Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Với $a=52,1$, $b=85$, $c=54$:
- (a) Theo định lí cosin: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ — đúng.
- (b) $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{7225+2916-2714,41}{2\cdot 85\cdot 54}=\frac{7426,59}{9180}\approx 0,8090\Rightarrow A\approx 36^{\circ }\ne 32^{\circ }$ — sai.
- (c) $\cos B=\frac{2714,41+2916-7225}{2\cdot 52,1\cdot 54}=\frac{-1594,59}{5626,8}\approx -0,2834\Rightarrow B\approx 106,5^{\circ }\ne 126^{\circ }$ — sai.
- (d) $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{2714,41+7225-2916}{2\cdot 52,1\cdot 85}=\frac{7023,41}{8857}\approx 0,7930\Rightarrow C\approx 37,5^{\circ }\approx 38^{\circ }$ — đúng.
Kiểm tra: $36^{\circ }+106,5^{\circ }+37,5^{\circ }=180^{\circ }$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là công thức định lí cosin áp dụng cho góc $B$: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\approx 0,8090\Rightarrow A\approx 36^{\circ }$, không phải $32^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\approx -0,2834\Rightarrow B\approx 106,5^{\circ }$, không phải $126^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\approx 0,7930\Rightarrow C\approx 37,5^{\circ }\approx 38^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác có các cạnh 7, 9, 12 nên nửa chu vi $p=\frac{7+9+12}{2}=14$ (đúng). Diện tích theo Heron: $S=\sqrt{14(14-7)(14-9)(14-12)}=\sqrt{14\cdot 7\cdot 5\cdot 2}=\sqrt{980}=14\sqrt{5}$, nên $S=13\sqrt{5}$ là sai. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{abc}{4S}=\frac{7\cdot 9\cdot 12}{4\cdot 14\sqrt{5}}=\frac{756}{56\sqrt{5}}=\frac{27}{2\sqrt{5}}=\frac{27\sqrt{5}}{10}\approx 6,04$, khác $\frac{7\sqrt{5}}{10}\approx 1,565$ nên sai. Bán kính đường tròn nội tiếp $r=\frac{S}{p}=\frac{14\sqrt{5}}{14}=\sqrt{5}\ne \sqrt{3}$ nên sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$p=\frac{7+9+12}{2}=14$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$S=\sqrt{14\cdot 7\cdot 5\cdot 2}=14\sqrt{5}\ne 13\sqrt{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{abc}{4S}=\frac{7\cdot 9\cdot 12}{4\cdot 14\sqrt{5}}=\frac{27}{2\sqrt{5}}=\frac{27\sqrt{5}}{10}\approx 6,04\ne \frac{7\sqrt{5}}{10}\approx 1,565$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$r=\frac{S}{p}=\sqrt{5}\ne \sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng ba góc: $\hat{B}=180^{\circ }-135^{\circ }-15^{\circ }=30^{\circ }$ → (a) đúng. Định lý sin: $\frac{a}{\sin 135^{\circ }}=\frac{b}{\sin 30^{\circ }}=\frac{12}{1/2}=24$, nên $a=24\sin 135^{\circ }=24\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=12\sqrt{2}$ → (b) đúng. $c=24\sin 15^{\circ }\approx 24\cdot 0,2588\approx 6,21\ne 8,21$ → (c) sai. $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{12\sqrt{2}}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=12\ne 15$ → (d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\hat{B}=180^{\circ }-135^{\circ }-15^{\circ }=30^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $a=\frac{b\sin A}{\sin B}=\frac{12\sin 135^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=12\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$c=\frac{12\sin 15^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=24\sin 15^{\circ }\approx 6,21$, không phải $8,21$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=12\ne 15$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<A<180^{\circ }$ nên $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$ → (a) đúng. Diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14$ → (b) đúng. Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=74-42=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}\ne 3\sqrt{2}$ → (c) sai. Nửa chu vi $p=\frac{4\sqrt{2}+12}{2}=6+2\sqrt{2}$, bán kính nội tiếp $r=\frac{S}{p}=\frac{14}{6+2\sqrt{2}}=\frac{14(6-2\sqrt{2})}{28}=3-\sqrt{2}\ne 4-\sqrt{2}$ → (d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<A<180^{\circ }$ nên $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a^2=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}\ne 3\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$p=6+2\sqrt{2}$, $r=\frac{S}{p}=\frac{14}{6+2\sqrt{2}}=3-\sqrt{2}\ne 4-\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Từ $\frac{5}{\sin A}=\frac{4}{\sin B}=\frac{3}{\sin C}$ suy ra $\sin A:\sin B:\sin C=\frac{1}{5}:\frac{1}{4}:\frac{1}{3}=12:15:20$... kiểm tra lại: nhân với 60 được $12:15:20$, nhưng cách đúng là $\frac{a}{\sin A}=k$ nên $\sin A=\frac{5}{k^{\prime }},...$ Thực chất: $\frac{5}{\sin A}=\frac{4}{\sin B}=\frac{3}{\sin C}=t$ cho $\sin A=\frac{5}{t},\sin B=\frac{4}{t},\sin C=\frac{3}{t}$, do đó $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C=5:4:3$. Với $a=10$ thì $b=8$, $c=6$. Chu vi $=10+8+6=24$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đường trung tuyến: $A{M}^2=\frac{2A{B}^2+2A{C}^2-B{C}^2}{4}$. Suy ra $B{C}^2=2A{B}^2+2A{C}^2-4A{M}^2=2\cdot 16+2\cdot 100-4\cdot 36=32+200-144=88$. Vậy $BC=\sqrt{88}=2\sqrt{22}\approx 9,3808\approx 9,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác ABD có AB = 4, AD = BC = 5, BD = 7. Theo định lí cosin: $\cos \widehat{BAD}=\frac{A{B}^2+A{D}^2-B{D}^2}{2\cdot AB\cdot AD}=\frac{16+25-49}{40}=-\frac{1}{5}$. Vì $\widehat{ABC}=180^{\circ }-\widehat{BAD}$ nên $\cos \widehat{ABC}=\frac{1}{5}$. Xét tam giác ABC theo định lí cosin: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \widehat{ABC}=16+25-2\cdot 4\cdot 5\cdot \frac{1}{5}=41-8=33$. Vậy $AC=\sqrt{33}\approx 5,7$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại B nên góc B = 90°, cạnh b = BC... thực tế b là cạnh huyền (đối diện góc B).

