Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc hai đường (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SCD$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $SD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $MN\parallel CD$. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD\perp AD$. Do đó góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $AD$ bằng góc giữa $CD$ và $AD$, tức là $90^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đáy $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau: $AC\perp BD$. Mặt khác $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ (vì $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }=D{D}^{\prime }$ nên tứ giác $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành). Từ đó $AC\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$. Kiểm tra các phương án khác: $AC$ cắt $CD$ tại $C$ với góc $45^{\circ }$ (không vuông góc); $AC$ cắt $A^{\prime }{C}^{\prime }$ tại $C$, góc giữa chúng bằng góc giữa $AC$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ với $AC$, khác $90^{\circ }$; $AC$ cắt $AD$ tại $A$ với góc $45^{\circ }$. Vậy chỉ có $AC\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 1014: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là góc nhọn (hoặc vuông) tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với $a$ và $b$. Do đó đáp án là A. Kiểm tra với bảng đáp án mã đề 1014: Câu 6 là A, khớp với kết quả giải độc lập.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là góc nhọn (hoặc vuông) tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với $a$ và $b$. Do đó đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1013, Câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, xét mặt đáy $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau ($AC\perp BD$). Mặt khác $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ (vì $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$), suy ra $AC\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$. Các đáp án còn lại: $CD$ và $AD$ nằm trong đáy và cắt $AC$ tại góc $45^{\circ }$ (không vuông góc); $A^{\prime }{C}^{\prime }$ song song với $AC$ nên không vuông góc với $AC$. Vậy đường thẳng $AC$ vuông góc với $B^{\prime }{D}^{\prime }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

[Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CD\parallel AB$. Do đó $(SA,CD)=(SA,AB)=\widehat{SAB}$.

Tam giác $SAB$ đều vì $SA=SB=AB=a\Rightarrow \widehat{SAB}=60^{\circ }$.

Chọn C

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$ nên góc giữa $SC$ và $AB$ bằng góc giữa $SC$ và $CD$, tức $\widehat{SCD}=53^{\circ }$. Tam giác $SCD$ cân tại $S$ với $SC=SD=215$, đáy $CD=a$. Kẻ $SH\perp CD$ tại $H$ (trung điểm $CD$), khi đó $CH=SC\cos 53^{\circ }=215\cos 53^{\circ }$. Suy ra $a=CD=2\cdot 215\cos 53^{\circ }\approx 430\cdot 0,6018\approx 258,8\approx 259$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn 259.

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy $ABCD$ là hình vuông nên $BC\parallel AD$, do đó góc giữa $SD$ và $BC$ bằng góc giữa $SD$ và $AD$, tức là góc $SDA$ của tam giác $SAD$. Vì tất cả các cạnh của hình chóp bằng nhau nên tam giác $SAD$ đều (cả $SA$, $AD$, $SD$ đều bằng nhau), suy ra góc $SDA=60^{\circ }$. Vậy góc giữa $SD$ và $BC$ bằng $60^{\circ }$, trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$ nên góc giữa $SC$ và $AB$ bằng góc giữa $SC$ và $CD$, tức $\widehat{SCD}=53^{\circ }$.

Tam giác $SCD$ cân tại $S$ với $SC=SD=215m$, do đó $\widehat{SDC}=\widehat{SCD}=53^{\circ }$, suy ra góc ở đỉnh $\widehat{CSD}=180^{\circ }-53^{\circ }-53^{\circ }=74^{\circ }$.

