Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình A: $x^2+y^2-2x+4y-11=0$. Ta có $x^2-2x+y^2+4y=11\iff (x-1{)}^2+(y+2{)}^2=16$. Đây là phương trình đường tròn tâm $I(1;-2)$, bán kính $R=4$. Phương trình B có hệ số của $x^2$ và $y^2$ khác dấu nên không phải đường tròn. Phương trình C: $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=-6$ vô nghiệm (bán kính âm). Phương trình D có hệ số của $x^2$ và $y^2$ khác nhau nên không phải đường tròn. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IM=\sqrt{(2-(-2){)}^2+(-3-3{)}^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}$. Phương trình đường tròn: $(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=52$. Khai triển: $x^2+y^2+4x-6y+4+9-52=0\iff x^2+y^2+4x-6y-39=0$, khác với đáp án C ($-57$). Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(1;-3)$ tiếp xúc với trục tung nên bán kính $R$ bằng khoảng cách từ $I$ đến trục tung: $R=|x_I|=1$. Phương trình: $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;-2)$, bán kính $R=2\sqrt{2}$. Kiểm tra $A(3;-4)\in (C)$: $(3-1{)}^2+(-4+2{)}^2=4+4=8$, đúng. Vectơ $\overrightarrow{IA}=(2;-2)$ là pháp tuyến của tiếp tuyến tại $A$. Phương trình tiếp tuyến: $2(x-3)-2(y+4)=0\iff x-y-7=0$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ bằng khoảng cách từ tâm $I(3;4)$ đến $\Delta$: $R=\frac{|3\cdot 3+4\cdot 4-10|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|9+16-10|}{5}=\frac{15}{5}=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm đường tròn $(C)$ là $I(1;1)$, bán kính $R=5$. Khoảng cách từ $I$ đến $\Delta :3x-4y-19=0$ là $d=\frac{|3\cdot 1-4\cdot 1-19|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-20|}{5}=4$. Vì $\Delta$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ nên $AB=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{25-16}=2\cdot 3=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn dạng $x^2+y^2-2ax+2by+c=0$ phải có hệ số của $x^2$ và $y^2$ bằng nhau (bằng 1) và $a^2+b^2-c>0$.
- A: $4x^2+y^2-10x-6y-2=0$ có hệ số $x^2\ne y^2$ → loại.
- B: $x^2+y^2-4x+6y-12=0$: tâm $(2;-3)$, $R^2=2^2+(-3{)}^2+12=25>0$ → là đường tròn.
- C: $x^2+2y^2-4x-8y+1=0$ có hệ số $x^2\ne y^2$ → loại.
- D: $x^2+y^2-2x-8y+20=0$: $R^2=1^2+4^2-20=-3<0$ → không là đường tròn.
Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2+4mx-2my+2m+3=0$ là đường tròn khi $R^2=(2m{)}^2+(-m{)}^2-(2m+3)=5m^2-2m-3>0$. Giải: $5m^2-2m-3=(5m+3)(m-1)>0\Rightarrow m<-\frac{3}{5}$ hoặc $m>1$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm $I(a;b)$ thuộc $d:2x-y-5=0$ nên $b=2a-5$, tức $I(a;2a-5)$. Vì đường tròn đi qua $A(1;2)$ và $B(4;1)$ nên $IA=IB$: $(a-1{)}^2+(2a-7{)}^2=(a-4{)}^2+(2a-6{)}^2$. Khai triển: $a^2-2a+1+4a^2-28a+49=a^2-8a+16+4a^2-24a+36$, suy ra $-30a+50=-32a+52$, nên $2a=2\Rightarrow a=1$. Vậy $I(1;-3)$. Bán kính $R=IA=\sqrt{(1-1{)}^2+(-3-2{)}^2}=\sqrt{25}=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vùng phủ sóng là hình tròn tâm $I(-2;1)$ bán kính $R=3$ km. Người ở vị trí $A(-3;4)$. Khoảng cách từ $A$ đến tâm: $AI=\sqrt{(-3+2{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$. Vì $AI=\sqrt{10}\approx 3,162>3$, điểm $A$ nằm ngoài vùng phủ sóng. Khoảng cách ngắn nhất từ $A$ tới vùng phủ sóng (đường chim bay) là $AI-R=\sqrt{10}-3\approx 3,1623-3=0,1623\approx 0,16$ km. Vậy khoảng cách ngắn nhất cần di chuyển là $\sqrt{10}-3\approx 0,16$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với hệ số của $x^2$ và $y^2$ bằng nhau và khác 0, đồng thời $a^2+b^2-c>0$.
- A: $x^2+2y^2-4x-8y+1=0$ có hệ số $x^2\ne y^2$ → loại.
- B: $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ có $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=4+9+12=25>0$, đường tròn tâm $(2;-3)$ bán kính $5$ → đúng.
- C: $x^2+y^2-2x-8y+20=0$ có $(x-1{)}^2+(y-4{)}^2=1+16-20=-3<0$ → không phải đường tròn.
- D: $4x^2+y^2-10x-6y-2=0$ có hệ số $x^2\ne y^2$ → loại.
Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình 3x-4y+10=0, một vector pháp tuyến là n=(3;-4). b) Sai: đường tròn (x-1)^2+(y-2)^2=4 có tâm I(1;2) và bán kính R=2 (không phải 4). c) Sai: thay M(1;2) vào Δ: 3(1)-4(2)+10=5≠0, nên M không thuộc Δ. d) Đúng: khoảng cách từ I(1;2) đến Δ là d(I,Δ)=|3(1)-4(2)+10|/√(9+16)=5/5=1<2=R, nên Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình 3x-4y+10=0, vector pháp tuyến là n=(3;-4).
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường tròn (x-1)^2+(y-2)^2=4 có tâm I(1;2) và bán kính R=2, không phải R=4.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(1;2): 3(1)-4(2)+10=5≠0 nên M không thuộc Δ.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(I,Δ)=|3-8+10|/5=1<2=R nên Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $x^2+y^2-2x+4y+1=0$, ta có $I(1;-2)$ và $R^2=1^2+(-2{)}^2-1=4\Rightarrow R=2$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-4x+2y-1=0$ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a=2$, $b=-1$, $c=-1$. Bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương trình: A có $(2x-5{)}^2+(y+4{)}^2=9$ với hệ số của $x^2$ là 4 khác hệ số của $y^2$ là 1 nên không phải phương trình đường tròn. B có dấu trừ giữa hai bình phương nên là phương trình hypebol. C tương đương $(x+2{)}^2+(y+5{)}^2=-16<0$ vô nghiệm. D viết lại $x^2+(y+2{)}^2=7$ là phương trình đường tròn tâm $(0;-2)$ bán kính $\sqrt{7}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ cần hệ số của $x^2$ và $y^2$ bằng nhau (bằng 1) và $a^2+b^2-c>0$.
- A: $x^2+y^2-2x-8y+20=0\iff (x-1{)}^2+(y-4{)}^2=-3<0$: không là đường tròn.
- B: hệ số $4x^2\ne y^2$: không là đường tròn.
- C: $x^2+y^2-4x+6y-12=0\iff (x-2{)}^2+(y+3{)}^2=25$: là đường tròn tâm $(2;-3)$ bán kính $5$.
- D: hệ số $x^2\ne 2y^2$: không là đường tròn.
Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2+2mx+2(m-1)y+2m^2=0$ có hệ số của $x^2$ và $y^2$ bằng 1 (bằng nhau và khác 0), nên là phương trình đường tròn khi bán kính dương: $R^2=m^2+(m-1{)}^2-2m^2=m^2-2m+1-m^2=1-2m>0\iff m<\frac{1}{2}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ tâm I(2; 2) đến tiếp tuyến d: $4x+3y-4=0$: $R=\frac{|4\cdot 2+3\cdot 2-4|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{10}{5}=2$. Suy ra $R^2=4$ và phương trình đường tròn là $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm I là trung điểm AB: I(0; 3). Bán kính R = ½·AB, với AB = √((−1−1)² + (4−2)²) = √8 = 2√2 nên R² = 2. Phương trình đường tròn: x² + (y−3)² = 2. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi phương trình đường tròn dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Thay A(-1; 1): $2a-2b+c=-2$; thay B(3; 1): $-6a-2b+c=-10$; thay C(1; 3): $-2a-6b+c=-10$. Trừ phương trình thứ nhất cho thứ hai: $8a=8\Rightarrow a=1$. Trừ phương trình thứ nhất cho thứ ba: $4b=4\Rightarrow b=1$, suy ra $c=-2$. Kiểm tra lại bằng trung trực: trung điểm AB là (1; 1), AB nằm ngang nên trung trực của AB là $x=1$; trung điểm AC là (0; 2), hệ số góc AC = $\frac{3-1}{1+1}=1$ nên trung trực của AC có hệ số góc $-1$ đi qua (0; 2): $y=-x+2$. Giao hai trung trực: tâm $I(1;1)$. Bán kính $IA=\sqrt{(-2{)}^2+0^2}=2$. Phương trình: $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=4\iff x^2+y^2-2x-2y-2=0$. Thử lại với C(1; 3): $1+9-2-6-2=0$ ✓. Vậy đáp án A.