1) Tính góc C: vì A + B + C = 180° nên $C=180^{\circ }-90^{\circ }-62^{\circ }=28^{\circ }$.

2) Tính cạnh a (đối diện góc A): trong tam giác vuông, $\sin A=\frac{a}{b}$ nên
$$a=b\sin A=54\sin 62^{\circ }\approx 54\cdot 0,8829\approx 47,68.$$

3) Tính cạnh c (đối diện góc C): $\cos A=\frac{c}{b}$ nên
$$c=b\cos A=54\cos 62^{\circ }\approx 54\cdot 0,4695\approx 25,35.$$
(Kiểm tra: $a^2+c^2\approx 47,68^2+25,35^2\approx 2918\approx 54^2$, đúng.)

4) Tính đường cao $h_b$ từ B xuống cạnh huyền BC... chính xác là đường cao từ đỉnh B xuống cạnh huyền b: diện tích tam giác $S=\frac{1}{2}ac=\frac{1}{2}b{h}_b$ nên
$$h_b=\frac{ac}{b}=\frac{47,68\cdot 25,35}{54}\approx 22,37.$$

Kết quả: $C=28^{\circ }$, $a\approx 47,68$, $c\approx 25,35$, $h_b\approx 22,37$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại A nên $C=90^{\circ }-B=90^{\circ }-34^{\circ }=56^{\circ }$.

Cạnh huyền $a$ đối diện góc vuông A, cạnh $b$ đối diện góc B:
$$a=\frac{b}{\sin B}=\frac{43}{\sin 34^{\circ }}\approx \frac{43}{0,5592}\approx 76,90.$$

Cạnh $c$ đối diện góc C:
$$c=\frac{b}{\tan B}=\frac{43}{\tan 34^{\circ }}\approx \frac{43}{0,6745}\approx 63,75.$$

Đường cao $h_a$ từ A xuống cạnh huyền BC, dùng diện tích:
$$S=\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}a{h}_a\Rightarrow h_a=\frac{bc}{a}\approx \frac{43\cdot 63,75}{76,90}\approx 35,65.$$

Vậy $C=56^{\circ }$, $a\approx 76,90$, $c\approx 63,75$, $h_a\approx 35,65$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài giải Câu 49: Cho $a=21$cm, $b=17$cm, $c=10$cm.

a) Theo định lí cosin:
$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{17^2+10^2-21^2}{2\cdot 17\cdot 10}=\frac{289+100-441}{340}=\frac{-52}{340}=-\frac{13}{85}\approx -0,1529$, nên $A\approx 98^{\circ }48^{\prime }$ (góc tù).