Gọi $H$ là trung điểm $CD$, ta có:
$$CD=2\cdot SC\cdot \sin \left(\frac{74^{\circ }}{2}\right)=2\cdot 215\cdot \sin 37^{\circ }\approx 430\cdot 0,6018\approx 258,8\approx 259.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC\parallel AD$, do đó góc giữa $SD$ và $BC$ bằng góc giữa $SD$ và $AD$, tức là góc $\widehat{SDA}$ trong tam giác $SAD$. Mọi cạnh của hình chóp đều bằng nhau nên $SA=SD=AD$, tam giác $SAD$ đều, suy ra $\widehat{SDA}=60^{\circ }$. Vậy góc giữa $SD$ và $BC$ bằng $60^{\circ }$, khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng trong không gian có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau. B sai vì hai đường thẳng vuông góc có thể chéo nhau (không cắt). C đúng: do $c//b$ và $a\perp b$ nên $a\perp c$ (tính chất đường thẳng vuông góc với đường thẳng song song). D sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với $b$ có thể chéo nhau. Vậy mệnh đề đúng là C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Vì tam giác $SBC$ và $ABC$ đều (tất cả các cạnh bằng nhau) nên $SM\perp BC$ và $AM\perp BC$. Suy ra $BC\perp (SAM)$, do đó $BC\perp SA$ (vì $SA\subset (SAM)$). Vậy góc giữa $SA$ và $BC$ là $\alpha =90^{\circ }$, nên $\sin \alpha =\sin 90^{\circ }=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 15: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra $IJ\parallel BC$. Do đó góc giữa hai đường thẳng $IJ$ và $CD$ bằng góc giữa hai đường thẳng $BC$ và $CD$.
Xét tam giác $BCD$ có $CB=CD=a$, $BD=a\sqrt{3}$. Theo định lí cosin:
$$\cos \widehat{BCD}=\frac{C{B}^2+C{D}^2-B{D}^2}{2\cdot CB\cdot CD}=\frac{a^2+a^2-3a^2}{2a^2}=-\frac{1}{2}.$$
Suy ra $\widehat{BCD}=120^{\circ }$. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn, nên góc giữa $BC$ và $CD$ bằng $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$. Vậy $\cos$ góc giữa $IJ$ và $CD$ bằng $\cos 60^{\circ }=0,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $AB\parallel DC$ (do $ABCD$ là hình vuông) và $DC\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ (do $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình vuông). Suy ra $AB\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$. Hai đường thẳng song song nên góc giữa chúng bằng $0^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $C^{\prime }{D}^{\prime }\parallel CD$ (do $C^{\prime }{D}^{\prime }DC$ là hình bình hành) và $CD\parallel AB$ (do $ABCD$ là hình vuông). Suy ra $AB\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$, tức hai đường thẳng này song song. Góc giữa hai đường thẳng song song bằng $0^{\circ }$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I,J$ là trung điểm của $AB,AC$ nên $IJ\parallel BC$. Do đó góc giữa $IJ$ và $CD$ bằng góc giữa $BC$ và $CD$. Xét tam giác $BCD$ có $CB=CD=a$, $BD=a\sqrt{3}$, theo định lí cosin: $\cos \widehat{BCD}=\frac{C{B}^2+C{D}^2-B{D}^2}{2\cdot CB\cdot CD}=\frac{a^2+a^2-3a^2}{2a^2}=-\frac{1}{2}$, suy ra $\widehat{BCD}=120^{\circ }$. Góc giữa hai đường thẳng $BC$ và $CD$ là góc nhọn nên bằng $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$. Vậy $\cos$ của góc giữa $IJ$ và $CD$ bằng $\cos 60^{\circ }=0,5$, khớp với đáp án đề cho.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABC$ có tất cả các cạnh bằng nhau là tứ diện đều. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, cạnh bằng $a$. Khi đó $AM\perp BC$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$) và $SM\perp BC$ (tam giác $SBC$ cân tại $S$). Suy ra $BC\perp (SAM)$, do đó $BC\perp SA$, tức góc giữa $SA$ và $BC$ bằng $90^{\circ }$, nên $\sin \alpha =\sin 90^{\circ }=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 18 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Nếu $a\perp b$ và $c//b$ thì $a\perp c$ (đường thẳng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng song song với nó). Mệnh đề B sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với $b$ có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau; C sai vì hai đường thẳng vuông góc có thể chéo nhau; D sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với $b$ không nhất thiết vuông góc với nhau. Đáp án khớp với mã đề 1101: A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $CD\parallel BA$. Do đó góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $BA$, tức là góc $A^{\prime }BA$. Xét tam giác $A^{\prime }BA$ vuông tại $A$ với $B{A}^{\prime }=A{A}^{\prime }\sqrt{2}$ (vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }\perp AB$, và $B{A}^{\prime }$ là đường chéo mặt bên $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$). Tam giác $A^{\prime }BA$ vuông cân tại $A$ ($A{A}^{\prime }=AB$) nên góc $A^{\prime }BA=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng $45^{\circ }$, trùng với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục với mặt đáy dưới $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là mặt $z=0$: $B^{\prime }(0;0;0)$, $C^{\prime }(3;0;0)$, $H(1,5;0;0)$ trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $A^{\prime }(1,5;\frac{3\sqrt{3}}{2};0)$ (tam giác đều cạnh 3). Vì $AH\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên góc giữa cạnh bên $A{A}^{\prime }$ và mặt đáy là $\widehat{A{A}^{\prime }H}=60^{\circ }$, suy ra $AH=A^{\prime }H\cdot \tan 60^{\circ }=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{9}{2}$. Vậy $A(1,5;0;\frac{9}{2})$. Lăng trụ nên $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0;-\frac{3\sqrt{3}}{2};\frac{9}{2})$, do đó $B(0;-\frac{3\sqrt{3}}{2};\frac{9}{2})$, $C(3;-\frac{3\sqrt{3}}{2};\frac{9}{2})$. Ta có $\overrightarrow{BC}=(3;0;0)$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(1,5;-\frac{3\sqrt{3}}{2};-\frac{9}{2})$ với $|A{C}^{\prime }|=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{27}{4}+\frac{81}{4}}=\frac{3\sqrt{13}}{2}$. Khi đó $\cos =\frac{|4,5|}{3\cdot \frac{3\sqrt{13}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{13}}$, $\sin =\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$, nên $\tan =2\sqrt{3}\approx 3,46$, làm tròn hàng đơn vị bằng $3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn.