Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Từ đồ thị, trên đoạn $[-2;2]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $3$ (tại $x=-1$ và $x=2$). Vậy chọn đáp án chứa giá trị $3$, tức phương án B. (Bảng đáp án chính thức, đề 0101, câu 8: B. Trong lời giải gốc in trên trang giải, phương án chứa giá trị 3 được ký hiệu là A do thứ tự phương án khác nhau giữa hai bản in.)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 (mã đề 102): a) Bán hết với giá 220 nghìn đồng/mét nên $B(x)=220x$ (nghìn đồng) — Đúng. b) $C(x)=x^3-3x^2-20x+500$ nên $C^{\prime }(x)=3x^2-6x-20$, không phải $3x^2-6x+20$ — Sai. c) $L(x)=B(x)-C(x)=-x^3+3x^2+240x-500$ trên $[1;18]$. $L^{\prime }(x)=-3x^2+6x+240=0\iff x=10$ (nhận, $x=-8$ loại). $L(10)=-1000+300+2400-500=1200$; so sánh $L(1)=-258$, $L(18)=-5824+972+4320-500=-1032$, nên lợi nhuận tối đa là 1.200 nghìn đồng — Đúng. d) $L(x)=220x-(x^3-3x^2-20x+500)=-x^3+3x^2+240x-500$ — Đúng. Kết quả Đ-S-Đ-Đ khớp đáp án mã đề 102 (DSDD).
a) Bán hết sản phẩm với giá 220 nghìn đồng/mét nên $B(x)=220x$ (nghìn đồng).
b) Vì $C(x)=x^3-3x^2-20x+500$ nên $C^{\prime }(x)=3x^2-6x-20$, mệnh đề sai.
c) $L(x)=-x^3+3x^2+240x-500$ trên $[1;18]$, $L^{\prime }(x)=-3x^2+6x+240=0\iff x=10$ (nhận) hoặc $x=-8$ (loại). Khi đó $L(10)=-1000+300+2400-500=1200$, lợi nhuận tối đa là 1.200 nghìn đồng, mệnh đề đúng.
d) $L(x)=B(x)-C(x)=220x-(x^3-3x^2-20x+500)=-x^3+3x^2+240x-500$ (nghìn đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí trung bình trên một giờ: $f(x)=\frac{C(x)}{T(x)}=\frac{x^2+108}{x+6}$ với $x>0$.

$f^{\prime }(x)=\frac{2x(x+6)-(x^2+108)}{(x+6{)}^2}=\frac{x^2+12x-108}{(x+6{)}^2}$.

Cho $f^{\prime }(x)=0$: $x^2+12x-108=0\Rightarrow x=6$ hoặc $x=-18$ (loại vì $x>0$).

Với $0<x<6$: $f^{\prime }(x)<0$; với $x>6$: $f^{\prime }(x)>0$, nên $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=6$ (dm). Khi đó $f(6)=\frac{36+108}{12}=12$ nghìn đồng/giờ. Kết quả trùng với đáp án nguồn (6).

