Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-2x^2-4x+5$ trên $[1;3]$. Có $y^{\prime }=3x^2-4x-4=0\iff x=2$ hoặc $x=-2/3$; trên $[1;3]$ chỉ có $x=2$. Tính: $y(1)=1-2-4+5=0$; $y(2)=8-8-8+5=-3$; $y(3)=27-18-12+5=2$. Vậy $M=2$, $m=-3$, do đó $8M-m=8\cdot 2-(-3)=19$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (19).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[0;3]$: hàm số đạt giá trị lớn nhất $M=1$ (tại $x=1$) và giá trị nhỏ nhất $m=-3$ (tại $x=3$). Do đó $2M+m=2\cdot 1+(-3)=-1$. Vậy chọn đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. Tính giá trị: $f(-3)=-27+9=-18$, $f(3)=27-9=18$, $f(-1)=-1+3=2$, $f(1)=1-3=-2$. So sánh trên đoạn $[-3;3]$: giá trị nhỏ nhất là $-18$ tại $x=-3$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $v(t)=-3t^2+18t+2$ trên $t\ge 0$. Có $v^{\prime }(t)=-6t+18$; $v^{\prime }(t)=0\iff t=3$. Với $0\le t<3$ thì $v^{\prime }(t)>0$ (hàm đồng biến), với $t>3$ thì $v^{\prime }(t)<0$ (hàm nghịch biến), nên $v(t)$ đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất) tại $t=3$ giây, với $v(3)=-27+54+2=29$. Vậy sau 3 giây chất điểm đạt vận tốc lớn nhất. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 102, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số lần tăng giá 100.000 đồng/tháng (x là số nguyên, $0\le x\le 40$). Khi đó giá cho thuê mỗi căn là $p=3+0,1x$ (triệu đồng) và số căn hộ cho thuê được là $120-3x$. Doanh thu (lợi nhuận) mỗi tháng: $$T(x)=(3+0,1x)(120-3x)=360+3x-0,3x^2.$$ Hàm số $T(x)$ là parabol bậc hai với hệ số $a=-0,3<0$ nên đạt max tại $x=\frac{-3}{2(-0,3)}=5$. Khi đó giá cho thuê là $p=3+0,1\cdot 5=3,5$ triệu đồng, số căn cho thuê $120-15=105$, doanh thu $T=3,5\cdot 105=367,5$ triệu đồng/tháng (lớn hơn $360$ khi không tăng giá). Vậy công ty nên cho thuê với giá $3,5$ triệu đồng mỗi căn mỗi tháng, khớp với đáp án đề 102: 3,5.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-1;5]$, giá trị lớn nhất của $f(x)$ là $\max f=3$ (đạt tại điểm cao nhất của đồ thị) và giá trị nhỏ nhất là $\min f=-2$ (đạt tại điểm thấp nhất, gần $x=2$). Hiệu $\max f-\min f=3-(-2)=5$. Kết quả khớp với đáp án A và với bảng đáp án (mã đề 102, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng là $x$ (m), chiều dài $2x$, chiều cao $h$ (m), với $x>0$, $h>0$. Diện tích kính (không nắp): đáy $2x^2$ cộng 4 mặt bên $2(2xh)+2(xh)=6xh$, nên $2x^2+6xh=5\Rightarrow h=\frac{5-2x^2}{6x}$, điều kiện $0<x<\sqrt{5/2}$.

Dung tích: $V=2x^{2}h=2x^2\cdot \frac{5-2x^2}{6x}=\frac{x(5-2x^2)}{3}=\frac{5x-2x^3}{3}$.

$V^{\prime }(x)=\frac{5-6x^2}{3}=0\Rightarrow x=\sqrt{\frac{5}{6}}$ (thỏa điều kiện). Với $0<x<\sqrt{5/6}$ thì $V^{\prime }>0$, với $x>\sqrt{5/6}$ thì $V^{\prime }<0$, nên $V$ đạt max tại $x=\sqrt{5/6}$.

$V_{\max }=\frac{\sqrt{5/6}(5-2\cdot 5/6)}{3}=\frac{10}{9}\sqrt{\frac{5}{6}}\approx 1,0143\approx 1,01m^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Tấm nhôm hình vuông cạnh 3 dm, cắt bốn góc các hình vuông cạnh x, gập lại được hộp không nắp có đáy hình vuông cạnh (3−2x) và chiều cao x, với điều kiện 0<x<3/2. Thể tích: V(x)=x(3−2x)²=4x³−12x²+9x. Ta có V'(x)=12x²−24x+9=0 ⟺ 4x²−8x+3=0 ⟺ x=1/2 hoặc x=3/2 (loại vì x<3/2). Trên (0;3/2), V'(x)>0 khi x<1/2 và V'(x)<0 khi x>1/2, nên V đạt giá trị lớn nhất tại x=1/2: V_max=(1/2)(3−1)²=2 (dm³). Kết quả trùng với đáp án nguồn là 2.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x^4-8x^2+16=(x^2-4{)}^2$. $f^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$. Trên đoạn $[-1;3]$, các điểm tới hạn là $x=0$ và $x=2$. Tính: $f(-1)=1-8+16=9$; $f(0)=16$; $f(2)=16-32+16=0$; $f(3)=81-72+16=25$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $0$, đạt tại $x=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$. Trên đoạn $[-1;3]$, $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0$ và $x=2$. Tính giá trị: $f(-1)=1-8+16=9$; $f(0)=16$; $f(2)=16-32+16=0$; $f(3)=81-72+16=25$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $0$ tại $x=2$, khớp với đáp án A (đáp án của đề 101, câu 10 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị tốc độ trên đoạn đường 3 km, giá trị lớn nhất của tốc độ là đỉnh cao nhất của đồ thị, ứng với đường nét đứt $y=160$ (km/h). Giá trị nhỏ nhất là 70 km/h và 130 km/h chỉ là các mức trung gian. Vậy tốc độ lớn nhất là 160 km/h, khớp đáp án A và bảng đáp án đề 101 (câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tấm nhôm hình vuông cạnh 3 dm, cắt bốn góc các hình vuông cạnh x (0 < x < 1,5). Khi gập lại, đáy hộp là hình vuông cạnh (3 − 2x) dm, chiều cao x dm, nên thể tích: V(x) = x(3 − 2x)^2. Xét hàm số trên (0; 1,5): V'(x) = (3 − 2x)^2 + x·2(3 − 2x)(−2) = (3 − 2x)(3 − 6x). V'(x) = 0 khi x = 1/2 (x = 3/2 loại vì ngoài miền). Trên (0; 1/2) có V' > 0, trên (1/2; 1,5) có V' < 0, nên V đạt giá trị lớn nhất tại x = 1/2: V_max = (1/2)(3 − 1)^2 = (1/2)·4 = 2 dm^3. Kết quả khớp với đáp án nguồn là 2.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng là $x$ (m), chiều dài $2x$, chiều cao $h$. Diện tích kính: đáy $2x^2$ cộng 4 mặt bên $2(2xh)+2(xh)=6xh$, nên $2x^2+6xh=5\Rightarrow h=\frac{5-2x^2}{6x}$ với $0<x<\sqrt{5/2}$.

Dung tích: $V=2x^{2}h=\frac{x(5-2x^2)}{3}=\frac{5x-2x^3}{3}$.

$V^{\prime }=\frac{5-6x^2}{3}=0\Rightarrow x^2=\frac{5}{6}$, tức $x=\sqrt{5/6}\approx 0,9129$. Vì $V^{\prime }>0$ khi $x<\sqrt{5/6}$ và $V^{\prime }<0$ khi $x>\sqrt{5/6}$ nên đây là max.

$V_{\max }=\frac{10x}{9}=\frac{10}{9}\sqrt{\frac{5}{6}}\approx 1,0143\approx 1,01m^3$. Khớp với đáp án đề cho 1,01.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số lần tăng giá 100.000 đồng/tháng ($x\ge 0$, nguyên). Giá thuê mỗi căn là $3+0.1x$ (triệu đồng), số căn cho thuê được là $120-3x$ (cần $0\le x\le 40$). Tổng doanh thu: $$f(x)=(3+0.1x)(120-3x)=360+3x-0.3x^2.$$ $f^{\prime }(x)=3-0.6x=0\Rightarrow x=5$ (thỏa mãn), $f^{\prime \prime }(x)=-0.6<0$ nên $f$ đạt max tại $x=5$. Giá cho thuê tối ưu: $3+0.1\cdot 5=3,5$ triệu đồng (doanh thu $3,5\times 105=367,5$ triệu đồng/tháng). Kết quả khớp với đáp án nguồn 3,5.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-1;5]$, giá trị lớn nhất của $f(x)$ là $\max f=f(4)=3$ và giá trị nhỏ nhất là $\min f=f(2)=-2$. Hiệu $\max f-\min f=3-(-2)=5$. Khớp với đáp án B.

Đs: 203

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-x^3+150x^2$ trên $[0;200]$. Có $y^{\prime }=-3x^2+300x=-3x(x-100)$, $y^{\prime }=0$ khi $x=0$ hoặc $x=100$. Trên $(0;100)$: $y^{\prime }>0$; trên $(100;200)$: $y^{\prime }<0$, nên hàm số đạt cực đại (và giá trị lớn nhất trên đoạn) tại $x=100$ với $y(100)=-10^6+150\cdot 10^4=500000$ đồng (so sánh $y(0)=0$, $y(200)=-2000000$). Vậy doanh nghiệp cần sản xuất 100 sản phẩm, đáp án B, trùng với đáp án đã gạch chân trong đề.