Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $(P):y^2=24x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=24\Rightarrow p=12$. Tiêu điểm của parabol $y^2=2px$ là $F\left(\frac{p}{2};0\right)=F(6;0)$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tiêu cự $2c=6\Rightarrow c=3$. Elip đi qua $A(5;0)$ nên trục lớn nằm trên trục hoành với $a=5$, suy ra $b^2=a^2-c^2=25-9=16$. Vậy phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$, tương ứng phương án B.

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với điều kiện $a>b>0$. Xét các phương án:
- Phương án A: $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$ là phương trình chính tắc của hypebol (do có dấu trừ).
- Phương án C: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=-1$ vô lý vì vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi $x,y$.
- Phương án D: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$ có mẫu số của $x^2$ nhỏ hơn mẫu số của $y^2$ (tức là $a^2<b^2$), vi phạm điều kiện $a>b>0$. Đây là elip có tiêu điểm nằm trên trục $Oy$, không phải dạng chính tắc.
- Phương án B: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ đúng dạng chuẩn với $a=5,b=4(5>4>0)$.
Vậy phương án đúng là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.
Chọn đáp án (B)

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a,b>0$. Xét các phương án:
- Phương án A là phương trình chính tắc của elip.
- Phương án C sai dấu bên vế phải (phải là số 1).
- Phương án D là phương trình của parabol.
- Phương án B đúng dạng với $a^2=16$ và $b^2=9$.
Chọn đáp án (B)

Từ phương trình parabol $y^2=8x$, ta có $2p=8\Rightarrow p=4$. Phương trình đường chuẩn của parabol có dạng $\Delta :x=-\frac{p}{2}$. Thay $p=4$ vào, ta được phương trình đường chuẩn là $x=-2$.
Chọn đáp án (A)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại tâm mặt cắt, trục Ox nằm ngang. Nửa elip có bán trục lớn $a=10m$ (rộng $20m$) và bán trục nhỏ $b=8m$ (cao $8m$), phương trình: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$ với $y\ge 0$. Điểm cách chân tường $5m$ có hoành độ $x=10-5=5$. Thay vào: $\frac{25}{100}+\frac{y^2}{64}=1\Rightarrow y^2=64\cdot \frac{3}{4}=48\Rightarrow y=4\sqrt{3}\approx 6,93m$. Vậy khoảng cách cần tìm là $6,93m$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của Elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$ (trục lớn nằm trên trục Ox). Xét các phương án: A có $a^2=1<4=b^2$ (đây là elip với trục lớn trên Oy, không phải dạng chính tắc chuẩn với $a>b$); B có $4<5$; C có $a^2=b^2=25$ là đường tròn, không phải elip; D có $a^2=5>4=b^2>0$ thỏa mãn. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình chính tắc $(E):\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$ ta có $a^2=64\Rightarrow a=8$. Theo tính chất tổng quát của elip, với mọi điểm $M$ thuộc $(E)$, tổng khoảng cách từ $M$ đến hai tiêu điểm không đổi: $M{F}_1+M{F}_2=2a=2\cdot 8=16$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 1003: C).

