Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc hai đường (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cạnh $A^{\prime }A$ vuông góc với mặt đáy $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, mà đường thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$ nằm trong mặt đáy đó. Suy ra $A^{\prime }A\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$, tức góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $A^{\prime }A$ bằng $90^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Đề 101, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hạ hệ trục: đặt $H$ là gốc, $B^{\prime }{C}^{\prime }$ nằm trên trục hoành. Vì $AH\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và góc giữa cạnh bên $A{A}^{\prime }$ với mặt đáy bằng $60^{\circ }$ nên góc $\widehat{A{A}^{\prime }H}=60^{\circ }$, suy ra $AH=A^{\prime }H\cdot \tan 60^{\circ }$. Tam giác đều $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cạnh 5 có $A^{\prime }H=\frac{5\sqrt{3}}{2}$ (đường cao), do đó $AH=\frac{5\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{15}{2}$. Tọa độ: $H(0;0;0)$, $B^{\prime }\left(-\frac{5}{2};0;0\right)$, $C^{\prime }\left(\frac{5}{2};0;0\right)$, $A^{\prime }\left(0;\frac{5\sqrt{3}}{2};0\right)$, $A\left(0;0;\frac{15}{2}\right)$, và $B\left(-\frac{5}{2};-\frac{5\sqrt{3}}{2};\frac{15}{2}\right)$, $C\left(\frac{5}{2};-\frac{5\sqrt{3}}{2};\frac{15}{2}\right)$. Vectơ $\overrightarrow{BC}=(5;0;0)$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\left(\frac{5}{2};0;-\frac{15}{2}\right)$, $\left|\overrightarrow{BC}\right|=5$, $\left|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|=\frac{5\sqrt{10}}{2}$. Cosin góc giữa hai đường thẳng: $\cos \theta =\frac{\left|\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|}{\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|}=\frac{25/2}{\frac{25\sqrt{10}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$. Suy ra $\sin \theta =\frac{3}{\sqrt{10}}$ và $\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{1}{3}\approx 0,33$. (Kiểm tra lại: góc giữa $A{C}^{\prime }$ và phương ngang có $\tan \theta =\frac{AH}{H{C}^{\prime }}=\frac{15/2}{5/2}=3$, nên $\cot \theta =1/3$.) Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,33.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AD\parallel BC$ nên góc giữa $SC$ và $AD$ bằng góc giữa $SC$ và $BC$, tức là góc $SCB$ trong tam giác $SCB$. Do $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$, suy ra $SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$. Lại có $SA\perp BC$ (vì $BC\subset (ABCD)$) và $AB\perp BC$ nên $BC\perp (SAB)$, do đó $BC\perp SB$, tam giác $SCB$ vuông tại $B$. Vậy $\tan \alpha =\tan \widehat{SCB}=\frac{SB}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{1}=\sqrt{5}$. Suy ra $b=5$, khớp với đáp án nguồn (đề 1112, Phần III, Câu 1 = 5).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AD\parallel BC$ nên góc giữa $SC$ và $AD$ bằng góc giữa $SC$ và $BC$, tức là góc $\alpha =\widehat{SCB}$. Do $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$; lại có $BC\perp AB$ nên $BC\perp (SAB)$, suy ra $BC\perp SB$. Tam giác $SBC$ vuông tại $B$ với $BC=1$, $SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$. Do đó $\tan \alpha =\tan \widehat{SCB}=\frac{SB}{BC}=\sqrt{5}$, vậy $b=5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 1111, Phần III, câu 2: 5).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định trong không gian: A đúng vì hai đường thẳng vuông góc khi góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$. B đúng vì nếu $b//c$ và $a\perp b$ thì $a\perp c$ (tính chất truyền qua đường song song). C sai: nếu $a\perp b$ và $c\perp b$ thì $a$ và $c$ có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau, không nhất thiết song song (ví dụ trong hình lập phương, các cạnh xuất phát từ một đỉnh cùng vuông góc với một cạnh nhưng không song song). D đúng vì hai đường thẳng vuông góc trong không gian có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Vậy khẳng định sai là C, khớp với đáp án nguồn (đề 1002, Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$.
