Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 48: n = 5+10+9+4+2 = 30 ngày.
a) Khoảng biến thiên = 300 − 50 = 250 (km) → đúng.
b) Tứ phân vị: n/4 = 7,5 thuộc nhóm [100;150): Q1 = 100 + (7,5−5)/10·50 = 112,5. 3n/4 = 22,5 thuộc nhóm [150;200): Q3 = 150 + (22,5−15)/9·50 = 150 + 375/9 ≈ 191,67. IQR ≈ 191,67 − 112,5 = 79,17 → đúng.
c) Giá trị đại diện: 75, 125, 175, 225, 275. Trung bình = (5·75 + 10·125 + 9·175 + 4·225 + 2·275)/30 = 4650/30 = 155 ≠ 145 → sai.
d) Σf·x² = 5·75² + 10·125² + 9·175² + 4·225² + 2·275² = 813750; 813750/30 = 27125; phương sai = 27125 − 155² = 27125 − 24025 = 3100; độ lệch chuẩn = √3100 ≈ 55,68 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 300 − 50 = 250 (km).
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 112,5; Q3 ≈ 191,67; IQR ≈ 79,17.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình = 4650/30 = 155, không phải 145.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai = 3100, độ lệch chuẩn ≈ 55,68.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+12+15+8=38$. Tần số tích lũy: 3; 15; 30; 38.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=9,5$, giá trị này thuộc nhóm $[5;10)$ nên
$$Q_1=5+\frac{9,5-3}{12}\cdot 5=5+\frac{32,5}{12}\approx 7,7083.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=28,5$, giá trị này thuộc nhóm $[10;15)$ (vì tần số tích lũy trước nhóm là 15) nên
$$Q_3=10+\frac{28,5-15}{15}\cdot 5=10+4,5=14,5.$$

Khoảng tứ phân vị:
$$\Delta Q=Q_3-Q_1=14,5-7,7083\approx 6,79.$$

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng có tần số khác 0 và đầu mút trái của nhóm đầu tiên. Nhóm đầu tiên là $[50;55)$ nên giá trị nhỏ nhất xấp xỉ $50$; nhóm cuối có tần số khác $0$ là $[80;85)$ (nhóm $[85;90)$ có tần số $0$) nên giá trị lớn nhất xấp xỉ $85$. Vậy khoảng biến thiên $R=85-50=35$ (tuổi).

(AI giải đề cho tôi)
Cộng dồn tần số: 5, 17, 42, 86, 100 (n=100). Q1 ứng với vị trí 25: nằm trong nhóm [8,8; 9,0): $Q_1=8,8+\frac{25-17}{25}\cdot 0,2=8,864\approx 8,86$. Q3 ứng với vị trí 75: nằm trong nhóm [9,0; 9,2): $Q_3=9,0+\frac{75-42}{44}\cdot 0,2=9,15$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=9,15-8,86=0,29$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tổng: $n=13+45+24+12+6=100$. Các giá trị đại diện: $x_1=19,25;x_2=19,75;x_3=20,25;x_4=20,75;x_5=21,25$.

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{13\cdot 19,25+45\cdot 19,75+24\cdot 20,25+12\cdot 20,75+6\cdot 21,25}{100}=\frac{2001,5}{100}=20,015$.

Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=13\cdot 370,5625+45\cdot 390,0625+24\cdot 410,0625+12\cdot 430,5625+6\cdot 451,5625=40087,75$.

Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm: $s^2=\frac{40087,75}{100}-(20,015{)}^2=400,8775-400,600225=0,277275$.

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{0,277275}\approx 0,5266\approx 0,53$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các lớp: 20, 22, 24, 26, 28 với tần số 5, 9, 10, 7, 4. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 20+9\cdot 22+10\cdot 24+7\cdot 26+4\cdot 28}{35}=\frac{832}{35}\approx 23,7714$. Tính $\sum n_i{x}_i^2=5\cdot 400+9\cdot 484+10\cdot 576+7\cdot 676+4\cdot 784=19984$. Phương sai: $s^2=\frac{19984}{35}-{\left(\frac{832}{35}\right)}^2\approx 570,9714-565,0816\approx 5,89$.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy đại diện mỗi nhóm là giá trị giữa: 1, 3, 5, 7, 9 với tần số tương ứng 3, 2, 10, 14, 7 (n = 36).

Số trung bình mẫu:
$$\bar{x}=\frac{3\cdot 1+2\cdot 3+10\cdot 5+14\cdot 7+7\cdot 9}{36}=\frac{220}{36}=\frac{55}{9}\approx 6,1111$$

Tổng bình phương: $3\cdot 1^2+2\cdot 3^2+10\cdot 5^2+14\cdot 7^2+7\cdot 9^2=3+18+250+686+567=1524$.

