Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng đáy là $x$ (dm), chiều dài $3x$, chiều cao $h=\frac{1152}{3x^2}=\frac{384}{x^2}$ (dm). Diện tích bể không nắp: $S=3x^2+2(3x)h+2xh=3x^2+\frac{3072}{x}$ (dm²). Xét $f(x)=3x^2+\frac{3072}{x}$, $f^{\prime }(x)=6x-\frac{3072}{x^2}=0\Rightarrow x^3=512\Rightarrow x=8$. $f(8)=192+384=576d{m}^2=5,76m^2$. Chi phí $=5,76\times 400000=2304000$ đồng $=2,304$ triệu đồng $\approx 2,30$ triệu đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2,30.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=x^4-2x^2+3$ trên đoạn $[-4;0]$.

Ta có $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$.

Trên đoạn $[-4;0]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=-1$ hoặc $x=0$ (nghiệm $x=1$ không thuộc đoạn).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm $x=-4;x=-1;x=0$:
- $y(-4)=(-4{)}^4-2(-4{)}^2+3=256-32+3=227$
- $y(-1)=(-1{)}^4-2(-1{)}^2+3=1-2+3=2$
- $y(0)=0-0+3=3$

So sánh: ${\max }_{[-4;0]}y=227$ đạt tại $x=-4$; ${\min }_{[-4;0]}y=2$ đạt tại $x=-1$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-4;0]$ là $227$ và giá trị nhỏ nhất là $2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{3x-1}{x-3}$ xác định trên $[0;2]$ vì $x=3\notin [0;2]$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{3(x-3)-(3x-1)}{(x-3{)}^2}=\frac{-8}{(x-3{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 3$, nên hàm số nghịch biến trên $[0;2]$. Do đó giá trị lớn nhất đạt tại $x=0$: $M=f(0)=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}$; giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=2$: $m=f(2)=\frac{6-1}{2-3}=-5$. Vậy $M=\frac{1}{3};m=-5$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $C(t)=\frac{t}{t^2+1}$ với $t\ge 0$. Ta có $C^{\prime }(t)=\frac{(t^2+1)-t\cdot 2t}{(t^2+1{)}^2}=\frac{1-t^2}{(t^2+1{)}^2}$. Cho $C^{\prime }(t)=0\Rightarrow t=1$ (nhận vì $t\ge 0$). Với $0\le t<1$ thì $C^{\prime }(t)>0$, với $t>1$ thì $C^{\prime }(t)<0$, nên $C(t)$ đạt cực đại (và là GTLN) tại $t=1$. Khi đó $C(1)=\frac{1}{2}=0,5$ (mg/l). Vậy nồng độ thuốc cao nhất là $0,5$ mg/l, khớp với đáp án nguồn 0,5.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số máy ($x$ nguyên dương). Thời gian sản xuất: $t=\frac{8000}{30x}$ giờ. Tổng chi phí (nghìn đồng): $f(x)=200x+192\cdot \frac{8000}{30x}=200x+\frac{51200}{x}$. Ta có $f^{\prime }(x)=200-\frac{51200}{x^2}=0\Rightarrow x^2=256\Rightarrow x=16$ (nhận vì $x>0$). Với $x<16$ thì $f^{\prime }(x)<0$, với $x>16$ thì $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đạt nhỏ nhất tại $x=16$. Vậy công ty cần dùng 16 máy, trùng với đáp án nguồn (16).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $h(t)=5+39,2t-4,9t^2$ với $t\ge 0$. Ta có $h^{\prime }(t)=39,2-9,8t$. Cho $h^{\prime }(t)=0$ suy ra $t=4$ (giây). Vì $h^{\prime \prime }(t)=-9,8<0$ nên hàm đạt cực đại (và là GTLN trên miền xét) tại $t=4$. Khi đó $h(4)=5+39,2\cdot 4-4,9\cdot 16=5+156,8-78,4=83,4$ (mét). Vậy độ cao lớn nhất là $83,4$ m, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chiều rộng đáy $x$ (dm), chiều dài $3x$, chiều cao $h$. Thể tích: $3x^{2}h=1152\Rightarrow h=\frac{384}{x^2}$. Diện tích bể không nắp: đáy $3x^2$, mặt xung quanh $2(3x+x)h=8xh$, nên $S(x)=3x^2+\frac{3072}{x}$ (dm²), $x>0$. $S^{\prime }(x)=6x-\frac{3072}{x^2}=0\Rightarrow x^3=512\Rightarrow x=8$. Khi đó $S=3\cdot 64+\frac{3072}{8}=576$ dm² $=5,76$ m². Chi phí thấp nhất: $5,76\times 400000=2304000$ đồng $=2,304$ triệu đồng $\approx 2,30$ triệu đồng. Khớp với đáp án nguồn 2,30.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^4-2x^2+3$ trên $[-4;0]$. Ta có $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$. Trên $[-4;0]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=-1$ hoặc $x=0$. Tính giá trị hàm số tại các điểm $x=-4$, $x=-1$, $x=0$: $y(-4)=256-32+3=227$; $y(-1)=1-2+3=2$; $y(0)=3$. So sánh: giá trị lớn nhất là $227$ tại $x=-4$; giá trị nhỏ nhất là $2$ tại $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số bậc bốn dạng chữ W: hai điểm cực tiểu tại $x=\pm 1$ với giá trị $-2$, điểm cực đại tại $x=0$ với giá trị $-1$. Trên nửa khoảng $[0;+\infty )$, hàm số giảm từ $f(0)=-1$ xuống đạt cực tiểu $f(1)=-2$ rồi tăng lên $+\infty$ khi $x\to +\infty$. So sánh các giá trị: $f(0)=-1$, $f(1)=-2$, và hàm tăng vô hạn về sau, nên giá trị nhỏ nhất trên $[0;+\infty )$ là $-2$. Khớp với đáp án B (bảng mã đề 0211, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[0;3]$: hàm số đạt giá trị lớn nhất $M=1$ tại $x=1$ (điểm cao nhất của đồ thị) và giá trị nhỏ nhất $m=-3$ tại $x=3$ (điểm thấp nhất, đầu mút phải của đồ thị). Do đó $2M+m=2\cdot 1+(-3)=-1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, nghịch biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$; $f(-1)=5$, $f(0)=2$, $f(1)=3$, và $f(x)\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$.
a) Trên $\mathbb{R}$, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=-1$ với ${\max }_{x\in \mathbb{R}}f(x)=f(-1)=5$ (vì hai đầu $f\to -\infty$). Khẳng định ĐÚNG.
b) Trên $\mathbb{R}$, vì $f(x)\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$ nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất; do đó ${\min }_{x\in \mathbb{R}}f(x)=2$ là SAI (2 chỉ là cực tiểu tại $x=0$).
c) Trên $[-1;1]$: hàm nghịch biến từ $-1$ đến $0$ rồi đồng biến từ $0$ đến $1$, nên ${\max }_{[-1;1]}f=f(-1)=5$, ${\min }_{[-1;1]}f=f(0)=2$; tổng $5+2=7$. Khẳng định ĐÚNG.
d) Trên $[3;10]\subset (1;+\infty )$ hàm số nghịch biến nên GTLN đạt tại $x=3$, tức ${\max }_{[3;10]}f=f(3)>f(10)$. Khẳng định SAI.
Kết quả khớp với đáp án mã đề 102: a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt GTLN tại $x=-1$ với giá trị $5$, vì $f\to -\infty$ ở hai đầu.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$ nên hàm không có GTLN trên $\mathbb{R}$; $2$ chỉ là giá trị cực tiểu.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;1]$: $\max f=f(-1)=5$, $\min f=f(0)=2$, tổng bằng $7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[3;10]$ hàm nghịch biến nên GTLN là $f(3)$, không phải $f(10)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=S^{\prime }(t)=12t-3t^2$. Xét $v(t)=-3t^2+12t$ trên $t\ge 0$: hàm bậc hai với $a=-3<0$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=-\frac{12}{2(-3)}=2$. Khi đó $v(2)=12$ m/s. Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất tại $t=2$ giây, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 1: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-2x^2-4x+5$ trên $[1;3]$. $y^{\prime }=3x^2-4x-4=0\Rightarrow x=2$ hoặc $x=-2/3$ (loại vì ngoài đoạn). Tính: $y(1)=1-2-4+5=0$; $y(2)=8-8-8+5=-3$; $y(3)=27-18-12+5=2$. Vậy $M=2$, $m=-3$, nên $8M-m=8\cdot 2-(-3)=19$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 2 = 19).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $MC=x$ với $0\le x\le 9$, khi đó $AM=9-x$ và $MB=\sqrt{x^2+6^2}$. Chi phí: $f(x)=50(9-x)+130\sqrt{x^2+36}$. $f^{\prime }(x)=-50+\frac{130x}{\sqrt{x^2+36}}=0\Rightarrow 130x=50\sqrt{x^2+36}\Rightarrow 16900x^2=2500(x^2+36)\Rightarrow 14400x^2=90000\Rightarrow x=2,5$ km. Khi đó $MB=\sqrt{6,25+36}=\sqrt{42,25}=6,5$ km, $AM=6,5$ km. Chi phí nhỏ nhất: $f(2,5)=50\cdot 6,5+130\cdot 6,5=325+845=1170$ nghìn USD. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1170.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (nghìn đồng) là mức tăng giá so với 30 nghìn đồng ($x\ge 0$). Khi đó giá bán mới là $30+x$ nghìn đồng, số khăn bán được mỗi tháng là $3000-100x$ chiếc, lợi nhuận trên mỗi chiếc là $(30+x)-18=12+x$ nghìn đồng. Lợi nhuận mỗi tháng: $L(x)=(12+x)(3000-100x)=100(12+x)(30-x)=-100x^2+1800x+36000$. Hàm số bậc hai với $a=-100<0$ đạt GTLN tại $x=\frac{1800}{200}=9$. Khi đó giá bán mới là $30+9=39$ nghìn đồng, lợi nhuận lớn nhất $L(9)=100\cdot 21\cdot 21=44100$ nghìn đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn 39.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$. Tính giá trị trên đoạn $[-3;3]$: $f(-3)=(-3{)}^3-3(-3)=-27+9=-18$; $f(-1)=-1+3=2$; $f(1)=1-3=-2$; $f(3)=27-9=18$. So sánh, giá trị nhỏ nhất là $-18$ tại $x=-3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, nghịch biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$; $f(-1)=5$, $f(0)=2$, $f(1)=3$, và $f(x)\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$.
a) Đúng. Trên tập xác định $\mathbb{R}$, giá trị lớn nhất đạt tại $x=-1$ với $\max f(x)=f(-1)=5$ (các nhánh ngoài tiến về $-\infty$ nên không vượt quá 5).
b) Sai. Trên $\mathbb{R}$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất vì $f(x)\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$; giá trị $2$ chỉ là giá trị nhỏ nhất cục bộ (cực tiểu) tại $x=0$.
c) Đúng. Trên $[-1;1]$: hàm nghịch biến từ $-1$ đến $0$ rồi đồng biến từ $0$ đến $1$, nên ${\min }_{[-1;1]}f(x)=f(0)=2$, ${\max }_{[-1;1]}f(x)=f(-1)=5$ (vì $5>3$). Tổng $=5+2=7$.
d) Sai. Trên $[3;10]$, hàm số nghịch biến (vì $3>1$ nằm trên khoảng nghịch biến $(1;+\infty )$), nên GTLN đạt tại $x=3$, tức là $f(3)$, không phải $f(10)$; $f(10)$ là giá trị nhỏ nhất trên đoạn này.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt GTLN tại $x=-1$ với $f(-1)=5$; các nhánh ngoài tiến về $-\infty$ nên không vượt quá 5.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $\mathbb{R}$ hàm số không có GTNN vì $f(x)\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$; $2$ chỉ là giá trị cực tiểu tại $x=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;1]$: $\max f=f(-1)=5$, $\min f=f(0)=2$, tổng bằng $7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[3;10]$ hàm nghịch biến nên GTLN là $f(3)$, không phải $f(10)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $MC=x$ với $0\le x\le 9$. Khi đó $AM=9-x$ và $MB=\sqrt{x^2+6^2}$. Chi phí: $f(x)=50(9-x)+130\sqrt{x^2+36}$. $f^{\prime }(x)=-50+\frac{130x}{\sqrt{x^2+36}}=0\Rightarrow 130x=50\sqrt{x^2+36}\Rightarrow 169x^2=25(x^2+36)\Rightarrow 144x^2=900\Rightarrow x=2,5$ (thỏa $[0;9]$). Kiểm tra: $f(0)=450+780=1230$, $f(9)=130\sqrt{117}\approx 1405,6$, $f(2,5)=50\cdot 6,5+130\cdot 6,5=325+845=1170$. Vậy chi phí thấp nhất là $1170$ nghìn USD, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (nghìn đồng) là mức tăng giá so với 30 nghìn đồng ($x\ge 0$). Khi đó giá bán mới là $30+x$ nghìn đồng, số khăn bán được mỗi tháng là $3000-100x$ chiếc (với $0\le x\le 30$). Lợi nhuận trên mỗi chiếc là $(30+x)-18=(12+x)$ nghìn đồng. Tổng lợi nhuận: $$P(x)=(12+x)(3000-100x)=100(12+x)(30-x).$$ Hàm $f(x)=(12+x)(30-x)=-x^2+18x+360$ có đỉnh tại $x=\frac{18}{2}=9$. Vậy giá bán mới là $30+9=39$ nghìn đồng, lợi nhuận lớn nhất $P(9)=21\cdot 2100=44100$ nghìn đồng. Kết quả trùng với đáp án nguồn: 39.