Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)=x^2+1\ge 1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(0;1)$ thỏa mãn (đồng biến). Các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$ là nghịch biến, còn $(-\infty ;1)$ không đồng biến trên toàn khoảng vì hàm nghịch biến trên $(-1;0)$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc bốn: hàm đạt cực tiểu tại $x=-1$ (giá trị $0$), cực đại tại $x=0$ (giá trị $2$), cực tiểu tại $x=1$ (giá trị $-3$). Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các phương án, chỉ có khoảng $(-1;0)$ (phương án C) thỏa mãn. Kiểm tra các phương án khác: trên $(-\infty ;-3)$ hàm nghịch biến; trên $(0;2)$ hàm nghịch biến trên $(0;1)$ nên không đồng biến trên cả khoảng; trên $(-1;2)$ hàm nghịch biến trên $(0;1)$ nên không đồng biến trên cả khoảng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$. Do đó mệnh đề đúng là D: hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$. Các phương án A, B, C sai vì hàm không nghịch biến trên các khoảng đó.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm bậc ba có cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $-4$) và cực đại tại $x=2$. Do đó $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;2)$, tức $f$ đồng biến trên $(0;2)$. Phép tịnh tiến theo phương thẳng đứng $y=f(x)+2025$ không làm thay đổi khoảng đồng biến. Vậy hàm số đồng biến trên $(0;1)\subset (0;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$, nghịch biến trên $(0;1)$, đồng biến trên $(1;+\infty )$; đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị $3$), đạt cực tiểu tại $x=1$ (giá trị $2$). Đồ thị chỉ cắt trục hoành tại một điểm (khoảng $x\approx -1$) nên phương trình $f(x)=0$ có đúng một nghiệm.
a) Đúng: trên $(0;1)$ đồ thị đi xuống nên $f$ nghịch biến.
b) Sai: cực tiểu tại $x=1$, còn $x=0$ là điểm cực đại.
c) Đúng: trên $(-\infty ;0)$ đồ thị đi lên nên $f$ đồng biến.
d) Sai: đồ thị chỉ cắt trục $Ox$ tại một điểm nên $f(x)=0$ có một nghiệm duy nhất.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;1)$ đồ thị đi xuống từ điểm cực đại $(0;3)$ đến điểm cực tiểu $(1;2)$ nên hàm nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực tiểu là $(1;2)$, còn $x=0$ là điểm cực đại (giá trị $3$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;0)$ đồ thị đi lên nên hàm đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị chỉ cắt trục hoành tại một điểm nên $f(x)=0$ có một nghiệm duy nhất, không phải hai nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=x^3-2x^2+3$, xác định trên $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-4x=x(3x-4)$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=\frac{4}{3}$. Xét dấu $y^{\prime }$: với $x<0$, $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$; với $0<x<\frac{4}{3}$, $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến trên $\left(0;\frac{4}{3}\right)$; với $x>\frac{4}{3}$, $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến trên $\left(\frac{4}{3};+\infty \right)$. Kết luận: hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $\left(\frac{4}{3};+\infty \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(0;\frac{4}{3}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-2$, $x=0$, $x=2$. Từ hình: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-2)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-2;0)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(2;+\infty )$. Do đó $f(x)$ nghịch biến trên $(0;2)$ (và đồng biến trên $(-2;0)$, $(2;+\infty )$). Xét các phương án: A sai vì trên $(-1;0)$ có $f^{\prime }>0$; B sai vì trên $(1;2)$ có $f^{\prime }<0$ (nghịch biến); C sai vì $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=0$ thuộc $(-2;1)$; D đúng vì $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=2$, với $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-1$ hoặc $x>2$, và $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;2)$. Do đó $f(x)$ đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(2;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;2)$. Kiểm tra các phương án: A sai vì trên $(-4;2)$ $f^{\prime }$ đổi dấu; B đúng; C sai vì trên $(0;2)$ có $f^{\prime }<0$; D sai vì trên $(-\infty ;-4)$ hàm đồng biến (không phải nghịch biến) và khoảng $(2;+\infty )$ hàm đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị của $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-3$ và tiếp xúc trục hoành tại $x=0$ (nên $f^{\prime }(0)=0$ nhưng $f^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=0$). Từ hình: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-3)$; $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-3;0)$ và $(0;+\infty )$. Do đó $f(x)$ nghịch biến trên $(-\infty ;-3)$ và đồng biến trên $(-3;+\infty )$. Kiểm tra các phương án: A sai vì trên $(-\infty ;-2)$ có đoạn $(-\infty ;-3)$ với $f^{\prime }<0$; B sai vì trên $(-2;0)$ có $f^{\prime }>0$ (đồng biến); D sai vì trên $(-3;0)$ hàm đồng biến. Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường cong hình chữ W với hai điểm cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$ (giá trị $-2$) và một điểm cực đại tại $x=0$ (giá trị $-1$). Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, đồng biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các khoảng đã cho, chỉ có $(-1;0)$ là khoảng đồng biến, nên đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ (trang 5) là đường cong bậc ba cắt trục hoành tại $x=-2$, $x=0$ và $x=2$. Từ hình: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-2;0)$ nên $f$ đồng biến trên $(-2;0)$; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$ nên $f$ nghịch biến trên $(0;2)$. Xét các phương án: A sai vì trên $(-1;0)$ có $f^{\prime }(x)>0$ (f đồng biến); B sai vì trên $(1;2)$ có $f^{\prime }(x)<0$ (f nghịch biến); C sai vì trên $(0;1)$ có $f^{\prime }(x)<0$; D đúng vì $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in (0;2)$. Vậy hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0;2)$, khớp với đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$: đồ thị cắt trục hoành tại $x=-1$ và tiếp xúc trục hoành tại $x=2$ (điểm cực đại của $f^{\prime }$ với $f^{\prime }(2)=0$), đồng thời $f^{\prime }(0)=-4<0$. Do đó $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;2)$ và trên $(2;+\infty )$ (tại $x=2$ đồ thị $f^{\prime }$ chỉ chạm trục hoành rồi đi xuống, không đổi dấu). Vậy $f$ đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và nghịch biến trên $(-1;+\infty )$. A sai vì trên $(-4;2)$ có đoạn $f^{\prime }<0$; C sai vì trên $(0;2)$ có $f^{\prime }<0$; D sai vì $f$ nghịch biến trên $(-1;2)$ chứ không phải trên $(-\infty ;-4)$ và $(2;+\infty )$. Đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-3$, đạt cực đại tại $(-2;4)$, tiếp xúc trục hoành tại $O$ rồi đi lên. Do đó $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<-3$ và $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-3;0)$ và $(0;+\infty )$. Vậy $f$ nghịch biến trên $(-\infty ;-3)$ và đồng biến trên $(-3;+\infty )$ (kể cả qua $x=0$ vì $f^{\prime }(0)=0$ nhưng không đổi dấu).
- A sai: trên $(-\infty ;-3)$ hàm nghịch biến.
- B sai: trên $(-2;0)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến.
- C đúng: $f^{\prime }(x)\ge 0$ trên $(-3;+\infty )$, hàm đồng biến trên khoảng này.
- D sai: trên $(-3;0)$ hàm đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-2x^2+x+1$, ta có $y^{\prime }=3x^2-4x+1=(3x-1)(x-1)$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x<\frac{1}{3}$ hoặc $x>1$; $y^{\prime }<0$ khi $\frac{1}{3}<x<1$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{1}{3};1\right)$ và đồng biến trên $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ và $(1;+\infty )$. Do đó mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=2x^4+1$ có đạo hàm $y^{\prime }=8x^3$. Ta có $y^{\prime }>0$ khi $x>0$ và $y^{\prime }<0$ khi $x<0$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{5-2x}{x+3}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{-2(x+3)-(5-2x)}{(x+3{)}^2}=\frac{-11}{(x+3{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -3$. Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;-3)$ và $(-3;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có đáp án C là khoảng nghịch biến đúng (hàm không nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$ vì không liên tục tại $x=-3$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)<0$ trên các khoảng $(-\infty ;-3)$ và $(-1;1)$; $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-3;-1)$ và $(1;+\infty )$. Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-3)$ (và $(-1;1)$). Trong các phương án, chỉ có D là khoảng nghịch biến. Kiểm tra: A $(1;+\infty )$ là khoảng đồng biến; B $(-\infty ;1)$ chứa $(-3;-1)$ nên không phải; C $(-1;+\infty )$ chứa $(1;+\infty )$ nên không phải. Vậy chọn D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\frac{x+1}{x+3}$ có $y^{\prime }=\frac{(x+3)-(x+1)}{(x+3{)}^2}=\frac{2}{(x+3{)}^2}>0$ nhưng hàm không xác định tại $x=-3$, nên không đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$.
- B: $y=x^3+3x+4$ có $y^{\prime }=3x^2+3=3(x^2+1)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$.
- C: $y=x^3-3x$ có $y^{\prime }=3x^2-3$, đổi dấu tại $x=\pm 1$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- D: $y=\frac{x-1}{x+2}$ có $y^{\prime }=\frac{3}{(x+2{)}^2}>0$ nhưng không xác định tại $x=-2$.
Vậy hàm đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$ là $y=x^3+3x+4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;0)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;2)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(2;+\infty )$. Xét từng mệnh đề: A sai vì hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, không nghịch biến trên hợp của hai khoảng này (giữa chúng hàm đồng biến). B sai vì trên $(-1;1)$ có điểm $x=0$ với $f^{\prime }(0)=0$ và $f^{\prime }$ đổi dấu, nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng. C đúng vì $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in (-\infty ;0)$, vậy hàm nghịch biến trên $(-\infty ;0)$. D sai vì trên $(1;3)$ có điểm $x=2$ với $f^{\prime }(2)=0$ và $f^{\prime }$ đổi dấu, nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng.