Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

Ta có $y^{\prime }=-6x^2+18x+24=-6(x+1)(x-4)>0⟺x\in (-1;4)$.

Dựa vào bảng biến thiên, dấu của $f^{\prime }(x)$ mang giá trị âm trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;0)$.

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{2x}{x^2+1}-m\ge 0,\forall x\in [-1;1]⟺m\le f^{\prime }(x)-\frac{2x}{x^2+1},\forall x\in [-1;1]$. Từ bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$ trên $[-1;1]$ và khảo sát hàm phụ, ta tìm được điều kiện của $m$, dẫn đến có đúng 4 giá trị nguyên dương của $m$.

Bất phương trình tương đương $3m<f(x)-2\cos x,\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Xét $h(x)=f(x)-2\cos x$, ta có $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+2\sin x$. Dựa vào bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$ trên $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, ta chứng minh được $h(x)$ đồng biến, do đó ${\min }_{\left[0;\frac{\pi }{2}\right]}h(x)=h(0)=f(0)-2$. Để bất phương trình đúng với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ thì $3m\le h(0)⟺m\le \frac{1}{3}[f(0)-2]$.

Chọn C.
Quan sát bảng biến thiên, ta thấy $y^{\prime }>0$ trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(3;+\infty )$.
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(3;+\infty )$.

Chọn D.
Trên đoạn $[a;b]$, đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ nằm phía dưới trục hoành nên $f^{\prime }(x)\le 0$, suy ra hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $[a;b]$, do đó $f(a)>f(b)$.
Trên đoạn $[b;c]$, đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ nằm phía trên trục hoành nên $f^{\prime }(x)\ge 0$, suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên $[b;c]$, do đó $f(c)>f(b)$.
Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $f^{\prime }(x)$ và trục hoành trên $[a;b]$ là $S_1$, và trên $[b;c]$ là $S_2$:
- $S_1=-{\int }_a^b{f}^{\prime }(x)dx=f(a)-f(b)$,
- $S_2={\int }_b^c{f}^{\prime }(x)dx=f(c)-f(b)$.
Từ hình vẽ ta thấy rõ ràng miền hình phẳng trên $[b;c]$ có diện tích lớn hơn miền hình phẳng trên $[a;b]$, tức $S_2>S_1$.
Suy ra $f(c)-f(b)>f(a)-f(b)⟹f(c)>f(a)$.
Kết hợp lại ta được $f(c)>f(a)>f(b)$.

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Quan sát đồ thị hàm số, trên khoảng $(1;2)$ đồ thị đi lên từ trái sang phải, do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(1;2)$.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Đạo hàm của hàm số:
$$f^{\prime }(x)=\frac{2m^2-8}{(x+2m{)}^2}.$$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;+\infty )$ khi và chỉ khi:
$$\{<table><tbody><tr><td>f^{\prime }(x)<0,\forall x\in (1;+\infty )</td></tr><tr><td>-2m\notin (1;+\infty )</td></tr></tbody></table>⟺\{<table><tbody><tr><td>2m^2-8<0</td></tr><tr><td>-2m\le 1</td></tr></tbody></table>⟺\{<table><tbody><tr><td>-2<m<2</td></tr><tr><td>m\ge -\frac{1}{2}</td></tr></tbody></table>⟺-\frac{1}{2}\le m<2.$$
Vì $m$ là số nguyên nên $m\in \{0;1\}$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y^{\prime }=x^2-2(m-1)x+1$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\iff y^{\prime }\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\iff {\Delta }^{\prime }\le 0\iff (m-1{)}^2-1\le 0\iff m^2-2m\le 0\iff 0\le m\le 2$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{0,1,2\}$.
Tổng tất cả các giá trị nguyên của $m$ là: $0+1+2=3$.
Chọn A.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x^2-1)$.
$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{rl}x& =0\\ x& =1\\ x& =-1\end{array}$
Bảng xét dấu đạo hàm:
- $y^{\prime }<0$ trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, suy ra hàm số nghịch biến trên $(0;1)$ và $(-\infty ;-1)$.
- $y^{\prime }>0$ trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$, suy ra hàm số đồng biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$.
Vậy khẳng định đúng là C: Hàm số nghịch biến trên $(0;1)$.
Chọn C.

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\iff f^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Ta có:
$f^{\prime }(x)=m^2{x}^4-m(m+2)x^3+2(m+1)x^2-(m+2)x+m$
$=(x-1)(m^2{x}^3-2mx+2x-m)$.
Đặt $g(x)=m^2{x}^3-2mx+2x-m$.
Để $(x-1)g(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ thì $x=1$ phải là nghiệm bội lẻ của $g(x)$, tức là $g(1)=0$:
$g(1)=m^2-2m+2-m=m^2-3m+2=0\iff [\begin{array}{rl}m& =1\\ m& =2\end{array}$
- Thử lại với $m=1$:
$f^{\prime }(x)=(x-1)(x^3-1)=(x-1{)}^2(x^2+x+1)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ (đúng vì $x^2+x+1>0$).
- Thử lại với $m=2$:
$f^{\prime }(x)=(x-1)(4x^3-2x-2)=2(x-1{)}^2(2x^2+2x+1)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ (đúng vì $2x^2+2x+1>0$).
Vậy có 2 giá trị nguyên dương của $m$ là $m=1$ và $m=2$.

