Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, nên $b^2+c^2-a^2=2bc\cos A=\sqrt{3}bc\Rightarrow \cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A=60^0$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{13^2+15^2-14^2}{2\cdot 13\cdot 15}=\frac{198}{390}\approx 0,5077$. Suy ra $B=\arccos (0,5077)\approx 59,50^{\circ }\approx 59^{\circ }30^{\prime }$. Trong các đáp án, giá trị gần nhất là $59^{\circ }29^{\prime }$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Do đó A đúng ($\frac{a}{\sin A}=2R$), B đúng ($\sin A=\frac{a}{2R}$), D đúng (từ $\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}$ suy ra $\sin C=\frac{c\sin A}{a}$). Còn C sai vì $b\sin B=2R{\sin }^{2}B\ne 2R$ nói chung; đúng phải là $\frac{b}{\sin B}=2R$. Vậy công thức sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow 2R=\frac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\Rightarrow R=1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$: $C=180^{\circ }-40^{\circ }-60^{\circ }=80^{\circ }$. Theo định lý sin: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$, nên $BC=\frac{5\sin 40^{\circ }}{\sin 80^{\circ }}\approx \frac{5\cdot 0,6428}{0,9848}\approx 3,26$. Kết quả gần nhất là $3,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, nên $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$, $a=2R\sin A$. Từ $b+c=2a$ ta có $2R\sin B+2R\sin C=2\cdot 2R\sin A$, suy ra $\sin B+\sin C=2\sin A$. Vậy mệnh đề đúng là B. (Kiểm tra: mệnh đề A sai vì ví dụ tam giác đều $b+c=2a$ nhưng $\cos B+\cos C=1\ne 2\cos A=1$... thực ra tam giác đều cho $\cos B+\cos C=1=2\cdot \frac{1}{2}$, nhưng với tam giác $a=2,b=c=1.5$: $\cos B+\cos C=2\cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$... tổng quát không bằng $2\cos A$; C và D cũng sai theo định lý sin.)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. So sánh với $a^2=b^2+c^2+bc\sqrt{2}$ ta có $-2bc\cos A=bc\sqrt{2}$, suy ra $\cos A=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vì $0^{\circ }<A<180^{\circ }$ nên $A=135^{\circ }$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $\hat{A}=30^{\circ }$, $\hat{C}=75^{\circ }$ nên $\hat{B}=75^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}\Rightarrow AB=\frac{4\sin 75^{\circ }}{\sin 75^{\circ }}=4$. Diện tích: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{16}{2}\cdot \frac{1}{2}=4$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $ABC$: $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ (hai cạnh $b=CA$, $c=AB$ kẹp góc $A$). Đáp án A đúng. B sai vì $a$ không kẹp góc $A$; C, D sai vì $b,c$ kẹp góc $A$ chứ không kẹp góc $B$ (công thức đúng với góc $B$ phải là $\frac{1}{2}ac\sin B$).

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ có cạnh $AB=AD=a$ và góc $BAD=30^{\circ }$. Diện tích tam giác $ABD$: $S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2}{4}$. Hình thoi gồm hai tam giác $ABD$ và $CBD$ bằng nhau (do $BD$ là đường chéo), nên $S_{ABCD}=2\cdot \frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi $p=\frac{13+14+15}{2}=21$. Theo công thức Heron: $S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích tam giác theo bán kính đường tròn nội tiếp: $S=p\cdot r$, với $p$ là nửa chu vi. Ta có chu vi bằng 12 nên $p=6$, và $r=1$. Suy ra $S=6\cdot 1=6$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông tại $A$ ($3$-$4$-$5$), chu vi $p=12$, nửa chu vi $p/2=6$, diện tích $S=(3\cdot 4)/2=6$. Bán kính nội tiếp $r=S/(p/2)=6/6=1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hệ thức $S=\frac{abc}{4R}$, suy ra $R=\frac{abc}{4S}=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{2730}{336}=8,125$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{36+4-32}{2\cdot 6\cdot 2}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$. Xét tam giác $ABM$ có $AB=c=2$, $BM=3$: $A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2\cdot AB\cdot BM\cdot \cos B=4+9-2\cdot 2\cdot 3\cdot \frac{1}{3}=13-4=9$, suy ra $AM=3$. Chọn C. (Lời giải do AI cung cấp, nguồn đề không in đáp án/lời giải trên trang 17.)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABM$: $BM=4$, đặt $AM=x$. Theo định lí cosin: $A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2-2\cdot AM\cdot BM\cdot \cos AMB$ nên $9=x^2+16-8x\cdot \frac{5\sqrt{13}}{26}$, tức $x^2-\frac{20\sqrt{13}}{13}x+7=0$. Giải được $x=\sqrt{13}$ hoặc $x=\frac{7\sqrt{13}}{13}\approx 1,93$. Vì $AM>3$ nên $AM=\sqrt{13}$.

