Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{-2}{(x-3{)}^2}<0,\forall x\in D$, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Ta có $f^{\prime }(x)=x^6(-13x^6+10m{x}^3-63)\le 0,\forall x>0\iff 10m\le 13x^3+\frac{63}{x^3},\forall x>0\iff 10m\le 2\sqrt{13\cdot 63}=6\sqrt{91}\approx 57,23$. Vì $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{1;2;3;4;5\}$, có $5$ giá trị.

Từ đồ thị ta thấy trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$ đồ thị đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$.

Chọn C.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $y^{\prime }<0$ trên từng khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$. Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$.

Chọn D.
Ta có $y^{\prime }=f^{\prime }(x+m)$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)⟺f^{\prime }(x+m)\le 0,\forall x\in (0;2)$.
Từ đồ thị $f^{\prime }(t)$, ta thấy $f^{\prime }(t)\le 0⟺t\le -1$ hoặc $1\le t\le 4$...
Xét điều kiện với $x\in (0;2)$ và $m>-10$ là số nguyên, đếm được đúng 9 giá trị nguyên của $m$.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 10 chọn đáp án B.

Dựa vào đồ thị hàm số:
- Trên khoảng $(0;1)$, đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải, do đó hàm số nghịch biến trên $(0;1)$.
- Trên khoảng $(-1;0)$, đồ thị đi lên nên hàm số đồng biến trên $(-1;0)$.
- Trên khoảng $(1;+\infty )$, đồ thị đi lên nên hàm số đồng biến trên $(1;+\infty )$.
Vậy khẳng định đúng là "Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0;1)$".

Chọn đáp án B.

Chọn B.
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số, ta thấy hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-2;1)$ và $(1;3)$. Do đó trên khoảng $(1;3)$ hàm số nghịch biến.

Chọn B.
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=-x^2-2mx+2m-3$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}⟺f^{\prime }(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Vì hệ số $a=-1<0$ nên điều kiện tương đương là:
${\Delta }^{\prime }=(-m{)}^2-(-1)(2m-3)\le 0⟺m^2+2m-3\le 0⟺-3\le m\le 1.$
Do $m$ nhận giá trị nguyên âm nên $m\in \{-3;-2;-1\}$.
Vậy có 3 giá trị nguyên âm của tham số $m$.

Từ bảng biến thiên, trên khoảng $(3;5)$ đạo hàm mang dấu dương ($f^{\prime }(x)>0$), do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(3;5)$.

Ta có $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x^2-1)=0⟺x=0$ hoặc $x=\pm 1$. Bảng xét dấu của $y^{\prime }$ cho thấy $y^{\prime }>0$ trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;0)$.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{1-m^2}{(x+1{)}^2}$. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $y^{\prime }<0,\forall x\ne -1⟺1-m^2<0⟺m^2>1⟺m>1$ hoặc $m<-1$. Với $m\in (0;2020)$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta có $m\in \{2;3;\dots ;2019\}$. Số giá trị nguyên là $2019-2+1=2018$.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $y^{\prime }=\frac{m^2+5m+4}{(x+m{)}^2}<0\iff m^2+5m+4<0\iff -4<m<-1$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2\}$, có $2$ giá trị.

Dựa vào đồ thị, hàm số $y=f(x)$ đi lên từ trái sang phải trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$, nên đồng biến trên khoảng $(-1;0)$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 16 chọn đáp án A.

Cả 3 mệnh đề (I), (II) và (III) đều đúng với hàm số phân thức bậc nhất đồng biến trên từng khoảng xác định.

Chọn đáp án A.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 22 chọn đáp án D.

Ta có $y^{\prime }=-x^3-4x=-x(x^2+4)$.
$y^{\prime }=0⟺x=0$.
Với $x>0$, ta có $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$.
Khoảng $(0;\sqrt{2})\subset (0;+\infty )$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;\sqrt{2})$.

Chọn đáp án D.

Từ bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên các khoảng $(0;2)$ và $(4;+\infty )$. Vì $(1;2)\subset (0;2)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(1;2)$.

Hàm số đồng biến trên $(1;+\infty )\iff y^{\prime }=3x^2+2x+1-m\ge 0,\forall x\in (1;+\infty )\iff m\le {\min }_{[1;+\infty )}(3x^2+2x+1)=6$. Do $m\in {\mathbb{Z}}^{\ast }$ nên $m\in \{1;2;3;4;5;6\}$, có $6$ giá trị.

Xét $f(x)=x^4-m{x}^3-2m^2{x}^2-m+1$, khi đó $y=|f(x)|$ đồng biến trên $(1;+\infty )$ khi và chỉ khi $f^{\prime }(x)\ge 0$ và $f(1)\ge 0$ với mọi $x\in (1;+\infty )$ (vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$). Điều này tương đương $4x^2-3mx-4m^2\ge 0,\forall x\in (1;+\infty )$ và $2-4m\ge 0$. Với $m\in \mathbb{Z}$, ta tìm được $S=\{-1;0\}$, tổng các phần tử bằng $-1$.