Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=-2$, trên hai nhánh giới hạn đều là $+\infty$, có cực đại $y=-2$ tại $x=-3$ và cực tiểu $y=2$ tại $x=-1$. Xét $y=\frac{x^2+4x+5}{x+2}$ (đáp án B): tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$; $y^{\prime }=\frac{(2x+4)(x+2)-(x^2+4x+5)}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x+3}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}$. Trên $(-\infty ,-2)$: $y^{\prime }>0$ khi $x<-3$, $y^{\prime }<0$ khi $-3<x<-2$ nên cực đại tại $x=-3$ với $y(-3)=\frac{9-12+5}{-1}=-2$; trên $(-2,+\infty )$: $y^{\prime }<0$ khi $-2<x<-1$, $y^{\prime }>0$ khi $x>-1$ nên cực tiểu tại $x=-1$ với $y(-1)=\frac{1-4+5}{1}=2$. Khi $x\to (-2{)}^{\pm }$, $y\to +\infty$. Tất cả khớp bảng biến thiên. Các phương án khác: A có tiệm cận đứng $x=2$ (loại); C có $y^{\prime }=\frac{-3}{(x-2{)}^2}<0$ (loại); D là đa thức bậc 3 (loại). Đáp án khớp với mã đề 0102: B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-x^3+3x+1$: $y^{\prime }=-3x^2+3$, $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$. Với $x<-1$ hoặc $x>1$ thì $y^{\prime }<0$ (nghịch biến), với $-1<x<1$ thì $y^{\prime }>0$ (đồng biến). Giá trị: $y(-1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu), $y(1)=-1+3+1=3$ (cực đại), và ${\lim }_{x\to -\infty }y=+\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$. Khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án khác: B có tiệm cận đứng $x=0$; C có tiệm cận đứng $x=1$; D có $y(-1)=2$, $y(1)=-2$ ngược dấu với bảng. Đáp án A trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, Câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-2$, với nhánh trái ($x<1$) đi lên tới $+\infty$ khi $x\to 1^{-}$ và nhánh phải ($x>1$) đi xuống tới $-\infty$ khi $x\to 1^{+}$. Xét $y=\frac{-2x+1}{x-1}=-2-\frac{1}{x-1}$: có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-2$; với $x<1$ thì $y>-2$ và $y\to +\infty$ khi $x\to 1^{-}$; với $x>1$ thì $y<-2$ và $y\to -\infty$ khi $x\to 1^{+}$; $y(0)=-1$ khớp giao với trục tung. Các phương án khác: B có tiệm cận $x=-1$, $y=1$; C là hàm bậc ba không có tiệm cận; D có tiệm cận xiên (bậc tử bằng bậc mẫu +1). Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy hàm số có tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=1$, và nghịch biến trên cả hai khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$. Xét $y=\frac{x+1}{x-2}$: có $y^{\prime }=\frac{(x-2)-(x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-3}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$, nên hàm nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$. Khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to -\infty$; khi $x\to 2^{+}$ thì $y\to +\infty$; khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to 1$. Điều này khớp hoàn toàn với bảng biến thiên. Các phương án khác: A có tiệm cận đứng $x=-2$; C có $y=\frac{x^2+1}{x-1}$ với $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-1}{(x-1{)}^2}$ đổi dấu (có cực trị); D là đa thức không có tiệm cận. Đáp án khớp với mã đề 0101: B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$ (khi $x\to -1^{-}$ thì $f(x)\to 2$, khi $x\to -1^{+}$ thì $f(x)\to +\infty$); khi $x\to -\infty$, $f(x)\to -\infty$ và khi $x\to +\infty$, $f(x)\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang. a) Sai: đồ thị chỉ có đúng một đường tiệm cận (đứng $x=-1$). b) Đúng: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(3;+\infty )$ nên hàm đồng biến trên khoảng này. c) Đúng: $x=-1$ là điểm không xác định (không phải cực trị), chỉ có $x=3$ là điểm cực tiểu, vậy hàm có đúng một điểm cực trị. d) Sai: trên $[3;2025]$ có $f^{\prime }(x)\ge 0$ nên $h^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)+2025>0$, hàm $h$ đồng biến, giá trị nhỏ nhất tại $x=3$: $h(3)=2f(3)+2025\cdot 3=2\cdot (-4)+6075=6067\ne 6083$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị chỉ có một tiệm cận đứng $x=-1$; khi $x\to \pm \infty$ thì $f(x)\to \pm \infty$ nên không có tiệm cận ngang.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)>0$ trên $(3;+\infty )$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x=-1$ không thuộc tập xác định nên không phải cực trị; chỉ có $x=3$ là điểm cực trị (cực tiểu).
