Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{MN}=N-M=(-2-2;5-3)=(-4;2)$. Một vecto chỉ phương của đường thẳng $MN$ là mọi vecto cùng phương với $\overrightarrow{MN}$. Xét các đáp án: $(4;-2)=-1\cdot (-4;2)$ nên cùng phương với $\overrightarrow{MN}$. Các đáp án khác: $(4;2)$ có tích chéo $4\cdot 2-2\cdot (-4)=16\ne 0$; $(-4;-2)$ có tích chéo $(-4)\cdot 2-2\cdot (-4)=0$? Kiểm tra: $(-4)(2)-(-2)(-4)=-8-8=-16\ne 0$; $(-2;4)$ có tích chéo $(-2)(2)-4(-4)=-2+16=14\ne 0$. Vậy chỉ đáp án B đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(2;-1)$ và $B(2;5)$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(0;6)$, nên phương trình tham số: $x=2$, $y=-1+6t$. Kiểm tra: $t=0$ cho $A(2;-1)$, $t=1$ cho $B(2;5)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của AB là $\overrightarrow{AB}=(-9;3)\propto (3;-1)\propto (-3;1)$. A có chỉ phương $(3;-1)$ và đi qua $A(3;-1)$: đúng. B có chỉ phương $(3;1)$ không song song với $\overrightarrow{AB}$, nên không phải phương trình của AB. C có chỉ phương $(-3;1)$, tại $t=1$ được $(0;0)$ thuộc đường thẳng qua A với chỉ phương đó: đúng. D đi qua $B(-6;2)$ với chỉ phương $(-3;1)$: đúng. Vậy phương trình không phải của đường thẳng AB là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ: 3x−2y+1=0 có vectơ pháp tuyến n_Δ=(3;−2). Vì d vuông góc với Δ nên vectơ chỉ phương của d là u=(3;−2), do đó vectơ pháp tuyến của d là n=(2;3). Đường thẳng d đi qua A(1;−2): 2(x−1)+3(y+2)=0 ⟺ 2x−2+3y+6=0 ⟺ 2x+3y+4=0. Kiểm tra: A(1;−2): 2−6+4=0 đúng; n·n_Δ=2·3+3·(−2)=0 nên vuông góc. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ song song với $d^{\prime }:x+y-1=0$ nên có dạng $x+y+c=0$. Vì $d$ qua $M(1;1)$ nên $1+1+c=0\Rightarrow c=-2$. Vậy $d:x+y-2=0$. Kiểm tra: $M(1;1)$ thỏa mãn $1+1-2=0$, và $d$ không trùng với $d^{\prime }$ (vì $-2\ne -1$). Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
d1 có VTCP u1=(2;-1), d2 có VTCP u2=(-4;2)=-2(2;-1), nên u2 cùng phương u1 => hai đường song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm A(1;-2) thuộc d1, thay vào d2: -1-4t'=1 => t'=-1/2, khi đó y=3+2(-1/2)=2 ≠ -2, tức A không thuộc d2. Vậy d1 và d2 song song, không trùng nhau. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của ${\Delta }_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(3;-2)$, VTCP của ${\Delta }_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(2;3)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=3\cdot 2+(-2)\cdot 3=6-6=0$, nên hai VTCP vuông góc, góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{\circ }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng ${\Delta }_1$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(3;4)$. Đường thẳng ${\Delta }_2$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_2=(12;5)$. Cosin góc giữa hai đường thẳng là $\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{u}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{u}}_2|}=\frac{|3\cdot 12+4\cdot 5|}{5\cdot 13}=\frac{56}{65}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: $d(M,\Delta )=\frac{|x_M-3y_M+6|}{\sqrt{1^2+(-3{)}^2}}=\frac{|-2-3+6|}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ có phương trình tham số x=1+2t, y=-t, suy ra vectơ chỉ phương u=(2;-1), đi qua điểm P(1;0). Phương trình tổng quát: x+2y-1=0. Khoảng cách từ M(3;-2) đến Δ là d = |3+2·(-2)-1|/√(1²+2²) = |3-4-1|/√5 = 2/√5 = 2√5/5. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(1;2)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-3)$ có phương trình: $2(x-1)-3(y-2)=0\iff 2x-2-3y+6=0\iff 2x-3y+4=0$. Thử lại: $M(1;2)$: $2-6+4=0$ (đúng). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng qua $A(1;2)$ và $B(3;4)$ là $\overrightarrow{AB}=(3-1;4-2)=(2;2)$, có thể lấy $(1;1)$. Phương trình tham số qua $A$: $x=1+t,y=2+t$. Kiểm tra: với $t=2$ ta được $(3;4)=B$. Đáp án A. Các phương án khác sai: B có vecto chỉ phương $(-2;2)$ không song song với $\overrightarrow{AB}$; C không đi qua $A$ (với $t=0$ được $(1;1)$); D có vecto $(2;-2)$ không song song với $\overrightarrow{AB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=1+t$ suy ra $t=x-1$. Thay vào $y=2+3t$ ta được $y=2+3(x-1)=3x-1$, tức $3x-y-1=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2)$.
