Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, nên $b^2+c^2-a^2=2bc\cos A=\sqrt{3}bc\Rightarrow \cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A=60^0$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{13^2+15^2-14^2}{2\cdot 13\cdot 15}=\frac{198}{390}\approx 0,5077$. Suy ra $B=\arccos (0,5077)\approx 59,50^{\circ }\approx 59^{\circ }30^{\prime }$. Trong các đáp án, giá trị gần nhất là $59^{\circ }29^{\prime }$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow 2R=\frac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\Rightarrow R=1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$: $C=180^{\circ }-40^{\circ }-60^{\circ }=80^{\circ }$. Theo định lý sin: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$, nên $BC=\frac{5\sin 40^{\circ }}{\sin 80^{\circ }}\approx \frac{5\cdot 0,6428}{0,9848}\approx 3,26$. Kết quả gần nhất là $3,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, nên $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$, $a=2R\sin A$. Từ $b+c=2a$ ta có $2R\sin B+2R\sin C=2\cdot 2R\sin A$, suy ra $\sin B+\sin C=2\sin A$. Vậy mệnh đề đúng là B. (Kiểm tra: mệnh đề A sai vì ví dụ tam giác đều $b+c=2a$ nhưng $\cos B+\cos C=1\ne 2\cos A=1$... thực ra tam giác đều cho $\cos B+\cos C=1=2\cdot \frac{1}{2}$, nhưng với tam giác $a=2,b=c=1.5$: $\cos B+\cos C=2\cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$... tổng quát không bằng $2\cos A$; C và D cũng sai theo định lý sin.)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. So sánh với $a^2=b^2+c^2+bc\sqrt{2}$ ta có $-2bc\cos A=bc\sqrt{2}$, suy ra $\cos A=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vì $0^{\circ }<A<180^{\circ }$ nên $A=135^{\circ }$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $\hat{A}=30^{\circ }$, $\hat{C}=75^{\circ }$ nên $\hat{B}=75^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}\Rightarrow AB=\frac{4\sin 75^{\circ }}{\sin 75^{\circ }}=4$. Diện tích: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{16}{2}\cdot \frac{1}{2}=4$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ có cạnh $AB=AD=a$ và góc $BAD=30^{\circ }$. Diện tích tam giác $ABD$: $S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2}{4}$. Hình thoi gồm hai tam giác $ABD$ và $CBD$ bằng nhau (do $BD$ là đường chéo), nên $S_{ABCD}=2\cdot \frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi $p=\frac{13+14+15}{2}=21$. Theo công thức Heron: $S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông tại $A$ ($3$-$4$-$5$), chu vi $p=12$, nửa chu vi $p/2=6$, diện tích $S=(3\cdot 4)/2=6$. Bán kính nội tiếp $r=S/(p/2)=6/6=1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hệ thức $S=\frac{abc}{4R}$, suy ra $R=\frac{abc}{4S}=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{2730}{336}=8,125$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{36+4-32}{2\cdot 6\cdot 2}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$. Xét tam giác $ABM$ có $AB=c=2$, $BM=3$: $A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2\cdot AB\cdot BM\cdot \cos B=4+9-2\cdot 2\cdot 3\cdot \frac{1}{3}=13-4=9$, suy ra $AM=3$. Chọn C. (Lời giải do AI cung cấp, nguồn đề không in đáp án/lời giải trên trang 17.)

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$ với $\widehat{ACB}=78^{\circ }24^{\prime }\approx 78,4^{\circ }$:
$$A{B}^2=C{A}^2+C{B}^2-2\cdot CA\cdot CB\cdot \cos \widehat{ACB}$$
$$A{B}^2=250^2+120^2-2\cdot 250\cdot 120\cdot \cos 78^{\circ }24^{\prime }\approx 62500+14400-60000\cdot 0,2016\approx 64804.$$
Suy ra $AB\approx \sqrt{64804}\approx 254,6\approx 255m$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ, tàu thứ nhất đi được $AB=30\cdot 2=60$ km, tàu thứ hai đi được $AC=40\cdot 2=80$ km, góc $BAC=60^{\circ }$. Theo định lí cosin: $B{C}^2=60^2+80^2-2\cdot 60\cdot 80\cdot \cos 60^{\circ }=3600+6400-4800=5200$, nên $BC=\sqrt{5200}=20\sqrt{13}$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có a=3, b=4, c=5 (cm). Nửa chu vi p=(3+4+5)/2=6 cm, nên mệnh đề (a) p=12 cm là SAI (12 là chu vi, không phải nửa chu vi). Mệnh đề (b): công thức Heron $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ là công thức đúng → ĐÚNG. Mệnh đề (c): $S=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\sqrt{36}=6c{m}^2$ → ĐÚNG (thực tế tam giác 3-4-5 vuông tại A? kiểm tra: 3²+4²=5² nên vuông, S=3·4/2=6, khớp). Mệnh đề (d): $R=\frac{abc}{4S}=\frac{3\cdot 4\cdot 5}{4\cdot 6}=\frac{60}{24}=2,5cm\ne 3,5cm$ → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
p=(3+4+5)/2=6 cm, không phải 12 cm (12 là chu vi).
b) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là công thức Heron tính diện tích tam giác theo ba cạnh.
c) (AI giải đề cho tôi)
S=√(6·3·2·1)=√36=6 cm²; tam giác 3-4-5 vuông nên S=3·4/2=6, khớp.
d) (AI giải đề cho tôi)
R=abc/(4S)=60/24=2,5 cm ≠ 3,5 cm.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a=52,1$, $b=85$, $c=54$:
- (a) Theo định lí cosin: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ — đúng.
