Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$. Trên đoạn $[-2;2]$, $f^{\prime }(x)=0$ khi $x=-1$ (nghiệm $x=3$ không thuộc đoạn). Tính giá trị: $f(-2)=-8-12+18+10=8$; $f(-1)=-1-3+9+10=15$; $f(2)=8-12-18+10=-12$. So sánh: $\max f(x)=f(-1)=15$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^3-27x+8$.
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-27$ — đúng.
b) $f^{\prime }(x)=0\iff 3x^2-27=0\iff x=\pm 3$, nên $S=\{-3;3\}$, không phải $S=\{3\}$ — sai.
c) $f(3)=27-81+8=-46$ — đúng.
d) Trên $[-4;4]$: $f(-4)=-64+108+8=52$, $f(3)=-46$, $f(4)=64-108+8=-36$. Giá trị lớn nhất là $f(-4)=52$, không phải $-46$ — sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (1a Đ, 1b S, 1c Đ, 1d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-27$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0\iff x=\pm 3$ nên $S=\{-3;3\}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(3)=27-81+8=-46$.
d) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $f(-4)=52$, $f(3)=-46$, $f(4)=-36$: GTLN trên $[-4;4]$ là $52$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^3-3x^2-9x+10$ trên $[-2;2]$. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$ (loại vì $3\notin [-2;2]$). Tính giá trị tại các điểm: $f(-2)=-8-12+18+10=8$; $f(-1)=-1-3+9+10=15$; $f(2)=8-12-18+10=-12$. Vậy ${\max }_{[-2;2]}f(x)=15$, đạt tại $x=-1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-21=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{7}$. Trên đoạn $[2;19]$ chỉ có $x=\sqrt{7}$. Tính $f(2)=8-42=-34$; $f(\sqrt{7})=7\sqrt{7}-21\sqrt{7}=-14\sqrt{7}\approx -37,04$; $f(19)=19^3-21\cdot 19=6859-399=6460$. So sánh, giá trị nhỏ nhất là $-14\sqrt{7}$ tại $x=\sqrt{7}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 2: hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$. Trên nhánh bên trái, tương ứng với khoảng $(-\infty ;-1)$, đồ thị đạt điểm cao nhất tại $x=-3$ với giá trị $y=-6$ (được đánh dấu bằng đường nét đứt trên hình). Trên khoảng mở $(-\infty ;-1)$, giá trị lớn nhất của hàm số là $-6$. Vậy đáp án đúng là C.

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+1$ (0,25 điểm).

$f^{\prime }(x)=0\iff 3x^2-4x+1=0\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{1}{3}\end{array}$ (0,25 điểm).

$f(-1)=-10;f(1)=-6;f(1/3)=-158/27$ (0,25 điểm).

Vậy $\underset{[-1;1]}{\max }f(x)=-\frac{158}{27}$ và $\underset{[-1;1]}{\min }f(x)=-10$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3+3x^2-9x+1$ trên $[0;4]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2+6x-9=3(x-1)(x+3)=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$; chỉ $x=1\in [0;4]$. Tính giá trị: $y(0)=1$; $y(1)=1+3-9+1=-4$; $y(4)=64+48-36+1=77$. So sánh: $M=77$ (tại $x=4$), $m=-4$ (tại $x=1$). Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 6: D).

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+1$ (0,25 điểm).

$f^{\prime }(x)=0\iff 3x^2-4x+1=0\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{1}{3}\end{array}$ (0,25 điểm).

$f(-1)=-10;f(1)=-6;f(1/3)=-158/27$ (0,25 điểm).

Vậy $\underset{[-1;1]}{\max }f(x)=-\frac{158}{27}$ và $\underset{[-1;1]}{\min }f(x)=-10$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3+3x^2-9x+1$ trên $[0;4]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$, nên $y^{\prime }=0\iff x=1$ (nhận, vì $x=-3$ ngoài đoạn). Tính giá trị: $f(0)=1$; $f(1)=1+3-9+1=-4$; $f(4)=64+48-36+1=77$. So sánh: $M=77$ (tại $x=4$), $m=-4$ (tại $x=1$). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có y' = 2^x ln 2 - 4 ln 2 = ln 2 (2^x - 4). Cho y' = 0 suy ra 2^x = 4, tức x = 2 ∈ [0;4]. Với x < 2 thì y' < 0, với x > 2 thì y' > 0, nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 2. Giá trị nhỏ nhất: y(2) = 2^2 - 4·2·ln 2 = 4 - 8 ln 2. Vậy a = 4, b = -8, do đó T = a + b = 4 - 8 = -4. Kết quả trùng với đáp án B trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $h(t)=-t^3+3t^2$ trên $[0;3]$. Ta có $h^{\prime }(t)=-3t^2+6t=-3t(t-2)$. Cho $h^{\prime }(t)=0$ được $t=0$ hoặc $t=2$. Trên $(0;2)$ có $h^{\prime }(t)>0$ (hàm đồng biến), trên $(2;3)$ có $h^{\prime }(t)<0$ (hàm nghịch biến), nên hàm đạt cực đại tại $t=2$. Tính giá trị tại các điểm: $h(0)=0$, $h(2)=-8+12=4$, $h(3)=-27+27=0$. Vậy ${\max }_{[0;3]}h(t)=h(2)=4$, tức $a=4$ (km). Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 4: 4).

