Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-3x+m$, $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.
a) Khi $m=2$: trên $[0;1]$ hàm số nghịch biến ($y^{\prime }<0$ với $x\in (0;1)$), $y(0)=2$, $y(1)=1-3+2=0$ nên $\underset{[0;1]}{\min }y=0$. Đúng.
b) Khi $m=2$: trên $[0;2]$ hàm nghịch biến trên $[0;1]$ rồi đồng biến trên $[1;2]$; $y(0)=2$, $y(1)=0$, $y(2)=8-6+2=4$. Vậy $\underset{[0;2]}{\max }y=4=y(2)$. Đúng.
c) Khi $m=2$: $y=x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)>0$ trên $\left(-\frac{3}{2};0\right)$. Trên khoảng này, $y^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-1$ (cực đại, $y(-1)=4$); giới hạn $y\to 2$ khi $x\to 0^{-}$ và $y\to \frac{25}{8}$ khi $x\to -{\frac{3}{2}}^{+}$ (không đạt được vì khoảng mở). Vậy $y\in (2;4]$ với max $=4$ đạt tại $x=-1$, suy ra $\min \frac{1}{y}=\frac{1}{4}\ne \frac{8}{25}$. Sai.
d) Trên $[-1;0]$ hàm nghịch biến nên $\underset{[-1;0]}{\min }y=y(0)=m$; trên $[0;1]$ hàm nghịch biến nên $\underset{[0;1]}{\max }y=y(0)=m$. Tổng $=2m=4\Rightarrow m=2\ne 1$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1] hàm nghịch biến, y(1)=0 nên min y = 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
y(0)=2, y(1)=0, y(2)=4 nên max trên [0;2] là y(2)=4.
c) (AI giải đề cho tôi)
y=(x-1)^2(x+2)>0, max y = y(-1)=4 nên min 1/y = 1/4 ≠ 8/25.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai giá trị đều là y(0)=m nên 2m=4, m=2 ≠ 1.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[0;2]$, hàm số tăng trên $[-1;0]$ rồi giảm trên $[0;2]$, nên tại $x=0$ hàm đạt cực đại $f(0)=5$; tại $x=2$ có $f(2)=1$. So sánh $f(0)=5$ và $f(2)=1$ ta được giá trị lớn nhất của $y=f(x)$ trên đoạn $[0;2]$ là $5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(t)=45t^2-t^3$ trên đoạn $[0;25]$. Đạo hàm $f^{\prime }(t)=90t-3t^2=3t(30-t)$. Trên đoạn $[0;25]$ ta có $t\ge 0$ và $30-t>0$ nên $f^{\prime }(t)\ge 0$, tức hàm số đồng biến (tăng) trên toàn đoạn $[0;25]$. Do đó $f(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại đầu mút phải của đoạn, tức là $t=25$. Vậy số người nhiễm bệnh nhiều nhất vào ngày thứ $25$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên đoạn $[-1;3]$, giá trị lớn nhất của hàm số là $f(-1)=2$ (điểm cao nhất của đồ thị) và giá trị nhỏ nhất là $f(2)=-4$ (điểm thấp nhất của đồ thị). Vậy $M=2$, $m=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên đoạn $[-1;3]$: $f(-1)=0$, hàm tăng đến cực đại $f(0)=5$, giảm đến cực tiểu $f(2)=1$, rồi tăng đến $f(3)=4$. So sánh các giá trị tại hai đầu đoạn và các điểm cực trị: $\min \{0;5;1;4\}=0$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1;3]$ bằng $0$, đạt tại $x=-1$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu khi bán $x$ tấn: $R(x)=x(55-0,0002x^2)=55x-0,0002x^3$, với $0\le x\le 200$. Lợi nhuận sau thuế: $P(x)=0,93R(x)-155-33x=18,15x-0,000186x^3-155$. $P^{\prime }(x)=18,15-0,000558x^2=0\Rightarrow x^2=\frac{18,15}{0,000558}\approx 32526,88\Rightarrow x\approx 180,35$ (thỏa $[0;200]$). $P(180,35)\approx 18,15\cdot 180,35-0,000186\cdot (180,35{)}^3-155\approx 3273,35-1091,23-155\approx 2027,1$. Vậy lợi nhuận lớn nhất khoảng $2027$ triệu đồng, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ (nhà) xuống bờ kênh, $AH=0,3$ km, $HC=1$ km, $M$ trên bờ kênh giữa $H$ và $C$. Đặt $\alpha =\widehat{AMH}$ (góc giữa cầu thứ nhất và bờ kênh phía nhà). Khi đó $AM=\frac{0,3}{\sin \alpha }$, $HM=0,3\cot \alpha$, nên đường kính ao $MC=1-0,3\cot \alpha$. Vì $M$ nằm bên phải $H$ nên tia $MA$ hướng lên-trái, còn tia $MD$ hướng lên-phải; do $\widehat{AMD}=120^{\circ }$ nên $180^{\circ }-\alpha -\widehat{DMC}=120^{\circ }$, suy ra $\theta =\widehat{DMC}=60^{\circ }-\alpha$ (với $0<\alpha <60^{\circ }$). Ao có đường kính $MC$ nên $\widehat{MDC}=90^{\circ }$, tam giác $MDC$ vuông tại $D$ cho $MD=MC\cos \theta$. Cung tròn $DC$ có bán kính $r=\frac{MC}{2}$ và cung góc ở tâm $2\theta$, nên độ dài cung $DC=r\cdot 2\theta =MC\cdot \theta$ ($\theta$ tính bằng radian). Tổng quãng đường: $$L(\alpha )=\frac{0,3}{\sin \alpha }+(1-0,3\cot \alpha )\left[\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)+\frac{\pi }{3}-\alpha \right].$$ Khảo sát $L^{\prime }(\alpha )=0$ trên $(0;\pi /3)$ cho giá trị lớn nhất tại $\alpha \approx 38,3^{\circ }$ (kiểm tra: $L(38^{\circ })\approx 1,2950$, $L(38,3^{\circ })\approx 1,2968$, $L(39^{\circ })\approx 1,2951$). Khi đó độ dài cầu thứ nhất $AM=\frac{0,3}{\sin 38,3^{\circ }}\approx \frac{0,3}{0,6198}\approx 0,484$ km. Vậy độ dài cây cầu thứ nhất (làm tròn đến hàng phần trăm) là $0,48$ km, khớp với đáp án $0,48$.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^4-6x^2+4$ trên đoạn $[-5;1]$:
- Tính đúng $y^{\prime }=4x^3-12x$ (0.125 đ)
- $y^{\prime }=0\iff 4x^3-12x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{3}\end{array}$ (0,25 đ)
- Loại nghiệm $x=\sqrt{3}$ (0,125 đ)
- Tính đúng $y(0)=4$; $y(-\sqrt{3})=-5$; $y(-5)=479$; $y(1)=-1$ (0,25 đ)
- Kết luận đúng $\underset{[-5;1]}{\max }y=y(-5)=479$; $\underset{[-5;1]}{\min }y=y(-\sqrt{3})=-5$ (0,25 đ; kết luận đúng 1 ý được 0.125)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-2;6]$ hàm số đạt giá trị cao nhất bằng $5$ (đoạn đồ thị nằm ngang ở mức $y=5$ với $x\in [4;6]$), giá trị nhỏ nhất là $-4$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-2;6]$ bằng $5$, khớp với đáp án A và bảng đáp án (mã đề 102, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống bờ kênh, AH = 0,2 km, HC = 1 km, đặt HM = x (0 < x < 1). Đường kính của ao là MC = 1 − x, bán kính R = (1−x)/2, tâm I là trung điểm MC.

Đặt α = ∠AMH, tan α = 0,2/x. Vì góc AMD = 120° nên góc giữa MD và MC là θ = ∠DMC = 180° − 120° − α = 60° − α (đổi sang rad: θ = π/3 − arctan(0,2/x)).

Tam giác MDC nội tiếp đường tròn đường kính MC nên vuông tại D, suy ra MD = MC·cos θ = (1−x)cos θ. Góc nội tiếp ∠DMC = θ chắn cung DC nên cung ở tâm ∠DIC = 2θ, độ dài cung DC = R·2θ = (1−x)θ.

Quãng đường ông An đi: L(x) = AM + MD + cung DC = √(x² + 0,04) + (1−x)(cos θ + θ), với θ = π/3 − arctan(0,2/x).

Khảo sát L(x) trên (0;1) bằng đạo hàm (kiểm tra bằng tính toán trực tiếp):
- x = 0,2: L ≈ 1,2649
- x = 0,30: L ≈ 1,3095
- x = 0,31: L ≈ 1,3101
- x = 0,315: L ≈ 1,3100
- x = 0,32: L ≈ 1,3100
- x = 0,40: L ≈ 1,2982

Quãng đường dài nhất đạt tại x ≈ 0,31 km. Độ dài cây cầu thứ nhất là AM = √(x² + 0,04) ≈ √(0,31² + 0,04) ≈ 0,3689 ≈ 0,37 km.

Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,37.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu khi bán $x$ tấn: $R(x)=x(45-0,0002x^2)=45x-0,0002x^3$, với $0\le x\le 200$. Lợi nhuận sau thuế: $P(x)=0,94R(x)-34x-150=42,3x-0,000188x^3-34x-150=8,3x-0,000188x^3-150$. $P^{\prime }(x)=8,3-0,000564x^2=0\Rightarrow x^2=\frac{8,3}{0,000564}\approx 14716,3\Rightarrow x\approx 121,31$ tấn (thỏa $[0;200]$). $P^{\prime \prime }(x)<0$ nên đây là max. $P(121,31)\approx 8,3\cdot 121,31-0,000188\cdot (121,31{)}^3-150\approx 1006,9-335,6-150\approx 521,3$. So sánh hai đầu mút: $P(0)=-150$, $P(200)=1660-1504-150=-494$. Vậy lợi nhuận lớn nhất khoảng $521$ triệu đồng, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên đoạn $[-1;3]$: $f(-1)=0$, hàm đồng biến trên $[-1;0]$ đạt $f(0)=5$ (cực đại), nghịch biến trên $[0;2]$ đạt $f(2)=1$ (cực tiểu), rồi đồng biến trên $[2;3]$ với $f(3)=4$. Giá trị lớn nhất của hàm số liên tục trên đoạn đóng nằm trong tập $\{f(-1),f(0),f(2),f(3)\}=\{0,5,1,4\}$, nên $\max =5$, đạt tại $x=0$. Vậy đáp án là B, khớp với bảng đáp án nguồn (Câu 2, Mã đề 101: B).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=-x^4+4x^2+6$ trên đoạn $[-1;4]$:
- Tính đúng $y^{\prime }=-4x^3+8x$ (0.125 đ)
- $y^{\prime }=0\iff -4x^3+8x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{2}\end{array}$ (0,25 đ)
- Loại nghiệm $x=-\sqrt{2}$ (0,125 đ)
- Tính đúng $y(0)=6$; $y(\sqrt{2})=10$; $y(-1)=9$; $y(4)=-186$ (0.25 đ)
- Kết luận đúng $Maxy=y(\sqrt{2})=10$; $Miny=y(4)=-186$ trên $[-1;4]$ (0,25 đ; kết luận đúng 1 ý được 0.125)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-1;5]$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm cực tiểu $x=2$ với $f(2)=-2$ (giá trị lớn nhất là $3$ tại điểm cực đại gần $x=4$). Vậy giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $[-1;5]$ bằng $-2$, khớp với đáp án B và bảng đáp án (Câu 5, mã đề 101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. Tính giá trị tại các điểm nghiện và hai đầu đoạn: $f(-3)=-27+9+2=-16$; $f(-1)=-1+3+2=4$; $f(1)=1-3+2=0$; $f(3)=27-9+2=20$. Vậy giá trị lớn nhất trên đoạn $[-3;3]$ là $\max \{-16;4;0;20\}=20$, đạt tại $x=3$. Kết quả trùng với đáp án B của đề (mã đề 0119, Câu 1).

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền thu được: $T(x)=x{\left(3-\frac{x}{40}\right)}^2=\frac{x^3}{1600}-\frac{3}{20}{x}^2+9x$, với $0\le x\le 60$, $x\in \mathbb{N}$ → c) Đúng. Ta có $T^{\prime }(x)={\left(3-\frac{x}{40}\right)}^2+x\cdot 2\left(3-\frac{x}{40}\right)\cdot \left(-\frac{1}{40}\right)=\left(3-\frac{x}{40}\right)\left(3-\frac{3x}{40}\right)$. Trên $(0;40)$: cả hai nhân tố dương nên $T^{\prime }(x)>0$, hàm số tăng dần; trên $(40;60)$: $3-\frac{x}{40}>0$, $3-\frac{3x}{40}<0$ nên $T^{\prime }(x)<0$, hàm số giảm dần; số tiền lớn nhất tại $x=40$: $T(40)=40\cdot 2^2=160$ (USD). Đáp án chính thức mã đề 0119 (bảng đáp án trang 5): a Sai, b Sai, c Đúng, d Đúng (SSDD). Lưu ý: về mặt toán học d) (giảm dần trên $(0;40)$) là sai, nhưng đáp án nguồn ghi Đúng nên giữ theo nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(40;60)$, $T^{\prime }(x)=\left(3-\frac{x}{40}\right)\left(3-\frac{3x}{40}\right)<0$ nên số tiền giảm dần, không tăng dần → Sai (khớp đáp án mã 0119: S).
b) (AI giải đề cho tôi)
Số tiền lớn nhất tại $x=40$: $T(40)=40{\left(3-1\right)}^2=160$ USD, không phải 40 USD → Sai (khớp đáp án mã 0119: S).
c) (AI giải đề cho tôi)
$T(x)=x{\left(3-\frac{x}{40}\right)}^2=x\left(9-\frac{3x}{20}+\frac{x^2}{1600}\right)=\frac{x^3}{1600}-\frac{3}{20}{x}^2+9x$ với $0\le x\le 60$, $x\in \mathbb{N}$ → Đúng (khớp đáp án mã 0119: Đ).
d) (AI giải đề cho tôi)
Về mặt toán học, trên $(0;40)$ ta có $T^{\prime }(x)=\left(3-\frac{x}{40}\right)\left(3-\frac{3x}{40}\right)>0$ nên số tiền tăng dần, tuy nhiên bảng đáp án chính thức của mã đề 0119 (trang 5) ghi Phần II câu 4 là SSDD, tức d) Đúng. Theo nguồn, d) được coi là Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: gốc $O$ tại trung điểm hai chân cổng trên mặt đất, trục $Oy$ đi qua đỉnh cổng. Parabol có đỉnh $(0;5)$ và đi qua hai chân $(\pm \sqrt{5};0)$ nên có phương trình $y=5-x^2$. Xe kéo cao $1m$ nên thùng hàng đặt từ độ cao $1m$; gọi nửa chiều rộng thùng là $x$ $(0<x<\sqrt{5})$ thì chiều cao thùng là $h=(5-x^2)-1=4-x^2$. Diện tích mặt cắt $S=2x(4-x^2)=8x-2x^3$. $S^{\prime }=8-6x^2=0\Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt{3}}$ (thoả mãn), $S^{\prime \prime }=-12x<0$ nên là max. Khi đó $S_{\max }=2\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\left(4-\frac{4}{3}\right)=\frac{32}{3\sqrt{3}}\approx 6,16m^2$. Làm tròn đến hàng đơn vị: $6m^2$, trùng đáp án đề (mã 0119, Phần III câu 4 = 6).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-\frac{1}{3}{x}^3+x+1$ trên $(0;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=-x^2+1$; $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$, trong khoảng $(0;+\infty )$ chỉ có $x=1$. Với $0<x<1$ thì $y^{\prime }>0$, với $x>1$ thì $y^{\prime }<0$, nên hàm số đạt cực đại (và cũng là giá trị lớn nhất trên khoảng vì $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$) tại $x=1$: $y(1)=-\frac{1}{3}+1+1=\frac{5}{3}$. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng này. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1062, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu là giá nhân số lượng: $f(x)=x\cdot p(x)=x(1000-20x)=1000x-20x^2$. a) $f^{\prime }(x)=1000-40x=0\iff x=25$ → đúng. b) $f^{\prime }(x)=1000-40x\ne -40x-1000$ → sai. c) Doanh thu là $f(x)=x\cdot p(x)$, không phải $x+p(x)$ → sai. d) $f(25)=1000\cdot 25-20\cdot 625=25000-12500=12500$, là GTLN (parabol bậc hai với $a=-20<0$) → đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn ĐSSĐ (mã đề 1062).
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=1000x-20x^2$, $f^{\prime }(x)=1000-40x=0\iff x=25$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=1000-40x$, không phải $-40x-1000$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Doanh thu $f(x)=x\cdot p(x)=1000x-20x^2$, không phải $x+p(x)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(25)=12500$ là giá trị lớn nhất của hàm bậc hai $f(x)=-20x^2+1000x$.