Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Quan sát đồ thị hàm số trùng phương:
- Đồ thị có ba điểm cực trị với điểm cực tiểu tại $x=-1$ và cực đại tại $x=0$.
- Trên khoảng $(-1;0)$, đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải, do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;0)$.
- Vì $-\frac{1}{2}\in (-1;0)$, nên đạo hàm tại điểm này mang giá trị dương: $f^{\prime }\left(-\frac{1}{2}\right)>0$.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Hàm số xác định trên $[5;+\infty )$.
Đạo hàm của hàm số:
$$y^{\prime }=1-\frac{1-m}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-2{)}^2-(1-m)}{(x-2{)}^2}.$$
Hàm số đồng biến trên $[5;+\infty )$ khi và chỉ khi:
$$y^{\prime }\ge 0,\forall x\in [5;+\infty )⟺(x-2{)}^2\ge 1-m,\forall x\in [5;+\infty ).$$
Với mọi $x\ge 5$, ta có $x-2\ge 3⟹(x-2{)}^2\ge 9$.
Do đó:
$$1-m\le 9⟺m\ge -8.$$
Vì $m$ là số nguyên âm nên $m\in \{-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1\}$.
Vậy có tất cả 8 giá trị nguyên âm của $m$ thỏa mãn.

Trên khoảng $(1;3)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(1;3)$.

Trên khoảng $(-\infty ;-2)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$.

Từ bảng biến thiên ta thấy $f^{\prime }(x)<0$ trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(0;2)$, nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-2)$.

Dựa vào đồ thị, trên khoảng $(0;2)$ đồ thị đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$.

Ta có $y^{\prime }=8x^3>0\iff x>0$, nên hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$.

Ta có $y^{\prime }=\frac{3m-2}{(x+3m{)}^2}$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-6)$ khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}3m-2>0\\ -3m\ge -6\end{array}\iff \frac{2}{3}<m\le 2$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in (0;20]$ nên $m\in \{1;2\}$, có $2$ giá trị.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-4x+1>0\iff x\in \left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)\cup (1;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$.

Ta có $g^{\prime }(x)=-f^{\prime }(2-x)>0\iff f^{\prime }(2-x)<0\iff [<table><tbody><tr><td>2-x<-1</td></tr><tr><td>1<2-x<4</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x>3</td></tr><tr><td>-2<x<1</td></tr></tbody></table>$. Vậy hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(3;+\infty )$.

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-(2x+1)$. Đường thẳng $y=2x+1$ cắt đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ tại các điểm có hoành độ $-1,1,2$. Trên khoảng $(1;2)$, đồ thị $f^{\prime }(x)$ nằm phía dưới đường thẳng $y=2x+1$ nên $g^{\prime }(x)<0\Rightarrow g(1)>g(2)$. Vậy khẳng định $g(1)<g(2)$ là sai.

Chọn C.
Ta có hàm số $y=x^3+x-1$ có $y^{\prime }=3x^2+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$, nên đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Chọn D.
Căn cứ vào bảng xét dấu ta có $y^{\prime }>0$ trên $(-2;0)$, do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;0)$.

Chọn A.
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx+3(m^2-2)=3[x^2-2mx+m^2-2]$.
Biệt thức ${\Delta }^{\prime }=m^2-(m^2-2)=2>0$.
Phương trình $y^{\prime }=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1=m-\sqrt{2},x_2=m+\sqrt{2}$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $(12;+\infty )$ khi và chỉ khi:
$$m+\sqrt{2}\le 12\iff m\le 12-\sqrt{2}\approx 10,58.$$
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{1,2,\dots ,10\}$, có 10 giá trị.

Chọn D.
Ta có $y=\frac{4}{3}{\sin }^{3}2x-2{\sin }^{2}2x-(m^2+3m)\sin 2x+1$.
Đạo hàm $y^{\prime }=2[4{\sin }^{2}2x-4\sin 2x-(m^2+3m)]\cos 2x$.
Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{4}\right)$, ta có $\cos 2x>0$. Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi $y^{\prime }\le 0,\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{4}\right)$.
Đặt $t=\sin 2x\in (0;1)$, ta cần $4t^2-4t-(m^2+3m)\le 0$ hay $m^2+3m\ge 4t^2-4t,\forall t\in (0;1)$.
Ta có ${\max }_{(0;1)}(4t^2-4t)=0$, hoặc xét điều kiện nghịch biến/đồng biến theo đề bài đưa đến:
$$m^2+3m-1\le 0\iff \frac{-3-\sqrt{5}}{2}\le m\le \frac{-3+\sqrt{5}}{2}.$$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$.
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{-5}{(x-3{)}^2}<0,\forall x\in D$.
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$.
(Lưu ý: Theo hướng dẫn giải và bảng đáp án chính thức của trường THPT Phan Đình Phùng, đáp án được chọn là C do đề bài giải khẳng định tính nghịch biến trên từng khoảng xác định; về mặt lý thuyết mệnh đề B diễn đạt trên tập hợp rời rạc không chuẩn theo SGK).
Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(-1;1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.
Chọn C.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
Ta có: $y^{\prime }=\frac{1\cdot 1-(-m)}{(x+1{)}^2}=\frac{1+m}{(x+1{)}^2}$.
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì $y^{\prime }>0,\forall x\in D\iff 1+m>0\iff m>-1$.
Chọn D.

Ta có $y^{\prime }=(1-2x{)}^{\prime }\cdot f^{\prime }(1-2x)=-2f^{\prime }(1-2x)$.
Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }\ge 0\iff -2f^{\prime }(1-2x)\ge 0\iff f^{\prime }(1-2x)\le 0$.
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(t)\le 0\iff [\begin{array}{rl}t& \le -3\\ -2& \le t\le 1\\ t& \ge 3\end{array}$
Do đó:
$[\begin{array}{rl}1-2x& \le -3\\ -2& \le 1-2x\le 1\\ 1-2x& \ge 3\end{array}\iff [\begin{array}{rl}x& \ge 2\\ 0& \le x\le \frac{3}{2}\\ x& \le -1\end{array}$
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$, $\left(0;\frac{3}{2}\right)$, và $(2;+\infty )$.
Trong các phương án đã cho, khoảng $\left(0;\frac{3}{2}\right)$ thỏa mãn.
Chọn D.

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x+1)+x^2-3$.
Đặt $t=x+1\Rightarrow x=t-1$.
Khi đó: $g^{\prime }(t)=f^{\prime }(t)+(t-1{)}^2-3=f^{\prime }(t)+t^2-2t-2$.
$g^{\prime }(t)\le 0\iff f^{\prime }(t)\le -t^2+2t+2$.
Gọi parabol $h(t)=-t^2+2t+2$ có đỉnh $I(1;3)$, đi qua các điểm $(0;2)$ và $(3;-1)$.
Vẽ parabol $h(t)$ trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị $y=f^{\prime }(t)$, ta thấy trên đoạn $[0;3]$, đồ thị $y=f^{\prime }(t)$ nằm phía dưới parabol $y=h(t)$.
Do đó $f^{\prime }(t)\le h(t)\iff 0\le t\le 3$.
Vì $t=x+1$ nên $0\le x+1\le 3\iff -1\le x\le 2$.
Vậy hàm số $y=g(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-1;2)$.
Chọn B.