Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\overline{x}=\frac{4.42,5+14.47,5+8.52,5+10.57,5+6.62,5+2.67,5}{44}=\frac{585}{11}$. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: $s^2=\frac{4{\left(42,5-\frac{585}{11}\right)}^2+14{\left(47,5-\frac{585}{11}\right)}^2+8{\left(52,5-\frac{585}{11}\right)}^2+10{\left(57,5-\frac{585}{11}\right)}^2}{44}$ $+\frac{6{\left(62,5-\frac{585}{11}\right)}^2+2.{\left(67,5-\frac{585}{11}\right)}^2}{44}\approx 46,12$

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: 14,5; 15,5; 16,5; 17,5; 18,5 với tần số 1; 3; 8; 6; 2 (n = 20).
a) Giá trị đại diện nhóm [15;16) là (15+16)/2 = 15,5 → đúng.
b) x̄ = (14,5·1 + 15,5·3 + 16,5·8 + 17,5·6 + 18,5·2)/20 = 335/20 = 16,75 ≠ 16,25 → sai.
c) E(X²) = (210,25·1 + 240,25·3 + 272,25·8 + 306,25·6 + 342,25·2)/20 = 5631/20 = 281,55; s² = 281,55 − 16,75² = 281,55 − 280,5625 = 0,9875 → đúng.
d) s = √0,9875 = √(395/400) = √395/20 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Giá trị đại diện của nhóm [15;16) là (15+16)/2 = 15,5.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) x̄ = 335/20 = 16,75, không phải 16,25.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) s² = 281,55 − 16,75² = 0,9875.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) s = √0,9875 = √395/20.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+12+15+24+2=56$. Tần số tích lũy: 3, 15, 30, 54, 56.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=14$, nên $Q_1$ thuộc nhóm $[12,5;15,5)$ (tần số tích lũy trước là 3, tần số nhóm 12):
$$Q_1=12,5+\frac{3(14-3)}{12}=12,5+2,75=15,25.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=42$, nên $Q_3$ thuộc nhóm $[18,5;21,5)$ (tần số tích lũy trước là 30, tần số nhóm 24):
$$Q_3=18,5+\frac{3(42-30)}{24}=18,5+1,5=20.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=20-15,25=4,75\text{ (phuˊt)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 3, 6, 5, 4, 2 (n = 20). Giá trị đại diện các nhóm: $x_1=2,85$, $x_2=3,15$, $x_3=3,45$, $x_4=3,75$, $x_5=4,05$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75+2\cdot 4,05}{20}=\frac{67,8}{20}=3,39$.
Phương sai: $s^2=\frac{3(2,85-3,39{)}^2+6(3,15-3,39{)}^2+5(3,45-3,39{)}^2+4(3,75-3,39{)}^2+2(4,05-3,39{)}^2}{20}=\frac{2,628}{20}=0,1314$.
Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{0,1314}\approx 0,3625\approx 0,36$. Vậy chọn D.

Cỡ của mẫu số liệu là: $n=15+10+5+2=32$. a) Đúng: Giá trị đại diện của nhóm thứ I, II, III, IV theo chiều từ trái sang phải lần lượt là: $x_1=\frac{0+10}{2}=5$, $x_2=\frac{10+20}{2}=15$, $x_3=\frac{20+30}{2}=25$, $x_4=\frac{30+40}{2}=35$. b) Sai: Thời gian trung bình dùng Facebook của mỗi bạn trong lớp 12C1 là: $\overline{x}=\frac{1}{32}\left(15.5+10.15+5.25+2.35\right)=13,125$. c) Đúng: Phương sai của mẫu số liệu trên là $s^2=\frac{1}{32}\left[15.(5{)}^2+10.(15{)}^2+5.(25{)}^2+2.(35{)}^2\right]-(13,125{)}^2\approx 251$. d) Sai: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: $s=\sqrt{s^2}\approx \sqrt{251}\approx 15,8$.
a) Đúng: Giá trị đại diện của nhóm thứ I, II, III, IV theo chiều từ trái sang phải lần lượt là: $x_1=\frac{0+10}{2}=5$, $x_2=\frac{10+20}{2}=15$, $x_3=\frac{20+30}{2}=25$, $x_4=\frac{30+40}{2}=35$.
b) Sai: Thời gian trung bình dùng Facebook của mỗi bạn trong lớp 12C1 là: $\overline{x}=\frac{1}{32}\left(15.5+10.15+5.25+2.35\right)=13,125$.
c) Đúng: Phương sai của mẫu số liệu trên là $s^2=\frac{1}{32}\left[15.(5{)}^2+10.(15{)}^2+5.(25{)}^2+2.(35{)}^2\right]-(13,125{)}^2\approx 251$.
d) Sai: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: $s=\sqrt{s^2}\approx \sqrt{251}\approx 15,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số các nhóm: 3, 6, 5, 4, 2 với $N=20$. Giá trị đại diện: $x_1=2,85$, $x_2=3,15$, $x_3=3,45$, $x_4=3,75$, $x_5=4,05$. Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75+2\cdot 4,05}{20}=\frac{67,8}{20}=3,39$. Phương sai: $s^2=\frac{1}{20}\left[3(2,85-3,39{)}^2+6(3,15-3,39{)}^2+5(3,45-3,39{)}^2+4(3,75-3,39{)}^2+2(4,05-3,39{)}^2\right]=\frac{2,628}{20}=0,1314\approx 0,13$. Vậy chọn B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: $x_1=2,85;x_2=3,15;x_3=3,45;x_4=3,75;x_5=4,05$ với tần số $n_i=3;6;5;4;2$, $N=20$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3(2,85)+6(3,15)+5(3,45)+4(3,75)+2(4,05)}{20}=\frac{67,8}{20}=3,39$.
Tính $\frac{\sum n_i{x}_i^2}{N}$: $3(8,1225)+6(9,9225)+5(11,9025)+4(14,0625)+2(16,4025)=232,47$, nên $\frac{232,47}{20}=11,6235$.
Phương sai: $s^2=11,6235-3,39^2=11,6235-11,4921=0,1314\approx 0,13$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$. Tứ phân vị thứ nhất: $Q_1$ là giá trị thứ $\frac{n}{4}=5$. Lũy tích: 3, 9, 14, 18, 20 nên giá trị thứ 5 nằm trong nhóm $[3,0;3,3)$ có 6 giá trị: $Q_1=3,0+\frac{5-3}{6}\cdot 0,3=3,1$. Tứ phân vị thứ ba: $Q_3$ là giá trị thứ $\frac{3n}{4}=15$, nằm trong nhóm $[3,6;3,9)$ có 4 giá trị: $Q_3=3,6+\frac{15-14}{4}\cdot 0,3=3,675$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1=3,675-3,1=0,575$. Kết quả trùng với đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=24-0=24$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 2793: 24).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số $n=3+4+7+2+5+2=23$. Nhóm chứa $Q_1$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge \frac{n}{4}=5,75$, tức nhóm $[3;5)$ (tần số tích lũy 7). Suy ra $Q_1=3+\frac{5,75-3}{4}\cdot 2=4,375$. Nhóm chứa $Q_3$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge \frac{3n}{4}=17,25$, tức nhóm $[9;11)$ (tần số tích lũy 21). Suy ra $Q_3=9+\frac{17,25-16}{5}\cdot 2=9,5$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=9,5-4,375=5,125$. Khớp với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm: $x_1=2,5;x_2=5,5;x_3=8,5;x_4=11,5;x_5=14,5;x_6=17,5$ với tần số $n_i=2;3;4;3;3;1$, nên $n=16$.

Tần số tích lũy: $2;5;9;12;15;16$, nên nhóm chứa trung bình là $[7;10)$, tuy nhiên ở đây chỉ cần tính độ lệch chuẩn.

Tổng: $\sum n_i{x}_i=2(2,5)+3(5,5)+4(8,5)+3(11,5)+3(14,5)+1(17,5)=5+16,5+34+34,5+43,5+17,5=151$.

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{151}{16}=9,4375$.

Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=2(6,25)+3(30,25)+4(72,25)+3(132,25)+3(210,25)+1(306,25)=12,5+90,75+289+396,75+630,75+306,25=1726$.