$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{441+100-289}{420}=\frac{252}{420}=0,6$, nên $B\approx 53^{\circ }{8}^{\prime }$.

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{441+289-100}{714}=\frac{630}{714}=\frac{15}{17}$, nên $C\approx 28^{\circ }{4}^{\prime }$.

Kiểm tra: $A+B+C\approx 180^{\circ }$.

b) Diện tích: $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 17\cdot 10\cdot \frac{84}{85}=84$ (cm²).
(Chú ý: $\sin A=\sqrt{1-{\left(-\frac{13}{85}\right)}^2}=\frac{84}{85}$. Kiểm tra bằng công thức Heron: $p=\frac{21+17+10}{2}=24$, $S=\sqrt{24\cdot 3\cdot 7\cdot 14}=\sqrt{7056}=84$ cm².)

c) Bán kính đường tròn nội tiếp: $r=\frac{S}{p}=\frac{84}{24}=3,5$ cm.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{abc}{4S}=\frac{21\cdot 17\cdot 10}{4\cdot 84}=\frac{3570}{336}=10,625$ cm.

d) Chiều cao: $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{168}{21}=8$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a=BC$, $b=AC=8$ cm, $c=AB=5$ cm, $A=60^0$.

a) Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=64+25-2\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=89-40=49\Rightarrow BC=7$ cm.

b) $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$ cm${}^2\approx 17,32$ cm${}^2$.

c) Theo định lí cosin: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{49+25-64}{2\cdot 7\cdot 5}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}>0$ nên góc $B$ nhọn. Vậy $B=\arccos \frac{1}{7}\approx 81^{0}47^{\prime }\approx 81,79^0$.

d) Đường cao từ $A$: $AH=c\sin B=5\cdot \sqrt{1-\frac{1}{49}}=5\cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}=\frac{20\sqrt{3}}{7}\approx 4,95$ cm. (Kiểm tra: $AH=\frac{2S}{a}=\frac{20\sqrt{3}}{7}$.)

e) Theo định lí sin: $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}\approx 4,04$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $AB=15m$, $BC=18m$, $\widehat{ABC}=120^{\circ }$:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 120^{\circ }=15^2+18^2-2\cdot 15\cdot 18\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=225+324+270=819.$$
Vậy $AC=\sqrt{819}\approx 28.6m$.
Độ dài dây điện nối từ nhà đến cột điện khoảng $28.6m$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $t$ (giờ) là thời gian đi. Sau $t$ giờ, tàu thứ nhất đi được $AB=8t$ (hải lí), tàu thứ hai đi được $AC=10t$ (hải lí), với góc $BAC=120^{\circ }$.

Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 120^{\circ }$$
$$B{C}^2=(8t{)}^2+(10t{)}^2-2\cdot 8t\cdot 10t\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=64t^2+100t^2+80t^2=244t^2$$

Theo đề bài $BC=60$ hải lí nên:
$$244t^2=3600\Rightarrow t^2=\frac{3600}{244}\Rightarrow t=\frac{60}{\sqrt{244}}\approx 3.841\text{ (giờ)}$$

Vậy sau khoảng $3.8$ giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là $60$ hải lí. (Hình minh họa không có trong tài liệu gốc nhưng dữ kiện đề đủ để giải, không cần hình.)

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho Câu 53 tồn tại ở trang 20 (tháp $BC$ trên đồi, góc $30^{\circ }$ tại $B$, góc $60^{\circ }$ tại $C$ so với phương thẳng đứng, $AH=h$ là chiều cao đồi).

Gọi $d$ là khoảng cách ngang từ $A$ đến đường thẳng đứng qua tháp, $AH=h$ là chiều cao đồi.

Từ $C$ (chân tháp, cao hơn $A$ một đoạn $h$), điểm $A$ được nhìn dưới góc $60^{\circ }$ so với phương thẳng đứng, nên $\tan 60^{\circ }=\frac{d}{h}\Rightarrow d=h\sqrt{3}$.

Từ $B$ (đỉnh tháp, cao hơn $A$ một đoạn $h+100$), điểm $A$ được nhìn dưới góc $30^{\circ }$ so với phương thẳng đứng, nên $\tan 30^{\circ }=\frac{d}{h+100}\Rightarrow d=\frac{h+100}{\sqrt{3}}$.

Suy ra $h\sqrt{3}=\frac{h+100}{\sqrt{3}}\Rightarrow 3h=h+100\Rightarrow 2h=100\Rightarrow h=50$.

Vậy chiều cao ngọn đồi $AH=50m$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, ta có $\hat{A}=\widehat{CAB}=45^{\circ }$, $\hat{B}=\widehat{CBA}=70^{\circ }$, nên $\hat{C}=180^{\circ }-45^{\circ }-70^{\circ }=65^{\circ }$.

Theo định lí sin:
$$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\Rightarrow \frac{AC}{\sin 70^{\circ }}=\frac{40}{\sin 65^{\circ }}$$

Suy ra
$$AC=\frac{40\cdot \sin 70^{\circ }}{\sin 65^{\circ }}\approx \frac{40\cdot 0,9397}{0,9063}\approx 41,5\text{m}.$$

Vậy khoảng cách từ $A$ đến gốc cây $C$ xấp xỉ $41,5$ m (làm tròn đến hàng phần chục).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $D$ là chân tháp, $C$ là chân giác kế, $CD=60m$, $OC=1m$ với $OC\perp CD$. Kẻ $OH\perp AD$ tại $H$ (với $A$ là đỉnh tháp), khi đó $OH=CD=60m$ và $AH=AD-OC$. Trong tam giác vuông $AOH$ có $\widehat{AOH}=60^{\circ }$, nên $AH=OH\cdot \tan 60^{\circ }=60\sqrt{3}\approx 103,92m$. Vậy chiều cao tháp $AD=AH+OC=60\sqrt{3}+1\approx 104,92\approx 105m$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại A, AB=√3, AC=2√3.
(a) Theo định lý Pythagoras: BC² = AB² + AC² = 3 + 12 = 15, nên BC = √15. Mệnh đề (a) đúng.
(b) M là trung điểm BC nên trong tam giác vuông, AM = BC/2 = √15/2 ≈ 1,936, khác √15/4. Mệnh đề (b) sai.
(c) Diện tích tam giác: (1/2)AB·AC = (1/2)AH·BC nên AB·AC = AH·BC = √3·2√3 = 6. Mệnh đề (c) đúng.
(d) AH = 6/√15 = 6√15/15 = 2√15/5 ≈ 1,549, khác √15/5 ≈ 0,775. Mệnh đề (d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
BC² = AB² + AC² = 3 + 12 = 15 (Pythagoras, vuông tại A).
b) (AI giải đề cho tôi)
AM = BC/2 = √15/2, không phải √15/4.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB·AC = AH·BC = 6 (từ diện tích tam giác vuông).
d) (AI giải đề cho tôi)
AH = 6/√15 = 2√15/5 ≈ 1,549, không phải √15/5.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng phát biểu: A đúng vì $S=\frac{abc}{4R}$ là công thức diện tích tam giác theo bán kính đường tròn ngoại tiếp. B sai vì định lý sin cho $\frac{a}{\sin A}=2R$, tức $R=\frac{a}{2\sin A}$, không phải $R=\frac{a}{\sin A}$. C đúng vì $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ (tích hai cạnh $b=CA$, $a=BC$ kẹp góc $C$). D đúng vì định lý cosin: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\Rightarrow a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$. Vậy phát biểu sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=100-48=52$, nên $b=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC với góc C = 56°16' ≈ 56,2667°: $A{B}^2=C{A}^2+C{B}^2-2\cdot CA\cdot CB\cdot \cos C=200^2+180^2-2\cdot 200\cdot 180\cdot \cos 56^{\circ }16^{\prime }\approx 40000+32400-72000\cdot 0,5556\approx 32397$. Suy ra $AB\approx \sqrt{32397}\approx 180m$. Vậy chọn đáp án A.