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$ có $a^2=64\Rightarrow a=8$. Theo tính chất tổng khoảng cách, với mọi điểm $M$ thuộc elip: $M{F}_1+M{F}_2=2a=2\cdot 8=16$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=8x$ có $2p=8\Rightarrow p=4$. a) Tiêu điểm $F(2;0)$ — đúng. b) Đường chuẩn $x=-\frac{p}{2}=-2$, không phải $x=4$ — sai. c) Thay $(1;2\sqrt{2})$: $(2\sqrt{2}{)}^2=8=8\cdot 1$ — đúng. d) Khoảng cách từ điểm $(x_0;y_0)\in (P)$ tới tiêu điểm bằng $x_0+\frac{p}{2}=x_0+2=5\Rightarrow x_0=3$, khi đó $y_0^2=24$, $y_0=\pm 2\sqrt{6}$, không phải $(2;4)$ (điểm $(2;4)$ có khoảng cách tới $F$ là $\sqrt{(2-2{)}^2+4^2}=4\ne 5$) — sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^2=8x\Rightarrow 2p=8,p=4$, tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)=F(2;0)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường chuẩn là $x=-\frac{p}{2}=-2$, không phải $x=4$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=1,y=2\sqrt{2}$: $(2\sqrt{2}{)}^2=8=8\cdot 1$, thỏa mãn phương trình. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với điểm $(x_0;y_0)\in (P)$, khoảng cách tới tiêu điểm là $x_0+2=5\Rightarrow x_0=3$, $y_0=\pm 2\sqrt{6}$. Điểm $(2;4)$ có khoảng cách tới $F(2;0)$ bằng $4\ne 5$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a,b>0$. Xét các phương án: A và B có vế phải bằng $-1$ (sai dấu, không phải elip); C là phương trình đường thẳng (bậc nhất); D có dạng $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ đúng dạng chính tắc của elip. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 5101, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$ (đỉnh tại gốc tọa độ, trục là $Ox$). Trong các phương án: A có $y^2=2\sqrt{x}$ không phải dạng chính tắc; B là đường thẳng $y=2x$; C là $x^3=2y$ không phải parabol; D là $y^2=2x$ đúng dạng chính tắc với $p=1$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 5101: D).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (vế trái là hiệu hai bình phương, vế phải bằng $1$). Xét các phương án: A và C có dạng tổng hai bình phương bằng $1$ nên là elip; B có dạng $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{25}=-1$ với vế phải bằng $-1$ (tương đương $\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{4}=1$, không phải dạng chính tắc chuẩn với trục thực là $Ox$ như đã cho); D có dạng $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{14}=1$ đúng là phương trình chính tắc của hypebol. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 5101, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$. A: $x^2+y^2=4$ là đường tròn. B: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ có $a^2=16>b^2=4$, đúng là elip. C: dấu trừ nên là hyperbol. D: $y^2=4x$ là parabol. Khớp đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho hai nhánh cong đối xứng qua hai trục, mở về hai phía trái và phải, mỗi nhánh có hai tiệm cận (tiệm cận đứng và tiệm cận ngang) — đây là đặc trưng của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. Đường tròn và elip là đường kín, parabol chỉ có một nhánh, nên loại A, B, C. Đáp án khớp với bảng đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=25,b^2=9$ nên $c^2=a^2-b^2=25-9=16\Rightarrow c=4$. Tiêu cự $2c=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Hyperbol $(H):\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$ có $a^2=25\Rightarrow a=5$. Độ dài trục thực là $2a=10$. Vậy chọn đáp án A.

Từ việc $M$ và $T$ di động trên $(P)$ ta đặt: $M(t^2,2t)$, $T(u^2,2u)$ với $t,u\ne 0$.

Do $OM\perp OT$ nên $t^2{u}^2+4tu=0\Rightarrow tu=-4$.

(1) Vì $tu=-4<0$ nên $t\ne u$. Đường thẳng $MT$ có phương trình $2x-(t+u)y+2tu=0$, hay $2x-(t+u)y-8=0$. Do đó $MT$ luôn đi qua điểm cố định $A(4,0)$.

(2) Gọi $I(x,y)$ là trung điểm của $MT$. Ta có $x=\frac{t^2+u^2}{2}$, $y=t+u$, suy ra $y^2=t^2+u^2+2tu=2x-8$.

Vậy $I$ thuộc parabol cố định $(Q):y^2=2x-8$.

Ngược lại, với mỗi điểm $I(x,y)\in (Q)$, phương trình $z^2-yz-4=0$ có hai nghiệm thực $t,u$ khác 0 thỏa mãn $t+u=y$, $tu=-4$. Khi đó $M(t^2,2t)$, $T(u^2,2u)$ thuộc $(P)$, $OM\perp OT$ và có trung điểm là $I$. Vậy trung điểm của $MT$ luôn chạy trên parabol $(Q)$ cố định.

