Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc hai đường (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ (vì $B^{\prime }{D}^{\prime }$ là cạnh của mặt trên song song với $BD$ là cạnh của mặt đáy). Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $AC\perp BD$. Do đó $AC\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$, tức góc giữa $AC$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $CD\parallel AB$ nên góc giữa $SB$ và $CD$ bằng góc giữa $SB$ và $AB$, tức là góc $\widehat{SBA}$ trong tam giác $SAB$. Tam giác $SAB$ có $SA=SB=130$, $AB=100$. Định lí cosin: $\cos \widehat{SBA}=\frac{S{B}^2+A{B}^2-S{A}^2}{2\cdot SB\cdot AB}=\frac{130^2+100^2-130^2}{2\cdot 130\cdot 100}=\frac{10000}{26000}=\frac{5}{13}$. Vậy $a=5$, $b=13$, $P=a\cdot b=65$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 18: 65).

(AI giải đề cho tôi)
Vì các cạnh bên bằng nhau nên đỉnh S nằm trên đường vuông góc với đáy tại tâm O của hình vuông ABCD, với $SA=SB=SC=SD=219$ m và $AB=230$ m.

Góc giữa đường thẳng $SC$ và $AB$: do $AB\parallel CD$ nên góc này bằng góc giữa $SC$ và $CD$, tức là góc $\widehat{SCD}$ trong tam giác $SCD$ cân tại $S$ ($SC=SD=219$, $CD=230$).

Áp dụng định lí cosin:
$$\cos \widehat{SCD}=\frac{S{C}^2+C{D}^2-S{D}^2}{2\cdot SC\cdot CD}=\frac{219^2+230^2-219^2}{2\cdot 219\cdot 230}=\frac{230}{2\cdot 219}=\frac{115}{219}.$$

Kiểm tra phân số tối giản: $\gcd (115,219)=1$ (vì $219=3\cdot 73$, $115=5\cdot 23$). Vậy $a=115$, $b=219$ và $P=a-b=115-219=-104$.

Kết quả trùng với đáp án nguồn $-104$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.EFGH$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ của đáy vuông góc với nhau vì đáy $ABCD$ là hình vuông. Kiểm tra các phương án: $EH$ song song với $AC$ (không vuông góc); $AH$ không vuông góc với $AC$ (tam giác $ACH$ có $A{H}^2+C{H}^2\ne A{C}^2$... thực tế $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{AC}=A{B}^2\ne 0$); $EG$ song song với $AC$ (không vuông góc). Vậy đường thẳng vuông góc với $AC$ là $BD$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $CD\parallel BA$ (hai cạnh đối của hình vuông $ABCD$), góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $BA$. Tam giác $AB{A}^{\prime }$ vuông tại $A$ với $AB=A{A}^{\prime }$ (cạnh hình lập phương), nên tam giác $AB{A}^{\prime }$ vuông cân, góc $\widehat{AB{A}^{\prime }}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng $45^{\circ }$, khớp với đáp án A trong bảng mã đề 1101.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề trong không gian với 3 đường thẳng phân biệt $a$, $b$, $c$ và mặt phẳng $(P)$:

- A sai: Nếu $a\perp c$ và $b\perp c$ thì $a$ và $b$ có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau (trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba không bắt buộc song song như trong mặt phẳng).

- B đúng: Hai đường thẳng vuông góc là hai đường thẳng cắt nhau (hoặc chéo nhau) và có góc giữa bằng $90^{\circ }$. Do đó nếu $a\perp b$ thì $a$ và $b$ cắt nhau hoặc chéo nhau.

- C sai: Nếu $a\perp b$ và $b\perp c$ thì $a$ và $c$ có thể song song, cắt nhau, chéo nhau hoặc vuông góc — không kết luận được $a\perp c$.

- D sai: Nếu $a\perp c$ và $(P)\perp c$ thì $a$ có thể song song với $(P)$ hoặc nằm trong $(P)$, nên không chắc chắn $a\parallel (P)$.

Vậy mệnh đề đúng là B. Đối chiếu với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 4 = B) khớp hoàn toàn.

