Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc hai đường (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $CD\parallel BA$ nên góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $BA$, tức là góc $A^{\prime }BA$. Trong hình lập phương, tam giác $A^{\prime }BA$ vuông tại $A$ với $A^{\prime }B=\sqrt{2}AB$, nên $\cos \widehat{A^{\prime }BA}=\frac{AB}{A^{\prime }B}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\widehat{A^{\prime }BA}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng $45^{\circ }$, trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Mặt khác $BC\subset (ABC)$, do đó $SA\perp BC$, tức góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ bằng $90^{\circ }$. Đáp số: 90, trùng với đáp án nguồn (Mã 111, Câu 3).

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng $ESLG.ZVBD$ có cạnh bên $EZ$ vuông góc với mặt đáy $(ESLG)$, do đó $EZ$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt đáy, kể cả $LG$. Vậy góc giữa $EZ$ và $LG$ bằng $90^{\circ }$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ theo hình vẽ: $A(0;0;1),B(1;0;1),C(1;1;1),D(0;1;1),E(0;0;0),F(1;0;0),H(0;1;0),G(1;1;0)$. Xét từng cặp: A) $\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$, $\overrightarrow{HF}=(1;-1;0)$, tích vô hướng $=1-1=0$ nên $AC\perp HF$. B) $AB\parallel CD$ (cùng phương) nên không vuông góc. C) $\overrightarrow{CF}=(0;-1;-1)$, $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CF}=-1\ne 0$ nên không vuông góc. D) $\overrightarrow{BC}=(0;1;0)$, $\overrightarrow{EH}=(0;1;0)$ song song nên không vuông góc. Vậy chỉ cặp $AC$ và $HF$ vuông góc, khớp đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.EFGH$ (đáy $EFGH$ với $E,F,G,H$ lần lượt dưới $A,B,C,D$): $AC$ là đường chéo mặt trên, $HF$ là đường chéo mặt dưới. Vì $HF\parallel DB$ (do $HE\parallel DF$... chính xác là $HF$ song song với $DB$ vì $H$ dưới $D$, $F$ dưới $B$) và trong hình vuông $ABCD$ ta có $AC\perp DB$, suy ra $AC\perp HF$. Các đáp án khác: $BC$ và $EH$ chéo nhau không vuông góc; $AC$ và $CF$ chéo nhau, góc không bằng $90^{\circ }$; $AB\parallel CD$ nên không vuông góc. Đáp án khớp với mã đề 2102: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $CD\parallel AB$. Suy ra góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ bằng góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AB$, tức là góc $\widehat{SBA}$ (góc tại đỉnh $B$ của tam giác $SBA$, là góc nhọn). Vậy đáp án là $\widehat{SBA}$, khớp với đáp án nguồn (D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC\parallel AD$. Do đó góc giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$ bằng góc giữa $SD$ và $AD$, tức là góc $\widehat{SDA}$ (góc nhọn tạo bởi $SD$ và $DA$ tại đỉnh $D$). Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, xét mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$. Mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha )$ và đi qua $A$ đều vuông góc với $\Delta$ (vì chúng vuông góc với mọi đường thẳng của $(\alpha )$, nói riêng vuông góc với $\Delta$). Trong mặt phẳng $(\alpha )$, qua $A$ có vô số đường thẳng. Vậy qua $A$ có vô số đường thẳng vuông góc với $\Delta$. Đáp án khớp với bảng đáp án của đề (mã đề 0102, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, xét mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$. Mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha )$ và đi qua $A$ đều vuông góc với $\Delta$ (vì chúng vuông góc với mọi đường thẳng của $(\alpha )$, nói riêng vuông góc với $\Delta$). Trong mặt phẳng $(\alpha )$, qua $A$ có vô số đường thẳng. Vậy qua $A$ có vô số đường thẳng vuông góc với $\Delta$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ (do $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình vuông). Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $AB$ và $BC$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp BC$, do đó góc giữa $AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ (do $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình vuông). Mà $AB\perp BC$ (vì $ABCD$ là hình vuông), suy ra $AB\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ (vì $B^{\prime }{C}^{\prime }$ song song với $BC$ qua tính song song của các cạnh trong hình lập phương). Do đó góc giữa $AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $AB$ và $BC$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp BC$, suy ra góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ (do $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình vuông). Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $AB$ và $BC$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp BC$, do đó góc giữa $AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, do tính chất lăng trụ, $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ nên $B^{\prime }{A}^{\prime }\parallel AB$. Do đó góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $BC$ và $B^{\prime }{A}^{\prime }$ bằng góc giữa $BC$ và $AB$, tức là góc giữa $BC$ và $BA$ (cùng đỉnh $B$). Vậy đáp án A, khớp với đáp án mã đề 1002 (câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, ta có $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }=C{C}^{\prime }$ nên tứ giác $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành, suy ra $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$. Do đó góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $AC$, tức là góc $BAC$ trong mặt đáy. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, $ABCD$ là hình vuông nên $AD\perp CD$. Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }\perp AD$. Do đó $AD$ vuông góc với cả $CD$ và $A{A}^{\prime }$, đồng thời cắt $CD$ tại $D$ và cắt $A{A}^{\prime }$ tại $A$, nên $AD$ là đường vuông góc chung của $CD$ và $A{A}^{\prime }$. Các phương án khác: $BC\parallel CD$ (không cắt), $B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ (không cắt), $CD$ trùng với một đường đã cho. Kết quả khớp đáp án nguồn (đề 102, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $ABCD$ là hình vuông nên $BC\perp AB$. Ngoài ra $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $C{C}^{\prime }\perp BC$. Như vậy $BC$ vuông góc với cả $AB$ và $C{C}^{\prime }$, đồng thời $BC$ cắt $AB$ tại $B$ và cắt $C{C}^{\prime }$ tại $C$, nên $BC$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $AB$ và $C{C}^{\prime }$. Các phương án khác: $AD$ song song với $BC$ nên cũng vuông góc với cả hai đường nhưng không cắt chúng (không phải đường vuông góc chung); $B{B}^{\prime }$ song song với $C{C}^{\prime }$; $CD$ vuông góc với $C{C}^{\prime }$ nhưng không vuông góc với $AB$ (vì $CD\parallel AB$). Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $C{C}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ nên góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }$. Tam giác $AB{B}^{\prime }$ vuông tại $B$ với $AB=B{B}^{\prime }$ (cạnh hình lập phương) nên vuông cân, do đó $\widehat{A{B}^{\prime }B}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$, khớp đáp án nguồn (Mã đề 0102, Câu 4: 45).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $C{C}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$. Do đó góc giữa hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }$. Xét mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là hình vuông, đường chéo $A{B}^{\prime }$ tạo với cạnh $B{B}^{\prime }$ một góc bằng $45^{\circ }$ (vì tam giác $AB{B}^{\prime }$ vuông cân tại $B$ có $AB=B{B}^{\prime }$). Vậy góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn ở trang 5 (bảng PHẦN III, Mã đề 0101, Câu 3 = 45).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $DA{A}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}$. Do đó góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}$ bằng góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DA}$. Trong hình vuông $ABCD$, $\widehat{DAC}=45^{\circ }$; vì $\overrightarrow{DA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AD}$ nên góc giữa hai vecto bằng $180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.