Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc hai đường (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ (vì $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $AC$ là hai đường chéo song song của hai mặt phẳng song song $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $(ABCD)$). Do đó góc giữa $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $CD$ bằng góc giữa $AC$ và $CD$. Xét tam giác $ACD$ vuông tại $D$ với $AD=CD$, nên $\widehat{ACD}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $CD$ bằng $45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (45).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng $90^0$. Đáp án trắc nghiệm đúng là A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ (vì $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $AC$ là hai đường chéo song song của hai mặt phẳng song song $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và $ABCD$). Do đó góc giữa hai đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $CD$ bằng góc giữa $AC$ và $CD$. Xét tam giác $ACD$ vuông tại $D$ với $AD=CD$, ta có $\widehat{ACD}=45^{\circ }$. Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $CD$ là $45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (45).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng $90^0$. Đáp án khớp với bảng đáp án nguồn (Câu 6 - A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$, $J$ là trung điểm của $SC$, $BC$ nên $IJ\parallel SB$. Do đó $\cos (IJ,CD)=|\cos (SB,CD)|$. Đặt cạnh bằng $a=1$, hình chóp đều với đáy là hình vuông: $A(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$, $B(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$, $C(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0)$, $D(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0)$, $S(0,0,h)$ với $h^2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, tức $h=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Ta có $\overrightarrow{SB}=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{\sqrt{2}})$ với độ dài $1$, và $\overrightarrow{CD}=(1,0,0)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{CD}=-\frac{1}{2}$, nên $\cos (SB,CD)=-\frac{1}{2}$. Góc giữa hai đường thẳng lấy giá trị dương: $\cos (IJ,CD)=\frac{1}{2}=0,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, cho đường thẳng $d$ và điểm $O$ bất kỳ. Xét mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $O$ và vuông góc với $d$ (nếu $O\in d$ thì $(\alpha )$ là mặt phẳng vuông góc với $d$ tại $O$; nếu $O\notin d$ thì $(\alpha )$ là mặt phẳng vuông góc với $d$ và chứa $O$). Mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha )$ và đi qua $O$ đều vuông góc với $d$, vì chúng cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với $d$. Trong mặt phẳng $(\alpha )$ có vô số đường thẳng đi qua $O$, nên có vô số đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $d$. Vậy đáp án đúng là A, trùng với đáp án của đề (mã đề 288, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ta có $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ (vì $AB\parallel DC\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$). Do đó góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Xét tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: đây là tam giác vuông tại $B^{\prime }$ với $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }$ (hai cạnh của hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$), nên tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông cân tại $B^{\prime }$. Suy ra góc $\widehat{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 288, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I,J$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $BC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SBC$, suy ra $IJ\parallel SB$. Do đó $\cos (IJ,CD)=\cos (SB,CD)$.

Đặt cạnh bằng $a$. Vì $SA=SB=SC=SD=a$ nên hình chiếu của $S$ lên đáy là tâm $O$ của hình vuông $ABCD$. Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, khi đó $S\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$ vì $S{O}^2=a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{2}$.

Ta có $\overrightarrow{SB}=\left(\frac{a}{2};-\frac{a}{2};-\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$, $\overrightarrow{CD}=(-a;0;0)$.

$\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{CD}=-\frac{a^2}{2}$, $|\overrightarrow{SB}|=a$, $|\overrightarrow{CD}|=a$.

$$\cos (SB,CD)=\frac{\left|\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{CD}\right|}{|\overrightarrow{SB}||\overrightarrow{CD}|}=\frac{a^2/2}{a^2}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên góc giữa $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Trong mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông cân tại $B^{\prime }$ với $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }=a$, do đó $\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 119, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SCD$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $SD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel CD$. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD\perp BC$ (và $CD\perp AD$). Do đó $MN\perp BC$. Các đáp án A, B, C sai vì $CD$ không vuông góc với $AC$, $BD$, $AB$ trong hình chữ nhật (chỉ vuông góc với $BC$ và $AD$). Vậy khẳng định đúng là $MN\perp BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{b}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{c}$ với $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|$. Khi đó $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec{a}+\vec{b}$ và $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BD}=(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{b}-\vec{a})=|\vec{b}{|}^2-|\vec{a}{|}^2=0$ vì tất cả các cạnh bằng nhau. Vậy hai đường thẳng vuông góc, góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$. Đáp án A.

Chọn A. Có $CD//AB\Rightarrow (B{A}^{\prime },CD)=(B{A}^{\prime },BA)=\widehat{AB{A}^{\prime }}=45^{\circ }$ (do $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình vuông).

Chọn A. Có $CD//AB\Rightarrow \left(B{A}^{\prime },CD\right)=\left(B{A}^{\prime },BA\right)=\widehat{AB{A}^{\prime }}$

* $H,K$ lần lượt là trung điểm $SD,BC$.
* $AH=\sqrt{2},AK=\sqrt{5}$.
* $HK=BP=\sqrt{5}$.
* $\cos \widehat{AHK}=\frac{H{A}^2+H{K}^2-A{K}^2}{2HA.HK}=\frac{\sqrt{10}}{10}$.

[Hình cần kiểm tra lại: p4_f2]

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $A^{\prime }(0;0;1)$, $B^{\prime }(1;0;1)$, $C^{\prime }(1;1;1)$, $D^{\prime }(0;1;1)$. Khi đó $M\left(\frac{1}{2};0;0\right)$, $N\left(1;\frac{1}{2};0\right)$, $P$ là trung điểm $C^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $P\left(\frac{1}{2};1;1\right)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right)$, $\overrightarrow{AP}=\left(\frac{1}{2};1;1\right)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{AP}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+0=\frac{3}{4}$. Độ dài: $|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $|\overrightarrow{AP}|=\sqrt{\frac{1}{4}+1+1}=\frac{3}{2}$. Vậy $\cos (MN,AP)=\frac{3/4}{(\sqrt{2}/2)(3/2)}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, nên góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $AP$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, xét $BD$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Ta có $BD\perp AC$ (hai đường chéo hình vuông $ABCD$) và $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }\perp BD$. Do đó $BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, mà $A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $BD\perp A^{\prime }{C}^{\prime }$. Các phương án khác: $A^{\prime }{D}^{\prime }$ cắt $A^{\prime }{C}^{\prime }$ tại $A^{\prime }$ với góc $60^{\circ }$; $CD$ chéo nhau với $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và không vuông góc; $AC$ song song với $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Vậy đáp án là A, trùng đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ là đường chéo của mặt trên $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Ta có $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }\perp A^{\prime }{C}^{\prime }$ (hai đường chéo của hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ vuông góc nhau), nên $BD\perp A^{\prime }{C}^{\prime }$. Các đường thẳng $A^{\prime }{D}^{\prime }$, $CD$, $AC$ không vuông góc với $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (chúng cắt hoặc chéo nhau tạo góc khác $90^{\circ }$). Vậy đáp án là $BD$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp chữ nhật với $AB=10,5$, $AD=8,2$, $A{A}^{\prime }=8,5$ cm; $BD=\sqrt{10,5^2+8,2^2}=\sqrt{110,25+67,24}=\sqrt{177,49}\approx 13,32$ cm.
a) Vì $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$, góc giữa $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $AD$ bằng góc giữa $BD$ và $AD$: $\cos \alpha =\frac{AD}{BD}=\frac{8,2}{13,32}\approx 0,6156\Rightarrow \alpha \approx 52^0\ne 60^0$. Sai.
b) Góc giữa $A{D}^{\prime }$ và $(ABCD)$ là $\widehat{D^{\prime }AD}$: $\tan \alpha =\frac{8,5}{8,2}\Rightarrow \alpha \approx 46^0\ne 45^0$. Sai.
c) $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }\parallel$ đường thẳng qua $B$ vuông góc đáy, nên $d(A{A}^{\prime },BD)=d(A,BD)=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{10,5\cdot 8,2}{13,32}\approx 6,5$ cm. Đúng.
d) Gọi $O$ là trung điểm $BD$, tam giác $ABD$ cân tại $A$ nên $AO\perp BD$; cũng $A^{\prime }O\perp BD$. Diện tích $△ABD=\frac{1}{2}\cdot 10,5\cdot 8,2=43,05$, nên $AO=\frac{2\cdot 43,05}{13,32}\approx 6,46$ cm. Góc nhị diện $[A,BD,A^{\prime }]$ là $\widehat{AO{A}^{\prime }}$: $\tan \alpha =\frac{8,5}{6,46}\approx 1,316\Rightarrow \alpha \approx 52,8^0\approx 53^0$. Đúng.
Kết quả khớp đáp án chính thức mã đề 112: SSDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $B^{\prime }{D}^{\prime }$ (song song $BD$) và $AD$: $\cos \alpha =\frac{8,2}{\sqrt{177,49}}\approx 0,616\Rightarrow \alpha \approx 52^0\ne 60^0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{A{A}^{\prime }}{AD}=\frac{8,5}{8,2}\Rightarrow \alpha \approx 46^0\ne 45^0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(A{A}^{\prime },BD)=d(A,BD)=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{86,1}{13,32}\approx 6,5$ cm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AO=d(A,BD)\approx 6,46$ cm, $\tan \widehat{AO{A}^{\prime }}=\frac{8,5}{6,46}\Rightarrow \widehat{AO{A}^{\prime }}\approx 53^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định trong không gian: A sai vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng có thể trùng nhau (không nhất thiết song song). B sai vì hai đường thẳng không có điểm chung có thể chéo nhau. C đúng: hai đường thẳng vuông góc với nhau trong không gian có thể cắt nhau (giao nhau tại một điểm) hoặc chéo nhau (không cắt nhưng vuông góc qua góc giữa hai đường thẳng). D sai vì hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng có thể chéo nhau, không nhất thiết song song. Vậy khẳng định đúng là C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương, cạnh $D{D}_1$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$, mà đường thẳng $AC$ nằm trong mặt đáy $(ABCD)$ nên $D{D}_1\perp AC$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $D{D}_1$ bằng $90^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1012, câu 9: D).