a) Sai: $\vec{n}=(1;2)$ không phải pháp tuyến vì $1\cdot 1+2\cdot (-2)=-3\ne 0$; pháp tuyến đúng là $\vec{n}=(1;-2)$.
b) Đúng: $\vec{u}=(2;1)$ thỏa $\vec{u}\cdot \vec{n}=2\cdot 1+1\cdot (-2)=0$ nên là vectơ chỉ phương.
c) Đúng: $\vec{u}=(a;b)$ là vectơ chỉ phương của $(d)$ khi và chỉ khi $\vec{u}\cdot \vec{n}=0\iff a-2b=0$.
d) Đúng: Cắt $Ox$ tại $A(-3;0)$, cắt $Oy$ tại $B\left(0;\frac{3}{2}\right)$ nên $\overrightarrow{AB}=\left(3;\frac{3}{2}\right)$, và $\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}=3-3=0$ nên là vectơ chỉ phương của $(d)$.
a) Pháp tuyến của $x-2y+3=0$ là $\vec{n}=(1;-2)$, không phải $(1;2)$ vì $1\cdot 1+2\cdot (-2)=-3\ne 0$.
b) $\vec{u}=(2;1)$ thỏa $\vec{u}\cdot \vec{n}=2\cdot 1+1\cdot (-2)=0$ nên là vectơ chỉ phương.
c) $\vec{u}=(a;b)$ chỉ phương $\iff \vec{u}\cdot \vec{n}=0\iff a-2b=0$.
d) $A(-3;0)$, $B\left(0;\frac{3}{2}\right)$ nên $\overrightarrow{AB}=\left(3;\frac{3}{2}\right)$ và $\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}=3-3=0$, là vectơ chỉ phương.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$: $3x-4y+16=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-4)$, nên khẳng định a sai ($\vec{n}=(3;4)$ không phải pháp tuyến vì tích vô hướng với vectơ chỉ phương $(4;3)$ là $12+12\ne 0$). Thay $M(3;-4)$: $3\cdot 3-4\cdot (-4)+16=9+16+16=41\ne 0$, nên $\Delta$ không đi qua $M$, khẳng định b sai. Từ $3x-4y+16=0$ suy ra $y=\frac{3}{4}x+4$, hệ số góc $k=\frac{3}{4}$, khẳng định c đúng. Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}=(4;3)$ (hoặc tỉ lệ với $(4;3)$); vectơ $\left(1;\frac{3}{2}\right)$ tỉ lệ với $(2;3)$ chứ không tỉ lệ với $(4;3)$, nên khẳng định d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tổng quát $3x-4y+16=0$, vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3;-4)$, không phải $(3;4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(3;-4)$ vào phương trình: $3\cdot 3-4\cdot (-4)+16=41\ne 0$ nên $M$ không thuộc $\Delta$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3x-4y+16=0\iff y=\frac{3}{4}x+4$, vậy hệ số góc $k=\frac{3}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}=(4;3)$. Vectơ $\left(1;\frac{3}{2}\right)$ tỉ lệ với $(2;3)$, không tỉ lệ với $(4;3)$, nên không phải vectơ chỉ phương của $\Delta$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: Δ1: x−y+2=0, Δ2: x=1+3t, y=−2+t.