Chọn hệ trục tọa độ: Chọn hệ trục $Bxy$ với góc $B$, tia $Bx$ chứa $BC$, tia $By$ chứa $BA$. Khi đó $$B(0;0),C(4;0),D(4;2),A(0;2),$$ $$A_1(0;1),A_2(4;1),B_1(2;0),B_2(2;2).$$ Lập phương trình elip: Bốn điểm $A_1,A_2,B_1,B_2$ là các đỉnh của elip nên elip có tâm là trung điểm $I(2;1)$ của $A_1{A}_2$, một trục nằm ngang độ dài $A_1{A}_2=4$ và một trục thẳng đứng độ dài $B_1{B}_2=2$. Do đó elip có phương trình $$\frac{(x-2{)}^2}{4}+(y-1{)}^2=1.$$ Tìm hai giao điểm với đường chéo $AC$: Đường thẳng $AC$ đi qua $A(0;2)$ và $C(4;0)$ nên có phương trình $y=2-\frac{x}{2}$. Thay vào phương trình elip: $$\frac{(x-2{)}^2}{4}+{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^2=1\iff \frac{(x-2{)}^2}{4}+\frac{(x-2{)}^2}{4}=1\iff (x-2{)}^2=2\iff x=2\pm \sqrt{2}.$$ Vậy hai giao điểm là $$M\left(2-\sqrt{2};1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right),N\left(2+\sqrt{2};1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$ Tính thời gian: Ta có $MN=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{10}$ (cm). Vì chất điểm chuyển động với vận tốc 1 cm/s nên thời gian cần tìm bằng $\frac{MN}{1}=\sqrt{10}$ (giây). Đáp số: Thời gian cần tìm bằng $\sqrt{10}\approx 3,16$ giây.

Chọn hệ trục toạ độ: Chọn hệ trục $Oxy$ có gốc trùng với đỉnh $P$ của cung parabol, trục $Oy$ là trục đối xứng của cung parabol và hướng lên trên, trục $Ox$ chứa đoạn thẳng $PQ$. Đơn vị trên hai trục là mét. Phương trình cung parabol: Vì parabol có đỉnh là gốc toạ độ và nhận $Oy$ làm trục đối xứng nên nó có phương trình $y=k{x}^2$. Theo kích thước đã cho, điểm $B(4;8)$ thuộc cung parabol, do đó $8=16k$, suy ra $k=\frac{1}{2}$. Vậy $$(AnB):y=\frac{x^2}{2},x\in [-4;4].$$ Phương trình đường tròn: Điểm $Q(14;0)$ là điểm cao nhất của đường tròn $(C)$ và $(C)$ có bán kính 4, nên tâm của $(C)$ là $J(14;-4)$ và $$(C):(x-14{)}^2+(y+4{)}^2=16.$$ Đưa về bài toán một biến: Với $M$ thuộc cung parabol và $N$ thuộc $(C)$, theo bất đẳng thức tam giác, $$MN\ge MJ-JN=MJ-4,$$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $N$ là giao điểm của đoạn thẳng $MJ$ với $(C)$. Do đó chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của $MJ$. Khảo sát khoảng cách $MJ$: Với $M\left(x;\frac{x^2}{2}\right)$, $x\in [-4;4]$, đặt $$f(x)=M{J}^2=(x-14{)}^2+{\left(\frac{x^2}{2}+4\right)}^2.$$ Ta có $$f^{\prime }(x)=2(x-14)+2\left(\frac{x^2}{2}+4\right)x=x^3+10x-28=(x-2)(x^2+2x+14).$$ Vì $x^2+2x+14=(x+1{)}^2+13>0$ với mọi $x$ nên $f^{\prime }(x)$ cùng dấu với $x-2$. Suy ra $f$ nghịch biến trên $[-4;2]$ và đồng biến trên $[2;4]$, do đó $f$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $[-4;4]$ tại $x=2$: $$\underset{[-4;4]}{\min }f=f(2)=(2-14{)}^2+(2+4{)}^2=144+36=180.$$ Vậy $M{J}_{\min }=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$, đạt được khi $M(2;2)$. Kết luận: $$M{N}_{\min }=6\sqrt{5}-4\approx 9,42\text{ (m)},$$ đạt được khi $M(2;2)$ và $N$ là giao điểm của đoạn thẳng $MJ$ với đường tròn $(C)$. Đáp số: Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN$ bằng $6\sqrt{5}-4$ (mét).