Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$ (hoặc $x^2=2py$). Xét các phương án: A là $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ — phương trình chính tắc của elip; B là $y=2x$ — phương trình đường thẳng; C là $y^2=2x$ — đúng dạng chính tắc của parabol với $2p=2$, tức $p=1$, đỉnh tại gốc tọa độ, nhận trục $Ox$ làm trục đối xứng, hướng về phía dương của trục $Ox$; D là $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ — phương trình chính tắc của hyperbol. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ trong đề là một đường cong khép kín dạng oval (dẹt hơn đường tròn), đây là hình dạng đặc trưng của đường Elip. Đường tròn có hình tròn đều, parabol và hypebol là đường mở. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 0101: Câu 1 = C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của Hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (dấu trừ giữa hai bình phương, vế phải bằng 1). Xét các phương án: A: $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$ có hiệu hai bình phương bằng 1, đúng dạng Hypebol. B và D: $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$ và $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ là phương trình Elip (tổng hai bình phương). C: $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$ là phương trình đường thẳng. Vậy đáp án là A, trùng với bảng đáp án mã đề 0101 (Câu 12: A).

Phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
Ta có tiêu cự 2c = 10 suy ra c = 5
Mặt khác $(H)$ đi qua điểm $A(3;0)$ nên $\frac{3^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1$ suy ra $a=3$ (0,25 điểm)
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
Vậy phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ là $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$ (hoặc $x^2=2py$). Trong các phương án: $y=6x^2$ là hàm số bậc hai (đồ thị parabol nhưng không phải phương trình chính tắc dạng chuẩn trong SGK); $y=6x$ là đường thẳng; $y^2=\frac{6}{x}$ không phải đường cônic; $y^2=6x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=6$, tức $p=3$, là phương trình chính tắc của parabol đỉnh $O$, trục đối xứng là $Ox$. Vậy đáp án là D, trùng với bảng đáp án (Câu 9, mã đề 0101: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất elip, với mọi điểm $M$ thuộc $(E)$ ta có $M{F}_1+M{F}_2=2a$. Vì $M{F}_1+M{F}_2=10$ nên $2a=10\Rightarrow a=5$. Khớp với đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 528, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa elip, với mọi điểm $M$ thuộc $(E)$ ta có $M{F}_1+M{F}_2=2a$. Vì $M{F}_1+M{F}_2=6$ nên $2a=6\Rightarrow a=3$. Khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 391, câu 1 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Elip (E): x^2/16 + y^2/9 = 1 có a^2=16, b^2=9 nên c^2 = a^2 - b^2 = 7, c = √7.
a) Sai: tiêu điểm là F_1(-√7;0), F_2(√7;0), không phải (±2√7;0).
b) Sai: tiêu cự 2c = 2√7, không phải √7.
c) Đúng: với M thuộc (E) có MF_1 + MF_2 = 2a = 8. Kết hợp MF_1 + 2MF_2 = 11 suy ra MF_2 = 3, MF_1 = 5. Khi đó 2MF_1 + MF_2 = 10 + 3 = 13.
d) Đúng: thay A(4;0) vào phương trình: 16/16 + 0 = 1, nên A thuộc (E).
a) (AI giải đề cho tôi)
c^2 = 16 - 9 = 7 nên c = √7; tiêu điểm là (±√7;0) chứ không phải (±2√7;0).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiêu cự 2c = 2√7 ≠ √7.
c) (AI giải đề cho tôi)
MF_1 + MF_2 = 8 và MF_1 + 2MF_2 = 11 ⇒ MF_2 = 3, MF_1 = 5 ⇒ 2MF_1 + MF_2 = 13.
d) (AI giải đề cho tôi)
4^2/16 + 0 = 1 nên A(4;0) thuộc (E).

Phương trình chính tắc của $(E):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.
Ta có: $2a=140\Rightarrow a=70,2b=100\Rightarrow b=50$.
Suy ra $(E):\frac{x^2}{4900}+\frac{y^2}{2500}=1$.
Chọn $M\left(x_M;y_M\right)$ là đỉnh hình chữ nhật và $x_M>0,y_M>0$.
Ta có: $\frac{x_M^2}{4900}+\frac{y_M^2}{2500}=1$.
Diện tích hình chữ nhật là
$S=4x_M\cdot y_M=7000\cdot 2\cdot \frac{x_M}{70}\cdot \frac{y_M}{50}\le 7000\left(\frac{x_M^2}{4900}+\frac{y_M^2}{2500}\right)=7000\left(m^2\right)$