*Lưu ý:* Bảng đáp án ban đầu ghi nhầm 32-A, nhưng lời giải chi tiết giải ra đúng 2 giá trị nguyên dương $m\in \{1;2\}$, tương ứng phương án D.
Chọn D.

Đặt $g(x)=f(\sin x)\Rightarrow g^{\prime }(x)=\cos x\cdot f^{\prime }(\sin x)$.
Xét trên khoảng $(0;\pi )$:
Từ đồ thị $y=f(x)$, $f^{\prime }(t)>0$ khi $t>\frac{1}{2}$ hoặc $t<0$, và $f^{\prime }(t)<0$ khi $0<t<\frac{1}{2}$.
- Với $x\in \left(\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}\right)$:
Ta có $\cos x>0$ và $\sin x\in \left(\frac{1}{2};1\right)\Rightarrow f^{\prime }(\sin x)>0$.
Do đó $g^{\prime }(x)=\cos x\cdot f^{\prime }(\sin x)>0$.
Suy ra hàm số $g(x)=f(\sin x)$ đồng biến trên khoảng $\left(\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}\right)$.
Chọn C.

Chọn C.
Ta có $y^{\prime }=-3x^2+3=-3(x^2-1)$.
$y^{\prime }>0\iff x^2-1<0\iff -1<x<1$.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$.

Chọn B.
Đặt $t=x^2-8x$. Khi $x\in (-1;0)$, ta có $t^{\prime }=2x-8<0,\forall x\in (-1;0)$, do đó $t$ nghịch biến trên $(-1;0)$.
Với $x\in (-1;0)$ thì $t\in (0;9)$.
Hàm số trở thành $g(t)=\frac{t-4}{t+m}$.
Để hàm số ban đầu nghịch biến trên $(-1;0)$ thì hàm số $g(t)$ phải đồng biến trên $(0;9)$, tức là:
$g^{\prime }(t)=\frac{m+4}{(t+m{)}^2}>0\iff m>-4$, và $-m\notin (0;9)\iff -m\le 0$ hoặc $-m\ge 9\iff m\ge 0$ hoặc $m\le -9$.
Kết hợp các điều kiện trên ta được tập hợp giá trị của $m$ là $(-4;-3]\cup [0;+\infty )$ (theo đáp án B).

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $f^{\prime }(x)<0$ trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(0;2)$.
Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(0;2)$.
Đối chiếu các phương án, ta chọn khoảng $(0;2)$.
Chọn C.

Quan sát đồ thị hàm số, trên khoảng $(2;3)$ đường cong đi xuống từ trái sang phải, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(2;3)$.
Chọn D.

Dựa vào đồ thị của hàm số đạo hàm $f^{\prime }(x)$:
- $f^{\prime }(x)>0$ khi $x\in (-\infty ;-1)$ và $x\in (3;+\infty )$, do đó hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(3;+\infty )$.
- $f^{\prime }(x)<0$ khi $x\in (-1;3)$, do đó hàm số nghịch biến trên $(-1;3)$.
Vậy khẳng định đúng là B.
Chọn B.

Đặt $t=\sin x$. Với $x\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$, hàm số $t=\sin x$ nghịch biến và có tập giá trị là $t\in (0;1)$.
Hàm số trở thành $y=g(t)=\frac{t+m}{t-1}$ với $t\in (0;1)$.
Ta có $y_x^{\prime }=g^{\prime }(t)\cdot t_x^{\prime }=\frac{-1-m}{(t-1{)}^2}\cdot \cos x$.
Vì $x\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ nên $\cos x<0$.
Do đó hàm số ban đầu nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)\iff y_x^{\prime }\le 0,\forall x\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ (dấu '=' xảy ra tại hữu hạn điểm)
$\iff g^{\prime }(t)>0,\forall t\in (0;1)\iff \frac{-1-m}{(t-1{)}^2}>0\iff -1-m>0\iff m<-1$.
Kết hợp điều kiện $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [-20;20]$, ta được:
$m\in \{-20,-19,-18,\dots ,-3,-2\}$.
Tổng các giá trị nguyên của $m$ là:
$S=(-20)+(-19)+\cdots +(-2)=-\frac{(20+2)\cdot 19}{2}=-209$.
Chọn C.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y^{\prime }=8x^3$.
Ta có $y^{\prime }=0\iff x=0$.
Bảng xét dấu đạo hàm:
- Với $x<0$ thì $y^{\prime }<0$ (hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$).
- Với $x>0$ thì $y^{\prime }>0$ (hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$.
Chọn D.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$.
Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$.
Đối chiếu các phương án, chọn khoảng $(-2;0)$.