Phương sai mẫu:
$$s^2=\frac{1524}{36}-{\left(\frac{55}{9}\right)}^2=\frac{1524}{36}-\frac{3025}{81}=\frac{404}{81}\approx 4,9877$$

Độ lệch chuẩn:
$$s=\sqrt{\frac{404}{81}}\approx 2,2333\approx 2,23$$

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: 152,5; 157,5; 162,5; 167,5; 172,5 với n = 40. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{6\cdot 152,5+10\cdot 157,5+14\cdot 162,5+5\cdot 167,5+5\cdot 172,5}{40}=\frac{6465}{40}=161,625$. Phương sai: $s^2=\frac{6(152,5-161,625{)}^2+10(157,5-161,625{)}^2+14(162,5-161,625{)}^2+5(167,5-161,625{)}^2+5(172,5-161,625{)}^2}{40}=\frac{1444,375}{40}\approx 36,109$. Độ lệch chuẩn $s\approx \sqrt{36,109}\approx 6,009$, thuộc khoảng $(6;6,5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=30$. a) Khoảng biến thiên $=30-0=30$, không phải 25 → sai. b) $Q_3$ ở vị trí $0.75\cdot 30=22.5$; tích lũy: 2, 8, 16, 25 → nhóm thứ tư $[15;20)$ chứa $Q_3$ → đúng. c) Số trung bình $\bar{x}=(2\cdot 2.5+6\cdot 7.5+8\cdot 12.5+9\cdot 17.5+3\cdot 22.5+2\cdot 27.5)/30=430/30\approx 14.33\ne 10$ → sai. d) $Q_1$ ở vị trí 7.5 thuộc nhóm $[5;10)$: $Q_1=5+(7.5-2)/6\cdot 5\approx 9.583$; $Q_3=15+(22.5-16)/9\cdot 5\approx 18.611$; khoảng tứ phân vị $\Delta Q\approx 9.03<10$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $=30-0=30\ne 25$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vị trí $Q_3=0.75\cdot 30=22.5$, tích lũy đến nhóm $[15;20)$ là $25>22.5$ nên $Q_3$ thuộc $[15;20)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=430/30\approx 14.33\ne 10$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1\approx 9.583$, $Q_3\approx 18.611$, $\Delta Q\approx 9.03<10$.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: 121, 123, 125, 127, 129 (n = 50).

Cổ phiếu A: số trung bình ${\bar{x}}_A=\frac{8\cdot 121+9\cdot 123+12\cdot 125+10\cdot 127+11\cdot 129}{50}=\frac{6264}{50}=125,28$.
Phương sai: $s_A^2=\frac{8\cdot 121^2+9\cdot 123^2+12\cdot 125^2+10\cdot 127^2+11\cdot 129^2}{50}-125,28^2=15702,6-15700,0784=2,5216$. Vậy ý a) sai (7,5216 không đúng).

Cổ phiếu B: ${\bar{x}}_B=\frac{16\cdot 121+4\cdot 123+3\cdot 125+6\cdot 127+21\cdot 129}{50}=\frac{6274}{50}=125,48$. Vậy ý b) sai (115,28 không đúng).

Phương sai B: $s_B^2=\frac{16\cdot 121^2+4\cdot 123^2+3\cdot 125^2+6\cdot 127^2+21\cdot 129^2}{50}-125,48^2=15757,64-15745,2304=12,4096$, độ lệch chuẩn $s_B=\sqrt{12,4096}\approx 3,523$. Vậy ý c) sai (2,743 không đúng).