(AI giải đề cho tôi)
Elip có $a^2=36,b^2=25$ nên $a=6,b=5$. Vì $a>b$, trục lớn nằm trên $Ox$ và trục nhỏ nằm trên $Oy$. Hai đỉnh thuộc trục $Oy$ là $B_1(0;-b),B_2(0;b)$, tức $B_1(0;-5),B_2(0;5)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 0003, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Elip (E): x^2/16 + y^2/9 = 1 có a^2=16, b^2=9 nên c^2 = a^2 - b^2 = 7, c = √7.
a) Thay A(4;0): 16/16 + 0 = 1, nên A thuộc (E). Đúng.
b) Tiêu điểm là F1(-√7;0), F2(√7;0), không phải (±2√7;0). Sai.
c) Tiêu cự 2c = 2√7 ≠ √7. Sai.
d) Với M thuộc (E): MF1 + MF2 = 2a = 8. Kết hợp MF1 + 2MF2 = 11 suy ra MF2 = 3, MF1 = 5. Khi đó 2MF1 + MF2 = 10 + 3 = 13. Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn: ĐSSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(4;0) vào phương trình: 16/16 + 0 = 1 nên A thuộc (E).
b) (AI giải đề cho tôi)
c^2 = 16 - 9 = 7 nên tiêu điểm là F1(-√7;0), F2(√7;0), không phải (±2√7;0).
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiêu cự 2c = 2√7, không bằng √7.
d) (AI giải đề cho tôi)
MF1 + MF2 = 2a = 8; kết hợp MF1 + 2MF2 = 11 được MF2 = 3, MF1 = 5, nên 2MF1 + MF2 = 13.

Phương trình chính tắc của $(E):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.
Ta có: $2a=120\Rightarrow a=60,2b=90\Rightarrow b=45$. Suy ra $(E):\frac{x^2}{3600}+\frac{y^2}{2025}=1$.
Chọn $M\left(x_M;y_M\right)$ là đỉnh hình chữ nhật và $x_M>0,y_M>0$. Ta có: $\frac{x_M^2}{3600}+\frac{y_M^2}{2025}=1$.
Diện tích hình chữ nhật là $S=4x_M\cdot y_M=5400\cdot 2\cdot \frac{x_M}{60}\cdot \frac{y_M}{45}\le 5400\left(\frac{x_M^2}{3600}+\frac{y_M^2}{2025}\right)=5400\left(m^2\right)$

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1$ có $a^2=36,b^2=25$ với $a^2>b^2$ nên trục lớn nằm trên $Ox$, trục nhỏ trên $Oy$. Hai đỉnh thuộc trục $Oy$ là $B_1(0;-b),B_2(0;b)$ với $b=\sqrt{25}=5$, tức $B_1(0;-5),B_2(0;5)$. Đáp án khớp với mã đề 0001: D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$. Xét các phương án: A có vế phải bằng $-1$ (sai); B có $a^2=36<b^2=64$ (đây là elip đặt theo trục Oy, không phải dạng chính tắc chuẩn với trục lớn là Ox); C là phương trình hyperbol (dấu trừ); D có $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$ với $a^2=64>b^2=36>0$, đúng là phương trình chính tắc của elip. Đáp án khớp với đáp án nguồn (đề 102, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=8x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=8\Rightarrow p=4$. Tiêu điểm là $F\left(\frac{p}{2};0\right)=F(2;0)$. Khớp với đáp án A trong bảng HD chấm (đề 102, câu 7 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=16x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=16\Rightarrow p=8$. Tiêu điểm của parabol $y^2=2px$ là $F\left(\frac{p}{2};0\right)=F(4;0)$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (đề 101, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ là phương trình chính tắc của hyperbol với $a^2=16,b^2=9$, nên $a=4,b=3$, $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{25}=5$. a) Sai vì đây là hyperbol, không phải parabol. b) Sai vì hình vẽ trong đề là một elip (đường cong khép kín), trong khi hyperbol có hai nhánh mở. c) Đúng vì theo định nghĩa hyperbol, $\left|M{F}_1-M{F}_2\right|=2a=8$. d) Đúng vì hai tiêu điểm là $F_1(-5;0)$ và $F_2(5;0)$ (trên trục $Ox$ vì $x^2$ có dấu dương). Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1002: SSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ nên đây là hyperbol, không phải parabol.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ trong đề là một elip (đường cong khép kín qua các điểm gần $(\pm 2,5;0)$), còn hyperbol $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ có hai nhánh mở với đỉnh $(\pm 4;0)$, nên hình vẽ không phải của đường conic đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa hyperbol, với mọi điểm $M$ thuộc hyperbol: $\left|M{F}_1-M{F}_2\right|=2a=2\cdot 4=8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$a^2=16,b^2=9\Rightarrow c=\sqrt{16+9}=5$. Vì trục thực là trục $Ox$ nên hai tiêu điểm là $F_1(-5;0)$ và $F_2(5;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$. Xét các phương án: A có vế phải bằng 0 nên không phải; B có $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ với $a^2=9>b^2=4$ là phương trình chính tắc của elip; C có $a^2=4<b^2=9$ nên là elip nhưng không phải phương trình chính tắc (theo quy ước $a>b$); D có dấu trừ nên là phương trình chính tắc của hyperbol. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 9: B).