Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$. Xét các phương án: A là phương trình hyperbol (dấu trừ); B có $a^2=4<b^2=25$ nên không phải dạng chính tắc với trục lớn trên Ox (đây là elip nhưng không phải dạng chuẩn $a>b$); C có $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$ với $25>4>0$ là phương trình chính tắc của elip; D có vế phải bằng 0, không phải elip. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a^2=9,b^2=16$, nên đây là hypebol với $a=3,b=4$, do đó $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{25}=5$, hai tiêu điểm là $F_1(-5;0),F_2(5;0)$. a) Đúng vì phương trình có dạng hypebol ($x^2$ dương, $y^2$ âm). b) Sai vì hình vẽ trong đề là một elip (đường cong khép kín đi qua $(\pm 3;0)$ và $(0;\pm 2)$), không phải hai nhánh hypebol. c) Đúng vì với mọi điểm $M$ trên hypebol, $||M{F}_1|-|M{F}_2||=2a=6$. d) Sai vì tiêu điểm có hoành độ $\pm c=\pm 5$, không phải $-25$. Kết quả khớp đáp án mã đề 1001: ĐSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ nên là hypebol.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ trong đề là một elip (đường cong khép kín), còn hypebol $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ có hai nhánh riêng biệt với tiệm cận $y=\pm \frac{4}{3}x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=3$, theo định nghĩa hypebol: $||M{F}_1|-|M{F}_2||=2a=6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=5$, nên tiêu điểm là $F_1(-5;0)$, không phải $(-25;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $(H):\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=16,b^2=9\Rightarrow a=4,b=3$, $c^2=a^2+b^2=25\Rightarrow c=5$. Hai đỉnh là $(-4;0)$ và $(4;0)$, hai tiêu điểm là $(-5;0)$ và $(5;0)$.
a) Sai: điểm trên trục hoành có hoành độ âm là đỉnh $(-4;0)$; tiêu điểm có hoành độ dương là $(5;0)$; khoảng cách $=4+5=9\ne 1$.
b) Đúng: hai điểm trên trục hoành của hypebol là hai đỉnh $(-4;0)$ và $(4;0)$, khoảng cách $=2a=8$.
c) Đúng: tiêu cự $2c=2\cdot 5=10$.
d) Sai: thay $x=4,y=0$ vào phương trình: $\frac{16}{16}-0=1$, nên $M(4;0)$ nằm trên hypebol.
Kết quả SDDS khớp với bảng đáp án chính thức (mã đề 1002, PHẦN II Câu 4).
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm trên trục hoành có hoành độ âm là đỉnh $(-4;0)$; tiêu điểm có hoành độ dương là $(5;0)$; khoảng cách $=9\ne 1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm trên trục hoành của hypebol là hai đỉnh $(-4;0)$ và $(4;0)$, khoảng cách $=2a=8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$c^2=16+9=25\Rightarrow c=5$, tiêu cự $2c=10$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=4,y=0$: $\frac{16}{16}-0=1$, nên $M(4;0)$ nằm trên hypebol.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=25,b^2=9$ với $a>b$ nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$. Ta có $c^2=a^2-b^2=25-9=16\Rightarrow c=4$. Vậy $F_1(-4;0),F_2(4;0)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Elip (E) nhận F1(-√3;0) làm tiêu điểm nên c=√3, dạng x²/a² + y²/b² = 1 với a²−b²=3. Vì M(1;√3/2) thuộc elip: 1/a² + (3/4)/b² = 1. Đặt t=b², a²=t+3: 1/(t+3) + 3/(4t) = 1 ⇒ 4t + 3(t+3) = 4t(t+3) ⇒ 7t+9 = 4t²+12t ⇒ 4t²+5t−9=0 ⇒ t=1 (nhận) hoặc t=−9/4 (loại). Vậy b²=1, a²=4, phương trình chính tắc x²/4 + y²/1 = 1 (c Đúng); tiêu cự 2c=2√3 (d Đúng).
a) MF1 = √((1+√3)² + (√3/2)²) = √(4+2√3+3/4) = √(19/4+2√3) ≈ 2,87 ≠ (2−√3)/2 ≈ 0,13 ⇒ Sai.
b) Thay N(−1;√3/2) vào phương trình: 1/4 + 3/4 = 1 ⇒ N nằm trên elip, nên khẳng định 'N không nằm trên elip' Sai.
Đối chiếu bảng đáp án chính thức mã đề 1001, PHẦN II Câu 4: SSDD — khớp hoàn toàn với kết quả giải.