- (b) $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{7225+2916-2714,41}{2\cdot 85\cdot 54}=\frac{7426,59}{9180}\approx 0,8090\Rightarrow A\approx 36^{\circ }\ne 32^{\circ }$ — sai.
- (c) $\cos B=\frac{2714,41+2916-7225}{2\cdot 52,1\cdot 54}=\frac{-1594,59}{5626,8}\approx -0,2834\Rightarrow B\approx 106,5^{\circ }\ne 126^{\circ }$ — sai.
- (d) $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{2714,41+7225-2916}{2\cdot 52,1\cdot 85}=\frac{7023,41}{8857}\approx 0,7930\Rightarrow C\approx 37,5^{\circ }\approx 38^{\circ }$ — đúng.
Kiểm tra: $36^{\circ }+106,5^{\circ }+37,5^{\circ }=180^{\circ }$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là công thức định lí cosin áp dụng cho góc $B$: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\approx 0,8090\Rightarrow A\approx 36^{\circ }$, không phải $32^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\approx -0,2834\Rightarrow B\approx 106,5^{\circ }$, không phải $126^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\approx 0,7930\Rightarrow C\approx 37,5^{\circ }\approx 38^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác có các cạnh 7, 9, 12 nên nửa chu vi $p=\frac{7+9+12}{2}=14$ (đúng). Diện tích theo Heron: $S=\sqrt{14(14-7)(14-9)(14-12)}=\sqrt{14\cdot 7\cdot 5\cdot 2}=\sqrt{980}=14\sqrt{5}$, nên $S=13\sqrt{5}$ là sai. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{abc}{4S}=\frac{7\cdot 9\cdot 12}{4\cdot 14\sqrt{5}}=\frac{756}{56\sqrt{5}}=\frac{27}{2\sqrt{5}}=\frac{27\sqrt{5}}{10}\approx 6,04$, khác $\frac{7\sqrt{5}}{10}\approx 1,565$ nên sai. Bán kính đường tròn nội tiếp $r=\frac{S}{p}=\frac{14\sqrt{5}}{14}=\sqrt{5}\ne \sqrt{3}$ nên sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$p=\frac{7+9+12}{2}=14$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$S=\sqrt{14\cdot 7\cdot 5\cdot 2}=14\sqrt{5}\ne 13\sqrt{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{abc}{4S}=\frac{7\cdot 9\cdot 12}{4\cdot 14\sqrt{5}}=\frac{27}{2\sqrt{5}}=\frac{27\sqrt{5}}{10}\approx 6,04\ne \frac{7\sqrt{5}}{10}\approx 1,565$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$r=\frac{S}{p}=\sqrt{5}\ne \sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng ba góc: $\hat{B}=180^{\circ }-135^{\circ }-15^{\circ }=30^{\circ }$ → (a) đúng. Định lý sin: $\frac{a}{\sin 135^{\circ }}=\frac{b}{\sin 30^{\circ }}=\frac{12}{1/2}=24$, nên $a=24\sin 135^{\circ }=24\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=12\sqrt{2}$ → (b) đúng. $c=24\sin 15^{\circ }\approx 24\cdot 0,2588\approx 6,21\ne 8,21$ → (c) sai. $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{12\sqrt{2}}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=12\ne 15$ → (d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\hat{B}=180^{\circ }-135^{\circ }-15^{\circ }=30^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $a=\frac{b\sin A}{\sin B}=\frac{12\sin 135^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=12\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$c=\frac{12\sin 15^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=24\sin 15^{\circ }\approx 6,21$, không phải $8,21$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=12\ne 15$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<A<180^{\circ }$ nên $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$ → (a) đúng. Diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14$ → (b) đúng. Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=74-42=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}\ne 3\sqrt{2}$ → (c) sai. Nửa chu vi $p=\frac{4\sqrt{2}+12}{2}=6+2\sqrt{2}$, bán kính nội tiếp $r=\frac{S}{p}=\frac{14}{6+2\sqrt{2}}=\frac{14(6-2\sqrt{2})}{28}=3-\sqrt{2}\ne 4-\sqrt{2}$ → (d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<A<180^{\circ }$ nên $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a^2=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}\ne 3\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$p=6+2\sqrt{2}$, $r=\frac{S}{p}=\frac{14}{6+2\sqrt{2}}=3-\sqrt{2}\ne 4-\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Từ $\frac{5}{\sin A}=\frac{4}{\sin B}=\frac{3}{\sin C}$ suy ra $\sin A:\sin B:\sin C=\frac{1}{5}:\frac{1}{4}:\frac{1}{3}=12:15:20$... kiểm tra lại: nhân với 60 được $12:15:20$, nhưng cách đúng là $\frac{a}{\sin A}=k$ nên $\sin A=\frac{5}{k^{\prime }},...$ Thực chất: $\frac{5}{\sin A}=\frac{4}{\sin B}=\frac{3}{\sin C}=t$ cho $\sin A=\frac{5}{t},\sin B=\frac{4}{t},\sin C=\frac{3}{t}$, do đó $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C=5:4:3$. Với $a=10$ thì $b=8$, $c=6$. Chu vi $=10+8+6=24$.