=3\Rightarrow b^2=4$. Vậy $(H):\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{4}=1$, khớp đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $(P):y^2=6x$ có dạng chính tắc $y^2=2px$ với $2p=6$, suy ra $p=3$. Vậy tham số tiêu của parabol là $p=3$, tương ứng phương án B. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Đề 101, Câu 9: B).

Vì bạn Nam đã tìm đúng phương trình Elip là $(E):\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$ nên ta có $a^2=100$ và $b^2=64$. Khi đó tiêu cự là $2\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{100-64}=12$.