a) Sai: Vì $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel AD$ nên góc giữa $BD$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng góc giữa $BD$ và $AD$, tức góc $\widehat{ADB}=45^{\circ }$, không phải góc giữa $BD$ và $CD$ (bằng $90^{\circ }$).
b) Đúng: $BC\perp AB$, $BC\perp B{B}^{\prime }$ và $AB\cap B{B}^{\prime }=B$ với $AB,B{B}^{\prime }\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, suy ra $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.
c) Sai: $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ nên góc giữa $B^{\prime }C$ và $A{A}^{\prime }$ bằng góc giữa $B^{\prime }C$ và $B{B}^{\prime }$. Tam giác $B{B}^{\prime }C$ vuông cân tại $B$ nên góc này bằng $45^{\circ }\ne 90^{\circ }$; vậy $B^{\prime }C$ và $A{A}^{\prime }$ không vuông góc.
d) Đúng: Góc giữa $D{B}^{\prime }$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{B^{\prime }DB}$ (hình chiếu của $D{B}^{\prime }$ trên $(ABCD)$ là $DB$). Tam giác $DB{B}^{\prime }$ vuông tại $B$ với $B{B}^{\prime }=a$, $BD=a\sqrt{2}$, nên $\tan \widehat{B^{\prime }DB}=\frac{B{B}^{\prime }}{BD}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Kết quả khớp đáp án mã đề 1002: SDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel AD$, góc giữa $BD$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }$ là góc giữa $BD$ và $AD$ (bằng $45^{\circ }$), không phải góc giữa $BD$ và $CD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$, $BC\perp B{B}^{\prime }$ và $AB\cap B{B}^{\prime }=B$ nên $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$; tam giác $B{B}^{\prime }C$ vuông cân tại $B$ nên góc giữa $B^{\prime }C$ và $B{B}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$, không phải $90^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $D{B}^{\prime }$ và $(ABCD)$ là $\widehat{B^{\prime }DB}$ với $\tan \widehat{B^{\prime }DB}=\frac{B{B}^{\prime }}{BD}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AD\parallel BC$, do đó góc giữa $SC$ và $AD$ bằng góc giữa $SC$ và $BC$, tức là góc $SCB$ trong tam giác $SBC$. Vì $SB\perp (ABCD)$ nên $SB\perp BC$, tam giác $SBC$ vuông tại $B$ với $SB=3a$, $BC=a$. Khi đó $\tan (\widehat{SCB})=\frac{SB}{BC}=\frac{3a}{a}=3$, suy ra $\widehat{SCB}=\arctan 3\approx 71,57^{\circ }\approx 72^{\circ }$. Vậy $x=72$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $a^{\prime }$ và $b^{\prime }$ cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với $a$ và $b$. Do đó khẳng định A đúng. B sai vì hai đường thẳng $a^{\prime }$, $b^{\prime }$ tùy ý đi qua một điểm chưa chắc song song với $a$, $b$. C sai vì $b^{\prime }$ chỉ cắt $a$ nhưng không song song với $b$. D sai vì phải song song chứ không phải vuông góc với $a$ và $b$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A đúng vì hai đường thẳng vuông góc khi góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$. B đúng vì nếu $a//b$ và $c\perp b$ thì $c\perp a$. C đúng vì trong không gian, hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. D sai vì từ $a\perp c$ và $b\perp c$ chỉ suy ra $a$ và $b$ cùng vuông góc với $c$, chúng có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau (ví dụ trong hình lập phương, các cạnh $AB$ và $BC$ cùng vuông góc với $A{A}^{\prime }$ nhưng cắt nhau). Vậy khẳng định sai là D, trùng với đáp án nguồn (đề 1001, Câu 11: D).

Theo bảng đáp án mã đề 1001, câu 2 phần đúng sai: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC\parallel AD$, do đó góc giữa $SA$ và $BC$ bằng góc giữa $SA$ và $AD$, tức là góc $SAD$. Tam giác $SAD$ vuông tại $D$ (vì $SD\perp (ABCD)$) với $SD=2a$, $AD=a$, nên $\tan (\widehat{SAD})=\frac{SD}{AD}=\frac{2a}{a}=2$. Suy ra $x=\arctan 2\approx 63,43^{\circ }\approx 63^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (63).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $a^{\prime }$ và $b^{\prime }$ cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với $a$ và $b$. Do đó A, B thiếu điều kiện tương ứng song song (hoặc cắt $a$ không đủ), D sai vì điều kiện là song song chứ không phải vuông góc. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đường thẳng $C{D}^{\prime }$ song song với $B{A}^{\prime }$ (vì $C{D}^{\prime }\parallel B{A}^{\prime }$ do $CD\parallel BA$ và $D{D}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$, nên hai đường chéo của hai mặt song song $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $BA{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ song song nhau). Do đó góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $C{D}^{\prime }$ bằng góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $B{A}^{\prime }$. Xét mặt bên $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình vuông, hai đường chéo $A{B}^{\prime }$ và $B{A}^{\prime }$ vuông góc với nhau (tính chất hai đường chéo hình vuông). Vậy góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $C{D}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hệ trục với $A(0;0;0),B(1;0;0),C(1;1;0),D(0;1;0),A^{\prime }(0;0;1),D^{\prime }(0;1;1)$, ta có $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(1;0;1)$ và $\overrightarrow{C{D}^{\prime }}=(-1;0;1)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C{D}^{\prime }}=-1+0+1=0$, nên $A{B}^{\prime }\perp C{D}^{\prime }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{\circ }$, trùng với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ (vì $AAC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình chữ nhật). Trong mặt đáy $ABCD$, đường chéo $BD\perp AC$ (hai đường chéo hình vuông vuông góc nhau). Do đó $BD\perp A^{\prime }{C}^{\prime }$, tức góc giữa hai đường thẳng $BD$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $A^{\prime }(0,0,1)$, $B^{\prime }(1,0,1)$. Khi đó $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(1,0,-1)$, $\overrightarrow{B^{\prime }C}=(0,1,-1)$. $\cos (\overrightarrow{A^{\prime }B},\overrightarrow{B^{\prime }C})=\frac{0+0+1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$, nên góc giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và $B^{\prime }C$ bằng $60^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2 Phần III: 60).

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc nhọn hoặc vuông tạo bởi hai đường thẳng song song lần lượt với hai đường thẳng đã cho, nên $0^0\le \phi \le 90^0$ (hai đường song song cho góc $0^0$, hai đường vuông góc cho góc $90^0$). Vậy khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 163, Câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp lập phương $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $AB\parallel DC$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ (vì $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ do $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$). Vậy góc giữa $AB$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng góc giữa $DC$ và $BD$, tức là góc $BDC$ trong hình vuông $ABCD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên đường chéo $BD$ tạo với cạnh $DC$ một góc $45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AD\parallel BC$, do đó góc giữa $SB$ và $AD$ bằng góc giữa $SB$ và $BC$, tức là góc $SBC$ trong tam giác $SBC$. Hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau nên tam giác $SBC$ cân tại $S$ với $SB=SC=BC$, tức là tam giác đều. Vậy góc $SBC=60^{\circ }$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hình lập phương cạnh $a$ với tọa độ $A(0,0,0),B(a,0,0),D(0,a,0),A^{\prime }(0,0,a)$, suy ra $B^{\prime }(a,0,a),D^{\prime }(0,a,a)$. Vectơ $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=(-a,a,0)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(0,0,a)$ có $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}=0$, nên $B{B}^{\prime }\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$ (thực tế $B{B}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $B{B}^{\prime }\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$). Với $\overrightarrow{AD}=(0,a,0)$: tích bằng $a^2\ne 0$; với $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(0,a,a)$: tích bằng $a^2\ne 0$; với $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=(a,0,0)$: tích bằng $-a^2\ne 0$. Vậy chỉ có $B{B}^{\prime }$ vuông góc với $B^{\prime }{D}^{\prime }$.