Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác tính theo hai cạnh và góc xen giữa: $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot \sin 150^{\circ }=10\cdot \frac{1}{2}=5$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích tam giác theo bán kính đường tròn nội tiếp: $S=p\cdot r$, với $p$ là nửa chu vi. Ở đây chu vi bằng 12 nên $p=6$, và $r=1$. Suy ra $S=6\cdot 1=6$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác ABC: $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$. Xét các đáp án: A đúng vì $S=\frac{1}{2}bc\sin A$. B sai vì $\frac{1}{2}ac\sin A$ không khớp (đúng phải là $\frac{1}{2}ac\sin B$). C và D sai vì $\frac{1}{2}bc\sin B$ không đúng (đúng phải là $\frac{1}{2}bc\sin A$). Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^{\circ }$. Ta kiểm tra từng nhóm:
- Nhóm 1: $35^{\circ }+77^{\circ }+68^{\circ }=180^{\circ }$ (đúng).
- Nhóm 2: $61^{\circ }+74^{\circ }+45^{\circ }=180^{\circ }$ (đúng).
- Nhóm 3: $33^{\circ }+102^{\circ }+47^{\circ }=182^{\circ }\ne 180^{\circ }$ (sai).
- Nhóm 4: $100^{\circ }+37^{\circ }+43^{\circ }=180^{\circ }$ (đúng).
Vậy nhóm ghi kết quả sai là nhóm 3.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Do đó A đúng ($\frac{a}{\sin A}=2R$), B đúng ($\sin A=\frac{a}{2R}$), D đúng vì $\sin C=\frac{c}{2R}$ và $\frac{c}{2R}=\frac{c\sin A}{a}$ (do $\sin A=\frac{a}{2R}$). Câu C sai vì từ $b=2R\sin B$ suy ra $\frac{b}{\sin B}=2R$, không phải $b\sin B=2R$. Vậy công thức sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=2^2+1^2-2\cdot 2\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ }=4+1-2=3$. Vậy $BC=\sqrt{3}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Do đó A đúng ($\frac{a}{\sin A}=2R$), B đúng ($\sin A=\frac{a}{2R}$), D đúng (từ $\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}$ suy ra $\sin C=\frac{c\sin A}{a}$). Còn C sai vì $b\sin B=2R{\sin }^{2}B\ne 2R$ nói chung; đúng phải là $\frac{b}{\sin B}=2R$. Vậy công thức sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $ABC$: $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ (hai cạnh $b=CA$, $c=AB$ kẹp góc $A$). Đáp án A đúng. B sai vì $a$ không kẹp góc $A$; C, D sai vì $b,c$ kẹp góc $A$ chứ không kẹp góc $B$ (công thức đúng với góc $B$ phải là $\frac{1}{2}ac\sin B$).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích tam giác theo bán kính đường tròn nội tiếp: $S=p\cdot r$, với $p$ là nửa chu vi. Ta có chu vi bằng 12 nên $p=6$, và $r=1$. Suy ra $S=6\cdot 1=6$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin trong tam giác $ABC$ (với $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$): $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin trong tam giác ABC: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Vậy hệ thức đúng là $\frac{a}{\sin A}=2R$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ (hai cạnh $b,c$ kẹp góc $A$). Kiểm tra: $\frac{1}{2}ab\sin B$ sai vì $a,b$ kẹp góc $C$; $\frac{1}{2}ac\sin A$ sai vì $a,c$ kẹp góc $B$; $bc\sin A$ thiếu hệ số $\frac{1}{2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin tại đỉnh B: $C{A}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$. Suy ra $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-C{A}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{9+25-36}{2\cdot 3\cdot 5}=\frac{-2}{30}=-\frac{1}{15}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin 30^{\circ }=24\cdot \frac{1}{2}=12$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác có $a=6,b=8,c=10$ thỏa mãn $6^2+8^2=36+64=100=10^2$, nên theo định lí Pythagore đảo, tam giác vuông tại $A$ (đối diện cạnh $c=10$ là cạnh huyền). Diện tích tam giác vuông: $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$. (Kiểm tra bằng công thức Heron: $p=12$, $S=\sqrt{12\cdot 6\cdot 4\cdot 2}=\sqrt{576}=24$.) Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 6: a) Đúng — định lí côsin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. b) Đúng — từ $b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$ suy ra $\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$. c) Sai — định lí sin cho $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, không phải $R$. d) Sai — hai cạnh $a,b$ kẹp góc $C$ nên công thức đúng là $S=\frac{1}{2}ab\sin C$; $\frac{1}{2}ab\sin A$ sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định lí côsin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: $b^2=c^2+a^2-2ca\cos B\Rightarrow \cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sai: định lí sin cho tỉ số bằng $2R$, không phải $R$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Sai: $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ vì hai cạnh $a,b$ kẹp góc $C$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Do đó đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Do đó A đúng, B đúng. D đúng vì $\sin C=\frac{c}{2R}=\frac{c\sin A}{a}$. C sai vì $b\sin B=\frac{b^2}{2R}\ne 2R$ nói chung (đúng phải là $b=2R\sin B$).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng phát biểu: A đúng vì $S=\frac{abc}{4R}$ là công thức diện tích quen thuộc. B sai vì định lý sin cho $\frac{a}{\sin A}=2R$, tức $R=\frac{a}{2\sin A}$, không phải $R=\frac{a}{\sin A}$. C đúng vì $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ (tích hai cạnh $a=BC$, $b=AC$ kèm góc $C$ xen giữa). D đúng vì định lý cosin: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\Rightarrow a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$. Vậy phát biểu sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng công thức diện tích tam giác ABC với $BC=a,AC=b,AB=c$:
- A: $S=\frac{1}{2}ab\sin A$ sai, vì $a,b$ lần lượt đối diện $A,B$; công thức đúng phải là $S=\frac{1}{2}ab\sin C$.
- B: $S=\frac{abc}{2R}$ sai; công thức đúng là $S=\frac{abc}{4R}$.
- C: $S=\frac{1}{2}pr$ sai; công thức đúng là $S=pr$ (vì $S$ bằng tổng diện tích ba tam giác tạo bởi tâm đường tròn nội tiếp: $S=\frac{1}{2}r(a+b+c)=pr$).
- D: $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ đúng, vì $b=AC,c=AB$ kề góc $A$, diện tích bằng nửa tích hai cạnh kề nhân sin góc xen giữa.
Vậy đáp án đúng là D.