Phương sai: $S^2=\frac{1726}{16}-(9,4375{)}^2=107,875-89,0664\approx 18,8086$.

Độ lệch chuẩn: $S=\sqrt{18,8086}\approx 4,337\approx 4,3$.

Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2793, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tần số nhóm là giá trị đại diện: 1, 3, 5, 7, 9, 11 với tần số 2, 3, 6, 3, 4, 1; n = 19. Trung bình: $\bar{x}=\frac{2\cdot 1+3\cdot 3+6\cdot 5+3\cdot 7+4\cdot 9+1\cdot 11}{19}=\frac{109}{19}\approx 5,7368$. Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=2\cdot 1+3\cdot 9+6\cdot 25+3\cdot 49+4\cdot 81+1\cdot 121=771$, nên $\frac{771}{19}\approx 40,5789$. Phương sai: $S^2=40,5789-(5,7368{)}^2\approx 7,67\approx 7,7$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=29$. a) $R=20-2=18$: Đúng. b) Giá trị đại diện các nhóm: $3,5;6,5;9,5;12,5;15,5;18,5$. $\overline{x}=\frac{3\cdot 3,5+4\cdot 6,5+7\cdot 9,5+5\cdot 12,5+6\cdot 15,5+4\cdot 18,5}{29}=\frac{332,5}{29}\approx 11,5$: Đúng. c) $\sum f_i{x}_i^2=4429,25$, nên $s^2=\frac{4429,25}{29}-{\left(\frac{332,5}{29}\right)}^2\approx 21,3\ne 21,5$: Sai. d) $\frac{3n}{4}=21,75$, nhóm chứa $Q_3$ là $[14;17)$ với $cf=19$, $f=6$: $Q_3=14+\frac{21,75-19}{6}\cdot 3=15,375\approx 15,4\ne 15,2$: Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=20-2=18$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{x}=\frac{332,5}{29}\approx 11,5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s^2=\frac{4429,25}{29}-{\left(\frac{332,5}{29}\right)}^2\approx 21,3\ne 21,5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$Q_3=14+\frac{21,75-19}{6}\cdot 3=15,375\approx 15,4\ne 15,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm lần lượt là $1;3;5;7;9;11$ với tần số $2;3;6;3;4;1$, cỡ mẫu $n=19$.
Tổng tần số nhân giá trị: $2\cdot 1+3\cdot 3+6\cdot 5+3\cdot 7+4\cdot 9+1\cdot 11=109$, nên số trung bình $\bar{x}=\frac{109}{19}\approx 5,7368$.
Tổng bình phương: $2\cdot 1^2+3\cdot 3^2+6\cdot 5^2+3\cdot 7^2+4\cdot 9^2+1\cdot 11^2=2+27+150+147+324+121=771$.
Phương sai: $S^2=\frac{771}{19}-{\left(\frac{109}{19}\right)}^2\approx 40,5789-32,9113\approx 7,6676\approx 7,7$.
Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1234, Câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+4+7+2+5+2=23$. Tần số tích lũy: $3;7;14;16;21;23$.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=\frac{23}{4}=5,75$, thuộc nhóm $[3;5)$ nên
$$Q_1=3+\frac{5,75-3}{4}\cdot 2=3+1,375=4,375.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=\frac{69}{4}=17,25$, thuộc nhóm $[9;11)$ (vì tần số tích lũy trước nhóm là $16\le 17,25<21$) nên
$$Q_3=9+\frac{17,25-16}{5}\cdot 2=9+0,5=9,5.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=9,5-4,375=5,125.$$
Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tổng: $n=2+3+4+3+3+1=16$. Giá trị đại diện các nhóm: $2,5;5,5;8,5;11,5;14,5;17,5$.

Số trung bình mẫu:
$$\bar{x}=\frac{2,5\cdot 2+5,5\cdot 3+8,5\cdot 4+11,5\cdot 3+14,5\cdot 3+17,5\cdot 1}{16}=\frac{151}{16}=9,4375.$$

Tổng bình phương:
$$\sum n_i{x}_i^2=6,25\cdot 2+30,25\cdot 3+72,25\cdot 4+132,25\cdot 3+210,25\cdot 3+306,25\cdot 1=1726.$$

Phương sai mẫu:
$$S^2=\frac{1726}{16}-{\left(\frac{151}{16}\right)}^2\approx 107,875-89,0664=18,8086.$$

Độ lệch chuẩn: $S=\sqrt{18,8086}\approx 4,337\approx 4,3$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1234, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tần số các nhóm: 2, 5, 7, 6, 3 nên $n=23$. Giá trị đại diện: $x_1=8,x_2=10,x_3=12,x_4=14,x_5=16$.

Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{2\cdot 8+5\cdot 10+7\cdot 12+6\cdot 14+3\cdot 16}{23}=\frac{282}{23}\approx 12,2609$.

Tổng độ lệch bình phương: $\sum n_i(x_i-\bar{x}{)}^2=2(8-\bar{x}{)}^2+5(10-\bar{x}{)}^2+7(12-\bar{x}{)}^2+6(14-\bar{x}{)}^2+3(16-\bar{x}{)}^2\approx 36,31+25,56+0,48+18,15+41,94=122,43$.

Phương sai mẫu: $s^2=\frac{122,43}{22}\approx 5,565$, nên $s=\sqrt{5,565}\approx 2,36$.

Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $2,36$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu nhóm có các giá trị đại diện 11; 14; 17; 20; 23 với tần số tương ứng 4; 12; 14; 23; 3, n = 56.
a) Khoảng biến thiên R = 24,5 − 9,5 = 15 → Đúng.
b) X̄ = (4·11 + 12·14 + 14·17 + 23·20 + 3·23)/56 = 979/56 ≈ 17,48 ≠ 16,2 → Sai.
c) n/4 = 14; tích lũy đến nhóm [9,5;12,5) là 4 < 14, đến nhóm [12,5;15,5) là 16 ≥ 14 nên Q1 thuộc nhóm này: Q1 = 12,5 + (14 − 4)/12 · 3 = 15 → Đúng.
d) Σf·x² = 4·121 + 12·196 + 14·289 + 23·400 + 3·529 = 17669; s² = 17669/56 − (979/56)² ≈ 315,518 − 305,625 ≈ 9,89 → Đúng.
Kết quả Đ–S–Đ–Đ khớp đáp án nguồn (mã đề 1201, dòng đúng/sai câu 3: ĐSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 24,5 − 9,5 = 15.
b) (AI giải đề cho tôi)
X̄ = 979/56 ≈ 17,48 ≠ 16,2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 12,5 + (14 − 4)/12 · 3 = 15.
d) (AI giải đề cho tôi)
s² = 17669/56 − (979/56)² ≈ 9,89.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm: $x_1=152,x_2=156,x_3=160,x_4=164,x_5=168$ với tần số $n_1=25,n_2=50,n_3=200,n_4=175,n_5=50$, $n=500$.

Số trung bình mẫu:
$$\bar{x}=\frac{25\cdot 152+50\cdot 156+200\cdot 160+175\cdot 164+50\cdot 168}{500}=\frac{80700}{500}=161,4.$$

Phương sai mẫu:
$$s^2=\frac{1}{500}\left[25(152-161,4{)}^2+50(156-161,4{)}^2+200(160-161,4{)}^2+175(164-161,4{)}^2+50(168-161,4{)}^2\right]$$
$$=\frac{2209+1458+392+1183+2178}{500}=\frac{7420}{500}=14,84.$$

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{14,84}\approx 3,85$.

Kết quả khớp với đáp án D đã cho trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm: $x_1=152,x_2=156,x_3=160,x_4=164,x_5=168$ với tần số $n_1=25,n_2=50,n_3=200,n_4=175,n_5=50$, $n=500$.

Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{25\cdot 152+50\cdot 156+200\cdot 160+175\cdot 164+50\cdot 168}{500}=\frac{80700}{500}=161,4$.

Phương sai mẫu: $s^2=\frac{1}{500}\left[25(152-161,4{)}^2+50(156-161,4{)}^2+200(160-161,4{)}^2+175(164-161,4{)}^2+50(168-161,4{)}^2\right]$
$=\frac{2209+1458+392+1183+2178}{500}=\frac{7420}{500}=14,84$.

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{14,84}\approx 3,85$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 1201: D).