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-5;7)$, hàm số giảm từ $f(-5)=6$ xuống $f(1)=2$ rồi tăng dần, tiến tới $9$ khi $x\to 7^{-}$ nhưng $x=7$ không thuộc tập xác định nên không đạt giá trị $9$. Do đó giá trị nhỏ nhất là $f(1)=2$ (đạt tại $x=1$), còn giá trị lớn nhất không tồn tại vì hàm tăng tiến tới $9$ nhưng không đạt. Vậy mệnh đề đúng là $\underset{[-5;7)}{\min }f(x)=2$, khớp đáp án A (mã đề 102, câu 3).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên $[-5;7)$: hàm số giảm từ $f(-5)=6$ xuống $f(1)=2$ rồi tăng dần, tiến tới 9 khi $x\to 7^{-}$ (không đạt được vì 7 không thuộc tập xác định). Do đó ${\min }_{[-5;7)}f(x)=2$ (đạt tại $x=1$) và ${\max }_{[-5;7)}f(x)$ không tồn tại vì giá trị 9 không đạt được. Vậy mệnh đề đúng là D, khớp với đáp án nguồn (Câu 12, Mã đề 101: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $C(x)=x^3-3x^2-20x+500$ nên $C^{\prime }(x)=3x^2-6x-20$, không phải $3x^2-6x+20$ (đạo hàm của $-20x$ là $-20$).
b) Đúng: $L(x)=B(x)-C(x)=-x^3+3x^2+240x-500$ trên $[1;18]$. $L^{\prime }(x)=-3x^2+6x+240=0\iff x=10$ (nhận, $x=-8$ loại). So sánh $L(10)=-1000+300+2400-500=1200$, $L(1)=-258$, $L(18)=-1040$ nên lợi nhuận tối đa là $1200$ nghìn đồng.
c) Đúng: bán $x$ mét với giá 220 nghìn đồng/mét nên $B(x)=220x$.
d) Đúng: $L(x)=220x-(x^3-3x^2-20x+500)=-x^3+3x^2+240x-500$.
Kết quả SDDD khớp bảng đáp án mã đề 101, câu 16.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai. $C^{\prime }(x)=3x^2-6x-20$, không phải $3x^2-6x+20$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng. $L^{\prime }(x)=-3x^2+6x+240=0$ cho $x=10$; $L(10)=1200$ lớn hơn $L(1)=-258$ và $L(18)=-1040$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng. $B(x)=220x$ (nghìn đồng).
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng. $L(x)=B(x)-C(x)=-x^3+3x^2+240x-500$.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí trung bình trên một giờ: $f(x)=\frac{C(x)}{T(x)}=\frac{x^2+108}{x+6}$ với $x>0$.

$f^{\prime }(x)=\frac{2x(x+6)-(x^2+108)}{(x+6{)}^2}=\frac{x^2+12x-108}{(x+6{)}^2}$.

Cho $f^{\prime }(x)=0$: $x^2+12x-108=0\Rightarrow x=6$ hoặc $x=-18$ (loại vì $x>0$).

Với $0<x<6$ thì $f^{\prime }(x)<0$, với $x>6$ thì $f^{\prime }(x)>0$, nên $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=6$. Khi đó $f(6)=\frac{36+108}{12}=12$ nghìn đồng/giờ.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 20, Mã đề 101: 6).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ,-1)$, nghịch biến trên $(-1,0)$, đồng biến trên $(0,1)$, nghịch biến trên $(1,+\infty )$; $f(-1)=f(1)=4$ (cực đại), $f(0)=3$ (cực tiểu), và $f(x)\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$. Vì hàm số không bị chặn dưới nên không có giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$ (loại A, B). Giá trị lớn nhất của hàm số là ${\max }_{\mathbb{R}}f(x)=4$ đạt tại $x=-1$ và $x=1$, nên mệnh đề C đúng; mệnh đề D sai vì không có giá trị $f=1$ là max. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-x+4}{x-1}=x+\frac{4}{x-1}$ với $x\in [2;9]$ (liên tục trên đoạn). Ta có $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff x=3$ (nằm trong đoạn). Giá trị tại các điểm then chốt: $y(2)=2+4=6$; $y(3)=3+\frac{4}{2}=5$ (đây là điểm cực tiểu); $y(9)=9+\frac{4}{8}=9,5$. So sánh: $\max \{6;5;9,5\}=9,5$, đạt tại $x=9$. Kết quả khớp đáp án nguồn 9,5.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số: $f(-1)=1$, hàm tăng đến điểm cực đại $f(0)=3$, sau đó giảm đến điểm cực tiểu $f(1)=-1$, rồi tăng lên $f\left(\frac{5}{2}\right)=4$. Trên đoạn $\left[-1;\frac{5}{2}\right]$, ta so sánh các giá trị: $f(-1)=1$, $f(0)=3$, $f(1)=-1$, $f\left(\frac{5}{2}\right)=4$. Giá trị nhỏ nhất là $f(1)=-1$. Khớp với đáp án C và bảng đáp án mã đề 0102 (câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy là $x>0$ và chiều cao là $h>0$. Diện tích toàn phần (không nắp): $x^2+4xh=300\Rightarrow h=\frac{300-x^2}{4x}$. Thể tích $V=x^{2}h=\frac{x(300-x^2)}{4}=75x-\frac{x^3}{4}$, với $0<x<\sqrt{300}$. Có $V^{\prime }(x)=75-\frac{3x^2}{4}$; $V^{\prime }(x)=0\Rightarrow x^2=100\Rightarrow x=10$. Với $0<x<10$ thì $V^{\prime }>0$, với $10<x<\sqrt{300}$ thì $V^{\prime }<0$, nên $V$ đạt max tại $x=10$. Khi đó $h=\frac{300-100}{4\cdot 10}=5$ (cm). Khớp với đáp án nguồn là 5.

(AI giải đề cho tôi)
h(x)=12x−x² có h'(x)=12−2x=0 ⇒ x=6 thuộc [2;8]. h(6)=36, h(2)=20, h(8)=32, nên GTLN tại x=6, tức thứ 6. Khớp đáp án nguồn (cột 5 = 6).

(AI giải đề cho tôi)
$H(x)=\frac{C(x)}{x}=3+\frac{50}{x}$ với $x>0$. Vì $\frac{50}{x}>0$ nên $H(x)>3$ với mọi $x$, và khi $x\to +\infty$ thì $H(x)\to 3$. Do đó chi phí trung bình không bao giờ thấp hơn 3 triệu đồng (giá trị giới hạn nhỏ nhất là 3, đạt gần đúng khi $x$ lớn). Vậy chi phí trung bình tối thiểu để sản xuất mỗi sản phẩm không thấp hơn 3 triệu đồng, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến rồi nghịch biến trên các khoảng, đạt giá trị lớn nhất $f(-1)=f(1)=4$ (hai điểm cực đại), giá trị cực tiểu $f(0)=3$, và khi $x\to \pm \infty$ thì $f(x)\to -\infty$. Do đó $\underset{\mathbb{R}}{\mathrm{Max}}f(x)=4$ (đạt tại $x=\pm 1$), còn $\underset{\mathbb{R}}{\mathrm{Min}}f(x)$ không tồn tại vì hàm số giảm vô hạn. Vậy đáp án đúng là A, khớp với đáp án nguồn (đề 0101, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
$H(x)=\frac{C(x)}{x}=3+\frac{50}{x}>3$ với mọi $x>0$, và $H(x)$ tiến tới $3$ khi $x$ tiến tới vô cùng, nên giá trị nhỏ nhất (cận dưới) của chi phí trung bình là $3$ triệu đồng. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 1 = 3).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $\left[-1;\frac{5}{2}\right]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $4$ (tại $x=\frac{5}{2}$) và giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ (tại điểm cực tiểu với $f(x)=-1$). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đã cho là $-1$, khớp với đáp án A (mã đề 0101 câu 2 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-x+4}{x-1}=x+\frac{4}{x-1}$ với $x\in [2;9]$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}$. Trên đoạn $[2;9]$: $y^{\prime }<0$ khi $2\le x<3$, $y^{\prime }=0$ tại $x=3$, $y^{\prime }>0$ khi $3<x\le 9$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ với $y(3)=3+\frac{4}{2}=5$. So sánh giá trị tại hai đầu đoạn và điểm tới hạn: $y(2)=2+4=6$; $y(9)=9+\frac{4}{8}=9,5$; $y(3)=5$. Giá trị lớn nhất trên đoạn $[2;9]$ là $9,5$ (đạt tại $x=9$), khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy là $x>0$, chiều cao $h>0$. Diện tích toàn phần (không nắp): $x^2+4xh=300\Rightarrow h=\frac{300-x^2}{4x}$ với $0<x<\sqrt{300}$. Thể tích $V=x^{2}h=\frac{300x-x^3}{4}$. Có $V^{\prime }(x)=\frac{300-3x^2}{4}=0\Rightarrow x=10$ (chỉ nhận $x=10$ vì $x>0$). $V^{\prime }(x)>0$ khi $x<10$ và $V^{\prime }(x)<0$ khi $x>10$ nên $V$ đạt max tại $x=10$. Khi đó $h=\frac{300-100}{40}=5$ cm. Khớp với đáp án nguồn là 5.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ xác định trên $[0;3]$ vì $x+1\ne 0$ với mọi $x\in [0;3]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\in [0;3]$, nên hàm số đồng biến trên đoạn $[0;3]$. Do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=0$: $y(0)=\frac{0-1}{0+1}=-1$. Vậy $\underset{[0;3]}{\min }y=-1$, khớp với đáp án B (bảng đáp án mã đề 0122, câu 11 là B).