a) (AI giải đề cho tôi)
MF1 = √((1+√3)² + 3/4) = √(19/4 + 2√3) ≈ 2,87, khác (2−√3)/2 ≈ 0,13 nên mệnh đề Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay N(−1;√3/2) vào x²/4 + y² = 1 được 1/4 + 3/4 = 1, nên N nằm trên elip; khẳng định 'không nằm' là Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
c=√3 nên a²−b²=3; M(1;√3/2) thuộc elip cho hệ 1/a² + 3/(4b²) = 1, giải được b²=1, a²=4 ⇒ x²/4 + y²/1 = 1, Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiêu cự 2c = 2√3, Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chuẩn hóa: $16x^2-4y^2=144\iff \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{36}=1$, nên $a^2=9,b^2=36$. Hypebol có trục thực là trục $Ox$ nên $c^2=a^2+b^2=45$, $c=3\sqrt{5}$. Vậy $F_1(-3\sqrt{5};0),F_2(3\sqrt{5};0)$, trùng đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=2px$ có tham số tiêu $p$. Với $y^2=5x$ thì $2p=5\Rightarrow p=\frac{5}{2}$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 209, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tiêu điểm $F_1=(-12;0)$ nằm trên trục $Ox$ nên $c^2=144$. Elip đi qua $M(0;5)$ nên thay vào phương trình chính tắc: $\frac{0}{a^2}+\frac{25}{b^2}=1\Rightarrow b^2=25$. Do đó $a^2=b^2+c^2=25+144=169\Rightarrow a=13$ (vì $a>0$). Kết quả khớp với đáp án nguồn là 13.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$. Xét các phương án: A là $\frac{x}{9}+\frac{y}{8}=1$ (bậc nhất, là đường thẳng); B là $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$ với $a^2=9>b^2=1>0$, thỏa mãn dạng chính tắc của elip; C là $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{8}=1$ (dấu trừ, là hyperbol); D là $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$ với hệ số dưới $x^2$ nhỏ hơn hệ số dưới $y^2$, không đúng dạng chính tắc chuẩn $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b$. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 209, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=2px$ có tham số tiêu $p$. So sánh $y^2=5x$ với $y^2=2px$ ta được $2p=5\Rightarrow p=\frac{5}{2}$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 132, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tiêu điểm $F_1=(-4;0)$ nên $c=4$. Elip đi qua $M(0;3)$, thay vào phương trình chính tắc: $\frac{0}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1\Rightarrow b^2=9\Rightarrow b=3$. Theo hệ thức elip: $a^2=b^2+c^2=9+16=25\Rightarrow a=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (5).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$. Xét các phương án: A là phương trình đường thẳng chắn hai trục (bậc nhất), không phải elip. B: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$ có $a^2=9>b^2=1>0$, đây là phương trình chính tắc của elip. C: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{8}=1$ có dấu trừ, là phương trình chính tắc của hyperbol. D: $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$ có $a^2=2<b^2=3$, không viết theo dạng chính tắc với trục lớn trên trục $Ox$ (không thỏa $a>b$). Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 132, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=4x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=4\Rightarrow p=2$. Tiêu điểm của parabol $y^2=2px$ là $F\left(\frac{p}{2};0\right)=F(1;0)$. Vậy chọn đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 11: B).

Đáp án chính thức: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của hyperbol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (vế phải bằng 1, hai dấu trái khác nhau). Xét các phương án: A: $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{6}=1$ có dạng hyperbol chính tắc với $a^2=1,b^2=6$. B: vế phải $=-1$ và dấu cộng, không phải hyperbol. C: $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{1}=1$ là elip. D: vế phải $=-1$, không phải dạng chính tắc của hyperbol. Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, Câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của hyperbol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (vế trái hiệu hai bình phương, vế phải bằng 1). Xét các phương án: A là elip $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{1}=1$; B có vế phải $-1$ nên vô nghiệm, không phải hyperbol; C có dạng $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{6}=1$ đúng dạng chính tắc của hyperbol; D có vế phải $-1$, tương đương $\frac{y^2}{2}-\frac{y^2}{3}$... tức $\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{3}=1$ (hyperbol với trục thực là $Oy$), không phải dạng chính tắc chuẩn theo trục $Ox$ như yêu cầu. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 0101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Nửa elip cao 4 m (b=4), rộng 10 m (2a=10, a=5), tâm O tại chân hầm. c²=a²−b²=25−16=9, c=3. a) Tiêu điểm F₁(−3;0), F₂(3;0): Đúng. b) Tiêu cự 2c=6≠8: Sai. c) Phương trình chính tắc x²/25+y²/16=1: Đúng. d) Điểm cách chân hầm 2 m có x=±3, khi đó y=4√(1−9/25)=4·(4/5)=16/5 m ≠ 17/5 m: Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 0101: ĐSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
a=5, b=4 nên c²=25−16=9, c=3, tiêu điểm F₁(−3;0), F₂(3;0).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiêu cự 2c=2·3=6, không phải 8.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với a=5, b=4, phương trình chính tắc là x²/25+y²/16=1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại x=3: y=4√(1−9/25)=16/5 m, không phải 17/5 m.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=4x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=4\Rightarrow p=2$. Tiêu điểm của parabol $y^2=2px$ là $F\left(\frac{p}{2};0\right)=F(1;0)$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 0101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục Ox trên mặt đất, gốc tại A. Parabol đi qua A(0;0), B(162;0) nên có dạng $y=ax(162-x)$, đỉnh tại $x=81$. Điểm M có hoành độ $x=HA=10$, tung độ $MH=43$, suy ra $43=a\cdot 10\cdot 152\Rightarrow a=\frac{43}{1520}$. Chiều cao cổng là tung độ đỉnh: $h=a\cdot 81^2=\frac{43\cdot 6561}{1520}\approx 185,6m$. Vậy chọn D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$ ta có $a^2=25,b^2=9$ nên $a=5$, $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{34}\approx 5,831$. Tiêu điểm phải $F_2(\sqrt{34};0)$, đỉnh nhánh trái $A_1(-5;0)$. Khoảng cách $F_2{A}_1=\sqrt{34}+5\approx 10,8$.