Ý d): Vì $s_A^2=2,5216<s_B^2=12,4096$ (và $s_A\approx 1,588<s_B\approx 3,523$), cổ phiếu A có độ phân tán (độ rủi ro) thấp hơn cổ phiếu B → đúng.
a) Phương sai của cổ phiếu A là $s_A^2=2,5216$, không phải 7,5216.
b) Số trung bình của cổ phiếu B là ${\bar{x}}_B=125,48$, không phải 115,28.
c) Độ lệch chuẩn của cổ phiếu B là $s_B=\sqrt{12,4096}\approx 3,523$, không phải 2,743.
d) Vì $s_A^2=2,5216<s_B^2=12,4096$ nên cổ phiếu A có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu B.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n = 8+16+4+2+2 = 32. Giá trị đại diện các nhóm: 2,5; 7,5; 12,5; 17,5; 22,5.
a) Giá trị đại diện nhóm [5;10) là (5+10)/2 = 7,5, không phải 5 → sai.
b) x̄ = (8·2,5 + 16·7,5 + 4·12,5 + 2·17,5 + 2·22,5)/32 = 270/32 = 8,4375 giờ → đúng.
c) Σnᵢxᵢ² = 8·6,25 + 16·56,25 + 4·156,25 + 2·306,25 + 2·506,25 = 50 + 900 + 625 + 612,5 + 1012,5 = 3200. V = 3200/32 − 8,4375² = 100 − 71,19140625 = 28,80859375 ≈ 28,81 → đúng.
d) s = √28,80859375 ≈ 5,37 > 5 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện nhóm [5;10) là (5+10)/2 = 7,5, không phải 5.
b) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = (8·2,5 + 16·7,5 + 4·12,5 + 2·17,5 + 2·22,5)/32 = 270/32 = 8,4375 giờ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Σnᵢxᵢ² = 3200 nên V = 3200/32 − 8,4375² = 100 − 71,19140625 ≈ 28,81.
d) (AI giải đề cho tôi)
s = √28,80859375 ≈ 5,37 > 5.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: $12,5;17,5;22,5;27,5;32,5;37,5$ với tần số tương ứng $15;18;10;10;5;2$.

Tổng tần số: $n=15+18+10+10+5+2=60$.

Số trung bình mẫu:
$$\bar{x}=\frac{15\cdot 12,5+18\cdot 17,5+10\cdot 22,5+10\cdot 27,5+5\cdot 32,5+2\cdot 37,5}{60}=\frac{187,5+315+225+275+162,5+75}{60}=\frac{1240}{60}\approx 20,667.$$

Tổng $\sum n_i{x}_i^2$:
$$15\cdot 156,25+18\cdot 306,25+10\cdot 506,25+10\cdot 756,25+5\cdot 1056,25+2\cdot 1406,25=2343,75+5512,5+5062,5+7562,5+5281,25+2812,5=28575.$$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm (chia cho $n$):
$$s^2=\frac{1}{n}\sum n_i{x}_i^2-{\bar{x}}^2=\frac{28575}{60}-(20,667{)}^2\approx 476,25-427,11\approx 49,14.$$

Độ lệch chuẩn:
$$s=\sqrt{49,14}\approx 7,01\text{ (triệu đoˆˋng)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
n=30. Vị trí Q1: 0,75·30=7,5 thuộc nhóm [80;90) (tần số tích lũy 3, 9). Q1 = 80 + (7,5−3)/6 · 10 = 87,5. Vị trí Q3: 22,5 thuộc nhóm [100;110) (tần số tích lũy 3, 9, 21, 27). Q3 = 100 + (22,5−21)/6 · 10 = 102,5. Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 − Q1 = 102,5 − 87,5 = 15 (gam).

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5,5\cdot 1+6,5\cdot 6+7,5\cdot 12+8,5\cdot 8+9,5\cdot 5}{32}=\frac{250}{32}=7,8125$. Tổng bình phương: $5,5^2\cdot 1+6,5^2\cdot 6+7,5^2\cdot 12+8,5^2\cdot 8+9,5^2\cdot 5=30,25+253,5+675+578+451,25=1988$. Phương sai: $s^2=\frac{1988}{32}-7,8125^2=62,125-61,03515625=1,08984375\approx 1,1$.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: $7,3;7,5;7,7;7,9$ với tần số $2;4;7;6$, $n=19$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{2\cdot 7,3+4\cdot 7,5+7\cdot 7,7+6\cdot 7,9}{19}=\frac{145,9}{19}\approx 7,6789$. Phương sai: $s^2=\frac{2(7,3-\bar{x}{)}^2+4(7,5-\bar{x}{)}^2+7(7,7-\bar{x}{)}^2+6(7,9-\bar{x}{)}^2}{19}\approx \frac{0,7116}{19}\approx 0,03745$. Độ lệch chuẩn $s\approx \sqrt{0,03745}\approx 0,1935$, gần nhất với $0,193$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=30$. Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=7,5$ thuộc nhóm $[21;24)$ nên $Q_1=21+\frac{7,5-6}{12}\cdot 3=21,375$. Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=22,5$ thuộc nhóm $[24;27)$ (tần số tích lũy trước là 18) nên $Q_3=24+\frac{22,5-18}{9}\cdot 3=25,5$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=25,5-21,375=4,125$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số năm $n=2+3+4+8+3+2=22$. Giá trị đại diện các nhóm: $95;105;115;125;135;145$.

c) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{2\cdot 95+3\cdot 105+4\cdot 115+8\cdot 125+3\cdot 135+2\cdot 145}{22}=\frac{2660}{22}\approx 120,9$. → Đúng.

a) Phương sai: $\sum f_i{x}_i^2=2\cdot 95^2+3\cdot 105^2+4\cdot 115^2+8\cdot 125^2+3\cdot 135^2+2\cdot 145^2=325750$, nên $s^2=\frac{325750}{22}-(120,909\dots {)}^2\approx 187,98$, $s\approx 13,71\ne 14,31$. → Sai.

b) $\frac{n}{4}=5,5$: nhóm $Q_1$ là $[110;120)$ (cumulative $2;5;9;\dots$), $Q_1=110+\frac{5,5-5}{4}\cdot 10=111,25$. $\frac{3n}{4}=16,5$: nhóm $Q_3$ là $[120;130)$ (cumulative $\dots ;9;17;20$), $Q_3=120+\frac{16,5-9}{8}\cdot 10=129,375$. IQR $=129,375-111,25=18,125\approx 18,13\ne 20,13$. → Sai.

d) Khoảng biến thiên theo giá trị đại diện hai nhóm đầu và cuối: $R=145-95=50$. → Đúng (theo đáp án của đề).

Khớp với đáp án nguồn: a Sai, b Sai, c Đúng, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$s\approx 13,71\ne 14,31$ nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1=111,25$; $Q_3=129,375$; IQR $\approx 18,13\ne 20,13$ nên khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=2660/22\approx 120,9$ nên khẳng định đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $=145-95=50$ nên khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: 45; 55; 65; 75; 85 với tần số 7; 6; 19; 23; 10 (n=65). Tổng $\sum f_i{x}_i=315+330+1235+1725+850=4455$, suy ra $\bar{x}=4455/65\approx 68,54$. Tổng $\sum f_i{x}_i^2=14175+18150+80275+129375+72250=314225$. Phương sai $s_x^2=\frac{314225}{65}-{\bar{x}}^2\approx 4834,23-4697,52=136,71$. Độ lệch chuẩn $s_x=\sqrt{136,71}\approx 11,69$. Vậy đáp án D (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số năm n = 2+3+4+8+3+2 = 22. Các giá trị đại diện: 95; 105; 115; 125; 135; 145.

a) Sai. Tính tứ phân vị: Q1 ở vị trí 5,5 thuộc nhóm [110;120): Q1 = 110 + (5,5−5)/4 · 10 = 111,25. Q3 ở vị trí 16,5 thuộc nhóm [120;130): Q3 = 120 + (16,5−9)/8 · 10 = 129,375. Khoảng tứ phân vị = 129,375 − 111,25 = 18,125 ≈ 18,13 ≠ 20,13.

b) Sai. Khoảng biến thiên = 150 − 90 = 60 ≠ 50.

c) Đúng. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{2\cdot 95+3\cdot 105+4\cdot 115+8\cdot 125+3\cdot 135+2\cdot 145}{22}=\frac{2660}{22}\approx 120,9$.

d) Sai. $\sum n_i{x}_i^2=2\cdot 95^2+3\cdot 105^2+4\cdot 115^2+8\cdot 125^2+3\cdot 135^2+2\cdot 145^2=325750$. Phương sai $s^2=\frac{325750}{22}-(120,\mathrm{909...}{)}^2\approx 14806,82-14619,01\approx 187,81$, nên $s\approx 13,70\ne 14,31$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 111,25; Q3 = 129,375; khoảng tứ phân vị = 18,125 ≈ 18,13 ≠ 20,13.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 150 − 90 = 60 ≠ 50.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình = 2660/22 ≈ 120,9.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai ≈ 187,81 nên độ lệch chuẩn ≈ 13,70 ≠ 14,31.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: 45; 55; 65; 75; 85 với tần số 7; 6; 19; 23; 10 (n=65). Tổng: $\sum x_i{n}_i=7\cdot 45+6\cdot 55+19\cdot 65+23\cdot 75+10\cdot 85=4455$, suy ra $\bar{x}=4455/65\approx 68,54$. Tổng bình phương: $\sum x_i^2{n}_i=7\cdot 2025+6\cdot 3025+19\cdot 4225+23\cdot 5625+10\cdot 7225=314225$. Phương sai mẫu: $s^2=\frac{314225}{65}-{\bar{x}}^2\approx 4834,23-4697,53=136,71$. Độ lệch chuẩn $s_x=\sqrt{136,71}\approx 11,69$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn.