Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

Đáp số: 4.

Từ phương trình chính tắc của elip ta có: $a^2=25,b^2=9$.

Ta lại có $c^2=a^2-b^2\iff c^2=25-9\Rightarrow c=4$.

Vậy $c=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $(H):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ có $a^2=9$, $b^2=4$ với trục tiêu là trục $Ox$. Khi đó $c^2=a^2+b^2=9+4=13\Rightarrow c=\sqrt{13}$. Vậy các tiêu điểm là $F_1(-\sqrt{13};0)$ và $F_2(\sqrt{13};0)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a\ge b>0$. Xét các phương án: A) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=0$ chỉ có nghiệm $(0;0)$, không phải elip. B) $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=4<b^2=9$, không phải dạng chính tắc (đây là elip với trục lớn trên trục $Oy$, viết dưới dạng không chính tắc). C) $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ là phương trình của hyperbol. D) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ có $a^2=9\ge b^2=4$, đúng là phương trình chính tắc của elip. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 9: D).

Đáp số: 4.

Từ phương trình chính tắc của elip ta có: $a^2=25,b^2=9$.

Ta lại có $c^2=a^2-b^2\iff c^2=25-9\Rightarrow c=4$.

Vậy $c=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $(H):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ có $a^2=9$, $b^2=4$ với trục tiêu là trục $Ox$. Ta có $c^2=a^2+b^2=9+4=13\Rightarrow c=\sqrt{13}$. Vậy các tiêu điểm là $F_1=(-\sqrt{13};0)$ và $F_2=(\sqrt{13};0)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1001: A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$. Xét các phương án: A có vế phải bằng 0 (không phải elip); B có $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ với $9>4$ tức mẫu của $y^2$ lớn hơn — vẫn là elip chính tắc (trục lớn trên trục $Oy$); C là phương trình hyperbol do có dấu trừ; D là $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ với $9>4$ — elip chính tắc. Cả B và D đều là elip chính tắc về mặt toán học, nhưng đáp án của đề (mã đề 1001, trang đáp án) là D, nên chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=25,b^2=9$ nên $c^2=a^2-b^2=16\Rightarrow c=4$. Elip có trục lớn nằm trên trục $Ox$ nên các tiêu điểm là $F_1(-4;0)$ và $F_2(4;0)$. Khớp với đáp án A (mã đề B, câu 11: A).

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm chính giữa hai cột, trục Oy đi qua điểm chính giữa, hai bên cột lần lượt nằm về hai phía của trục tung (như hình vẽ). Phương trình hyperbol (H) có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)$. [Hình cần kiểm tra lại: p11_f1] Theo bài ra ta có: A₁A₂ = 0,8 m; AB = EH = 1 m. Khoảng cách giữa HE và AB là 6 m. (H) cắt trục hoành tại hai điểm A₁, A₂, ta xác định được tọa độ 2 điểm là: A₁(−0,4; 0) và A₂(0,4; 0). Thay tọa độ A₂ vào phương trình (H) ta được: $\frac{(-0,4{)}^2}{a^2}=1$. Suy ra a = 0,4 (do a > 0). Ta xác định được tọa độ điểm E là E(0,5; 3). (H) đi qua điểm có tọa độ E(0,5; 3) nên: b = 4 (do b > 0). Vậy phương trình (H) là: $\frac{x^2}{0,16}-\frac{y^2}{16}=1$ (0,25). Gọi F là điểm thuộc hyperbol mà cột có độ cao 5 m. Ở độ cao 5 m thì khoảng cách từ vị trí F đó đến trục hoành là 2 m, tương ứng ta có tung độ điểm F là y = 2 suy ra hoành độ của F là x ≈ ± 0,45. Vậy độ rộng cần tìm là: 0,9m (0,25).

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$ có $a^2=100,b^2=36$ với $a>b$ nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$. Ta có $c^2=a^2-b^2=100-36=64\Rightarrow c=8$. Vậy hai tiêu điểm là $F_1(-8;0)$ và $F_2(8;0)$, tương ứng phương án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Mã đề A, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có đỉnh $G(-13;0)$ nên $a=13$. Tiêu điểm $M(-\sqrt{170};0)$ nên $c=\sqrt{170}$. Suy ra $b^2=c^2-a^2=170-169=1$, tức $b=1$. Vậy $a+b=13+1=14$.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có đỉnh $A(-3;0)$ nên $a=3$. Tiêu điểm $N(\sqrt{73};0)$ nên $c=\sqrt{73}$. Suy ra $b^2=c^2-a^2=73-9=64$, do đó $b=8$. Vậy $a+b=3+8=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=14x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=14\Rightarrow p=7$, nên tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)=F\left(\frac{7}{2};0\right)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có đỉnh $A(15;0)$ nên $a=15$. Tiêu điểm $D(-3\sqrt{26};0)$ nên $c=3\sqrt{26}$, suy ra $c^2=234$. Vì $b^2=c^2-a^2=234-225=9$ nên $b=3$. Vậy $a+b=15+3=18$.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=14x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=14\Rightarrow p=7$, tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)=F\left(\frac{7}{2};0\right)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=14x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=14\Rightarrow p=7$. Tiêu điểm là $F\left(\frac{p}{2};0\right)=F\left(\frac{7}{2};0\right)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có đỉnh $G(-4;0)$ nên $a=4$. Tiêu điểm $M(2\sqrt{13};0)$ nên $c=2\sqrt{13}$, do đó $c^2=52$. Ta có $b^2=c^2-a^2=52-16=36\Rightarrow b=6$. Vậy $a+b=4+6=10$.

Theo bảng đáp án trắc nghiệm chính thức của đề (Hướng dẫn chấm, trang 5, mã đề 0102, Câu 11), đáp án là C. Phương trình $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a^2=4>b^2=1$, nên là phương trình chính tắc của elip; phương trình A là hyperbol, phương trình B vô nghiệm (vế trái không âm, vế phải âm), phương trình D có $a^2<b^2$ nên không phải phương trình chính tắc của elip.

Phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
Ta có tiêu cự $2c=6$ suy ra $c=3$
Mặt khác $(H)$ đi qua điểm $A(2;0)$ nên $\frac{2^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1$ suy ra $a=2$ (0,25 điểm)
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$
Vậy phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ là $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ (0,25 điểm)

Gọi $F_1,F_2$ lần lượt là hai tiêu điểm của mảnh vườn hình elip, $M$ là điểm bất kỳ trên bờ vườn.
Theo đề ra ta có $\{\begin{array}{l}M{F}_1+M{F}_2=2a\\ F_1{F}_2=2c\end{array}$ suy ra $\{\begin{array}{l}2a=34\\ 2c=16\end{array}$ hay $\{\begin{array}{l}a=17\\ c=8\end{array}$
$b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15$.
Diện tích của elip $(E)$ là $S_1=\pi ab=\pi \cdot 17\cdot 15=255\pi$
Phương trình chính tắc của elip $(E)$: $\frac{x^2}{289}+\frac{y^2}{225}=1$ cắt trục $Oy$ tại $B(0;15)$ và $B^{\prime }(0;-15)$, suy ra đường tròn tiếp xúc với elip tại hai điểm $B(0;15)$ và $B^{\prime }(0;-15)$ nên đường tròn có bán kính $R=15$
Diện tích hình tròn là $S_2=\pi R^2=\pi \cdot 15^2=225\pi$
Vậy diện tích phần làm đường đi là
$S=S_1-S_2=255\pi -225\pi =30\pi \approx 94,25(m^2)$

(AI giải đề cho tôi) Theo định nghĩa, tập hợp các điểm $M$ sao cho $|M{F}_1-M{F}_2|=2a$ với $0<2a<2c$ (tức $a<c$) là hyperbol với hai tiêu điểm $F_1$, $F_2$, độ dài trục thực $2a$, tiêu cự $2c$. Hình vẽ hai nhánh hyperbol cũng khẳng định điều này. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 3: D).