a) Sai. Phương trình tổng quát ax+by+c=0 có vectơ pháp tuyến n=(a;b), nên Δ1 có n=(1;−1), không phải (1;1).
b) Sai. Từ phương trình tham số của Δ2, vectơ chỉ phương là u=(3;1) (hệ số của t), không phải (1;−2).
c) Đúng. Δ1: y=x+2 đi qua điểm (0;2) và có vectơ chỉ phương u=(1;1), nên phương trình tham số x=t, y=2+t là đúng.
d) Đúng. Từ x=1+3t, y=−2+t suy ra t=y+2, thay vào: x=1+3(y+2)=3y+7 ⟺ x−3y−7=0.
a) (AI giải đề cho tôi)
Δ1: x−y+2=0 có vectơ pháp tuyến n=(1;−1), không phải (1;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ2 có vectơ chỉ phương u=(3;1) (hệ số của t), không phải (1;−2).
c) (AI giải đề cho tôi)
Δ1: y=x+2 đi qua (0;2) với VTCP (1;1), nên x=t, y=2+t đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
t=y+2 ⟹ x=1+3(y+2)=3y+7 ⟺ x−3y−7=0, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình tham số, vecto chỉ phương của Δ1 là u1=(5;-6), của Δ2 là u2=(5;6).
b) Sai: u1=(5;-6) và u2=(5;6) không cùng phương (5·6 - (-6)·5 = 60 ≠ 0) nên hai đường thẳng không song song.
c) Sai: với M(7;3), trên Δ1 ta có 7 = 2 + 5t ⇒ t = 1, khi đó y = 3 - 6·1 = -3 ≠ 3, nên M không thuộc Δ1 (cũng không thuộc Δ2 vì 7 = 7 + 5t' ⇒ t' = 0, y = -3 ≠ 3). Vậy M không phải giao điểm.
d) Đúng: đường thẳng d vuông với Δ1 nên vecto pháp tuyến của d cùng phương với u1=(5;-6), tức d có dạng 5x - 6y + c = 0. Qua M(1;2): 5 - 12 + c = 0 ⇒ c = 7. Vậy d: 5x - 6y + 7 = 0.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số, u1=(5;-6), u2=(5;6).
b) (AI giải đề cho tôi)
u1 và u2 không cùng phương nên hai đường thẳng không song song.
c) (AI giải đề cho tôi)
M(7;3) không thuộc Δ1 (t=1 cho y=-3) và không thuộc Δ2 (t'=0 cho y=-3).
d) (AI giải đề cho tôi)
d vuông góc Δ1 nên có pháp tuyến cùng phương u1=(5;-6): 5x-6y+c=0; qua (1;2) được c=7.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-1;3-1)=(1;2)$. Đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ vuông góc với $AB$, nên $\overrightarrow{AB}=(1;2)$ chính là một vectơ pháp tuyến của đường trung trực. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $AB$ đi qua $A(2;0)$ và $B(0;3)$, có dạng $3x+by+c=0$. Thay $A(2;0)$: $3\cdot 2+b\cdot 0+c=0\Rightarrow c=-6$. Thay $B(0;3)$: $3\cdot 0+3b+c=0\Rightarrow 3b-6=0\Rightarrow b=2$. Vậy $T=b+2c=2+2(-6)=-10$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao kẻ từ B vuông góc với AC. Ta có $\overrightarrow{AC}=(2-(-1);4-(-1))=(3;5)$. Vecto pháp tuyến của đường cao từ B phải song song với $\overrightarrow{AC}$, tức là $\vec{n}=(3;5)$. Kiểm tra: $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}=9+25=34\ne 0$ là điều kiện vuông góc giữa pháp tuyến và chỉ phương, ở đây $\vec{n}$ trùng hướng $\overrightarrow{AC}$ nên vuông góc với đường cao — đúng yêu cầu. Vậy chọn A.