Vì $\cos AMC=-\cos AMB=-\frac{5\sqrt{13}}{26}$, áp dụng định lí cosin trong tam giác $AMC$ với $MC=4$: $A{C}^2=A{M}^2+M{C}^2-2\cdot AM\cdot MC\cdot \cos AMC=13+16+8\sqrt{13}\cdot \frac{5\sqrt{13}}{26}=29+20=49$. Vậy $AC=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$ với $\widehat{ACB}=78^{\circ }24^{\prime }\approx 78,4^{\circ }$:
$$A{B}^2=C{A}^2+C{B}^2-2\cdot CA\cdot CB\cdot \cos \widehat{ACB}$$
$$A{B}^2=250^2+120^2-2\cdot 250\cdot 120\cdot \cos 78^{\circ }24^{\prime }\approx 62500+14400-60000\cdot 0,2016\approx 64804.$$
Suy ra $AB\approx \sqrt{64804}\approx 254,6\approx 255m$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ, tàu thứ nhất đi được $AB=30\cdot 2=60$ km, tàu thứ hai đi được $AC=40\cdot 2=80$ km, góc $BAC=60^{\circ }$. Theo định lí cosin: $B{C}^2=60^2+80^2-2\cdot 60\cdot 80\cdot \cos 60^{\circ }=3600+6400-4800=5200$, nên $BC=\sqrt{5200}=20\sqrt{13}$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$, $B$, $C$ thẳng hàng và góc ở $A$ lớn hơn ($63^{\circ }>48^{\circ }$), $A$ nằm giữa $B$ và $C$. Trong tam giác vuông $ACD$: $AC=\frac{h}{\tan 63^{\circ }}=h\cot 63^{\circ }$. Trong tam giác vuông $BCD$: $BC=h\cot 48^{\circ }$. Vì $BC=AB+AC$: $h\cot 48^{\circ }=24+h\cot 63^{\circ }$, suy ra $h=\frac{24}{\cot 48^{\circ }-\cot 63^{\circ }}=\frac{24}{0,9004-0,5095}\approx \frac{24}{0,3909}\approx 61,4$ m. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có a=3, b=4, c=5 (cm). Nửa chu vi p=(3+4+5)/2=6 cm, nên mệnh đề (a) p=12 cm là SAI (12 là chu vi, không phải nửa chu vi). Mệnh đề (b): công thức Heron $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ là công thức đúng → ĐÚNG. Mệnh đề (c): $S=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\sqrt{36}=6c{m}^2$ → ĐÚNG (thực tế tam giác 3-4-5 vuông tại A? kiểm tra: 3²+4²=5² nên vuông, S=3·4/2=6, khớp). Mệnh đề (d): $R=\frac{abc}{4S}=\frac{3\cdot 4\cdot 5}{4\cdot 6}=\frac{60}{24}=2,5cm\ne 3,5cm$ → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
p=(3+4+5)/2=6 cm, không phải 12 cm (12 là chu vi).
b) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là công thức Heron tính diện tích tam giác theo ba cạnh.
c) (AI giải đề cho tôi)
S=√(6·3·2·1)=√36=6 cm²; tam giác 3-4-5 vuông nên S=3·4/2=6, khớp.
d) (AI giải đề cho tôi)
R=abc/(4S)=60/24=2,5 cm ≠ 3,5 cm.