(AI giải đề cho tôi)
Hình $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các mặt là hình vuông nên là hình lập phương. Ta có $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ (vì $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ do $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BC$ và $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$, tứ giác $A^{\prime }BC{D}^{\prime }$... xét vectơ: $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\overrightarrow{D^{\prime }C}$). Do đó góc giữa $AC$ và $A^{\prime }B$ bằng góc giữa $AC$ và $D^{\prime }C$. Gọi cạnh hình lập phương là $a$, tam giác $AC{D}^{\prime }$ có $AC=C{D}^{\prime }=a\sqrt{2}$, $A{D}^{\prime }=a\sqrt{2}$, tức là tam giác đều, nên góc giữa $AC$ và $D^{\prime }C$ (tại $C$) bằng $60^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $A^{\prime }B$ bằng $60^{\circ }$, trùng với đáp án nguồn (đề 102, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp có tất cả các mặt là hình vuông nên là hình lập phương. Ta có $CD\parallel BA$, do đó góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $BA$. Trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là hình vuông, $B{A}^{\prime }$ là đường chéo nên góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $BA$ bằng $45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng $45^{\circ }$, trùng với đáp án nguồn (đề 101, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau (ví dụ hai cạnh của một góc vuông trong mặt phẳng) hoặc chéo nhau (ví dụ $B{B}^{\prime }$ vuông góc với $AC$ trong hình lập phương nhưng không có điểm chung). Do đó khẳng định A sai (chỉ đúng trong mặt phẳng), B sai (hai đường thẳng không có điểm chung có thể chéo nhau), D sai. Khẳng định C đúng, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cạnh $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$ vì $B{B}^{\prime }\perp AB$ và $B{B}^{\prime }\perp BC$. Mà $AC\subset (ABCD)$ nên $B{B}^{\prime }\perp AC$. Các đường $A{D}^{\prime }$, $A{C}^{\prime }$, $A{B}^{\prime }$ đều không vuông góc với $B{B}^{\prime }$ (chúng không nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ và không vuông góc với $B{B}^{\prime }$). Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Vì $AB=AC$ nên tam giác $ABC$ cân tại $A$, suy ra $AI\perp BC$. Vì $DB=DC$ nên tam giác $DBC$ cân tại $D$, suy ra $DI\perp BC$. Khi đó $BC\perp AI$ và $BC\perp DI$, với $AI,DI$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(AID)$, nên $BC\perp (AID)$. Mà $AD\subset (AID)$ nên $BC\perp AD$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $BC$ và $AD$ bằng $90^{\circ }$, khớp với đáp án nguồn 90.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ta có $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ (vì $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành). Do đó góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Xét mặt đáy trên $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình vuông, tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông cân tại $B^{\prime }$ với $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }$, nên $\widehat{C^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án B trong bảng đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, tập hợp các đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $d$ chính là các đường thẳng nằm trong mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$ (nếu $A\notin d$) hoặc mặt phẳng vuông góc với $d$ tại chân đường vuông góc hạ từ $A$ (nếu $A\in d$). Mặt phẳng này chứa vô số đường thẳng qua $A$, tất cả đều vuông góc với $d$. Vậy có vô số đường thẳng thỏa mãn. Đáp án khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AD\parallel BC$ nên góc giữa $SB$ và $AD$ bằng góc giữa $SB$ và $BC$, tức góc $△SBC$. Tam giác $SBC$ cân tại $S$ với $SB=SC=32,2$, $BC=34$. Đường cao từ $S$ xuống $BC$ cắt $BC$ tại trung điểm, nên $\cos \widehat{SBC}=\frac{BC/2}{SB}=\frac{17}{32,2}\approx 0,52795$, suy ra $\widehat{SBC}\approx 58,1^{\circ }\approx 58^{\circ }$. Khớp với đáp án 58.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc nhọn hoặc vuông, nên $0^{\circ }\le (m,n)\le 90^{\circ }$ (góc bằng $0^{\circ }$ khi hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, góc bằng $90^{\circ }$ khi hai đường thẳng vuông góc). Vậy khẳng định đúng là C, trùng với bảng đáp án chính thức mã đề 1102, trang 7. (Lời giải do AI giải đề cung cấp.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AD\parallel BC$ nên góc giữa $SB$ và $AD$ bằng góc giữa $SB$ và $BC$, tức là góc $SBC$ trong tam giác $SBC$ cân tại $S$ ($SB=SC=32,7$ m, $BC=34$ m). Gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $BM=17$ m và $SM\perp BC$. Do đó $\cos (\widehat{SBC})=\frac{BM}{SB}=\frac{17}{32,7}\approx 0,5199$, suy ra $\widehat{SBC}\approx 58,67^{\circ }\approx 59^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (59).

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian được định nghĩa trong khoảng $[0^{\circ },90^{\circ }]$: hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc bằng $0^{\circ }$, hai đường thẳng vuông góc thì góc bằng $90^{\circ }$. Do đó $0^{\circ }\le (a,b)\le 90^{\circ }$, khớp với đáp án A trong bảng hướng dẫn chấm (mã đề 1101, Câu 3 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SCD$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $SD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel CD$. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD\perp AD$. Do đó góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $AD$ bằng góc giữa $CD$ và $AD$, tức là $90^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CD\parallel AB$, do đó góc giữa $SB$ và $CD$ bằng góc giữa $SB$ và $AB$, tức là góc $\widehat{SBA}$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ (vì $SA\perp (ABC)\Rightarrow SA\perp AB$) và $SA=AB=a\sqrt{2}$ nên tam giác vuông cân, suy ra $\widehat{SBA}=45^{\circ }$. Vậy $a=45$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, Phần III câu 2: 45).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$ nên góc giữa $SB$ và $CD$ bằng góc giữa $SB$ và $AB$, tức là góc $\widehat{SBA}$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ (do $SA\perp (ABC)$) với $SA=AB=a\sqrt{2}$ nên vuông cân tại $A$, suy ra $\widehat{SBA}=45^{\circ }$. Vậy $a=45$, khớp đáp án nguồn (mã đề 101, Phần III câu 1: 45).