Xét hàm số trên $\left[-3;2\right]$
Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff 3x^2-3=0\iff \{\begin{array}{l}x=1(n)\\ x=-1(n)\end{array}$
$f\left(-3\right)=-22;f\left(2\right)=-2;f\left(-1\right)=-2;f\left(1\right)=-6$
Vậy $\underset{\left[-3;2\right)}{\max }f\left(x\right)=-2$ khi $x=-1,x=2$ và $\underset{\left[-3;2\right)}{\min }f\left(x\right)=-22$ khi $x=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f(0)=5$, $f(2)=1$, $f(3)=4$. Trên đoạn $[0;3]$, hàm số đồng biến trên $(0;2)$, nghịch biến trên $(2;3)$, đồng biến đến $x=3$. So sánh giá trị tại các điểm tới hạn và hai đầu đoạn: $M=\max \{f(0),f(2),f(3)\}=\max \{5,1,4\}=5$; $m=\min \{5,1,4\}=1$. Vậy $M-m=5-1=4$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $T^{\prime }(x)=-10x+200$ ta có $T(x)=-5x^2+200x+C$. Vì $T(10)=1800$ (1,8 tỷ = 1800 triệu): $-5\cdot 100+2000+C=1800\Rightarrow C=300$. Hàm $T(x)=-5x^2+200x+300$ có đỉnh tại $x=-\frac{200}{2\cdot (-5)}=20$. Vậy doanh thu cao nhất khi $x=20$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-1;3]$: hàm số đạt giá trị lớn nhất $M=3$ (tại $x=3$) và giá trị nhỏ nhất $m=-2$ (tại $x=2$). Vậy $M-m=3-(-2)=5$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1702, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{2x+1}$ xác định trên $[0;1]$ vì $2x+1\ne 0$ với mọi $x\in [0;1]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+1)-(2x-2)}{(2x+1{)}^2}=\frac{3}{(2x+1{)}^2}>0$ nên hàm số đồng biến trên $[0;1]$. Do đó $\underset{[0;1]}{\min }y=y(0)=\frac{-1}{1}=-1$ và $\underset{[0;1]}{\max }y=y(1)=\frac{0}{3}=0$. Vậy khẳng định đúng là B: $\underset{[0;1]}{\max }y=0$. Các khẳng định A, C, D đều sai (min bằng $-1$, không phải $-\frac{1}{2}$ hay $\frac{1}{2}$; max bằng $0$, không phải $1$). Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1702, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{2x+1}$ xác định trên $[0;1]$ vì $2x+1\ne 0$ với mọi $x\in [0;1]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+1)-2(x-1)}{(2x+1{)}^2}=\frac{3}{(2x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\in [0;1]$, nên hàm số đồng biến trên $[0;1]$. Do đó $\underset{[0;1]}{\min }y=y(0)=\frac{-1}{1}=-1$ và $\underset{[0;1]}{\max }y=y(1)=\frac{0}{3}=0$. Vậy khẳng định đúng là $\underset{[0;1]}{\max }y=0$, tức đáp án A (khớp với đáp án nguồn, mã đề 1701, câu 10: A).

Đáp án: 300. Ta có: $f(x)=\frac{300x+50}{x},x\in {\mathbb{N}}^{\ast }\iff f(x)=300+\frac{50}{x}$. Thấy $f^{\prime }(x)=-\frac{50}{x^2}<0,\forall x\ne 0\Rightarrow$ Hàm số $f(x)$ luôn nghịch biến (giảm) trên mỗi khoảng xác định. Do đó chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm sẽ giảm khi số lượng sản phẩm tăng. Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(300+\frac{50}{x}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }300+\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{50}{x}=300$. Do đó chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm không thấp hơn 300 (nghìn đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3+1$ có $y^{\prime }=3x^2\ge 0$ với mọi $x$, nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ → a) Đúng. Trên đoạn $[0;4]$: $y(0)=1$, $y(4)=65$; do hàm đồng biến nên GTLN $=65\ne 28$ → b) Sai; GTNN $=1$ → c) Đúng. Trên đoạn $[-1;2]$: $y(-1)=0$, $y(2)=9$; do hàm đồng biến nên GTLN $=9$ → d) Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1114: ĐSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2\ge 0$ với mọi $x$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;4]$ hàm đồng biến nên GTLN $=y(4)=4^3+1=65\ne 28$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;4]$ hàm đồng biến nên GTNN $=y(0)=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;2]$ hàm đồng biến nên GTLN $=y(2)=8+1=9$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^2-3x$ có $y^{\prime }=2x-3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}\in [0;2]$. Tính $y(0)=0$, $y\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}=\frac{-9}{4}$, $y(2)=4-6=-2$. So sánh: giá trị nhỏ nhất là $\frac{-9}{4}$ tại $x=\frac{3}{2}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1114, câu 3: C).