d) (AI giải đề cho tôi)
$h^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)+2025>0$ trên $[3;2025]$ nên $\min h=h(3)=2(-4)+6075=6067\ne 6083$.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên có 3 điểm tới hạn $x=-1,0,1$, giá trị lớn nhất $y(0)=3$, giá trị nhỏ nhất $y(\pm 1)=0$, hàm số bậc 4 với $y\to +\infty$ khi $x\to \pm \infty$. Xét $y=3x^4-6x^2+3$: có $y^{\prime }=12x^3-12x=12x(x-1)(x+1)$ nên các điểm tới hạn là $x=-1,0,1$; $y(0)=3$ (cực đại), $y(\pm 1)=3-6+3=0$ (cực tiểu), dấu $y^{\prime }$: âm trên $(-\infty ;-1)$, dương trên $(-1;0)$, âm trên $(0;1)$, dương trên $(1;+\infty )$ — khớp hoàn toàn với bảng biến thiên. Các phương án A, C là hàm bậc 3 (chỉ 2 điểm tới hạn), D là $-x^4+2x^2$ có $y\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$ và $y(0)=0$, đều loại. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ (loại D vì D có tiệm cận đứng $x=-2$). Tiệm cận xiên là đường nét đứt đi qua $(0;1)$ và có hệ số góc $1$, tức $y=x+1$. Phép chia: $\frac{x^2-x-1}{x-2}=x+1+\frac{1}{x-2}$ (tiệm cận xiên $y=x+1$); $\frac{x^2+x-1}{x-2}=x+3+\frac{5}{x-2}$ (tiệm cận xiên $y=x+3$); $\frac{x^2-x+1}{x-2}=x+1+\frac{3}{x-2}$ (tiệm cận xiên $y=x+1$ nhưng $y(0)=-\frac{1}{2}$, trong khi đồ thị cắt trục tung tại điểm dương khoảng $0,5$). Với $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$: $y(0)=\frac{1}{2}>0$ khớp hình vẽ, và nhánh trái có cực đại gần $x\approx 0,4$ với giá trị dương nhỏ, nhánh phải tăng lên sau khi qua tiệm cận đứng — hoàn toàn phù hợp. Vậy đồ thị là của hàm số $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$. a) Hàm $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $ad-bc\ne 0$ có $y^{\prime }=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}\ne 0$ nên không có cực trị → sai. b) Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(-1;1)$, không phải $(1;0)$ → sai. c) Trên $(1;3)$ (nhánh phải của $x=-1$) hàm số nghịch biến nên GTLN trên $[1;3]$ là $f(1)$, không phải $f(3)$ → sai. d) Tiệm cận ngang là $y=1$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}\ne 0$ nên hàm số không có điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm hai tiệm cận $x=-1$ và $y=1$, tức $I(-1;1)$, không phải $(1;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[1;3]$ hàm số nghịch biến nên giá trị lớn nhất đạt tại $x=1$, tức là $f(1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=1$ như hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận ngang $y=1$, hai nhánh đều nghịch biến. Loại C vì tiệm cận đứng là $x=2$. Loại D vì $y=\frac{2x+2}{x+2}=2-\frac{2}{x+2}$ có tiệm cận ngang $y=2$. Xét A: $y=\frac{x-3}{x+2}=-1-\frac{1}{x+2}$ có tiệm cận ngang $y=-1$, không khớp. Xét B: $y=\frac{x+4}{x+2}=1+\frac{2}{x+2}$ có tiệm cận đứng $x=-2$, tiệm cận ngang $y=1$, nghịch biến trên từng nhánh, khớp hoàn toàn với hình vẽ. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-6x^2+9x-1$, ta có $y^{\prime }=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$, nghịch biến trên $(1;3)$. Cực đại tại $x=1$: $y_{CD}=1-6+9-1=3$; cực tiểu tại $x=3$: $y_{CT}=27-54+27-1=-1$. a) Bảng biến thiên trong hình (đồng biến đến $x=1$ đạt $3$, nghịch biến đến $x=3$ đạt $-1$, rồi đồng biến lên $+\infty$) khớp với tính toán → đúng. b) Trên $(1;2)\subset (1;3)$ hàm số nghịch biến → đúng. c) $y_{CD}+3y_{CT}=3+3(-1)=0\ne -1$ → sai. d) Đường thẳng qua hai điểm cực trị $(1;3)$ và $(3;-1)$ có hệ số góc $\frac{-1-3}{3-1}=-2$, phương trình $y=-2x+5$. Tại $x=0$ thì $y=5\ne 4$, nên $A(0;4)$ không thuộc đường thẳng này → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3(x-1)(x-3)$; hàm đồng biến trên $(-\infty ;1),(3;+\infty )$, nghịch biến trên $(1;3)$, $y_{CD}=3$ tại $x=1$, $y_{CT}=-1$ tại $x=3$, khớp bảng biến thiên trong hình.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $(1;2)\subset (1;3)$ và $y^{\prime }<0$ trên $(1;3)$ nên hàm số nghịch biến trên $(1;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y_{CD}=3$, $y_{CT}=-1$ nên $y_{CD}+3y_{CT}=3-3=0\ne -1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $(1;3)$ và $(3;-1)$ là $y=-2x+5$; tại $x=0$ có $y=5\ne 4$ nên $A(0;4)$ không thuộc đường thẳng này.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường cong bậc ba đi từ dưới trái lên trên phải, có một điểm cực đại (hoành độ âm, giá trị dương) và một điểm cực tiểu (hoành độ dương, giá trị âm), đồng thời cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương nhỏ. Loại A (parabol bậc hai) và C (bậc four có dạng chữ U). Xét B: y=-x³+3x+1 có y'=-3x²+3, cực đại tại x=1 (bên phải) — trái với đồ thị. Xét D: y=x³-3x+1 có y'=3x²-3=0 tại x=±1; cực đại tại x=-1 với y=3 (bên trái, dương), cực tiểu tại x=1 với y=-1 (bên phải, âm), y(0)=1>0. Khớp hoàn toàn với đồ thị nên chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba với cực đại bên trái trục tung, cực tiểu bên phải và giao với trục Oy tại điểm có tung độ dương. Loại B (bậc bốn dạng W). Với $y=x^3-3x-2$ (C) thì $y(0)=-2<0$, không phù hợp. Với $y=-x^3+12x+2$ (A) thì cực tiểu bên trái, cực đại bên phải (ngược hình vẽ). Với $y=x^3-12x+2$ (D): $y^{\prime }=3x^2-12=0\Rightarrow x=\pm 2$, cực đại tại $x=-2$ (bên trái), cực tiểu tại $x=2$ (bên phải), $y(0)=2>0$ — khớp hoàn toàn với đồ thị.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường cong phân giác (hyperbol) có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$ (đường tiệm cận ngang cắt trục tung tại điểm được đánh dấu 1). Với $y=\frac{x+1}{x-1}$: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$ (tỉ số hệ số cao nhất $1/1$), và $y(0)=-1<0$ khớp với nhánh trái nằm dưới trục hoành gần gốc tọa độ; nhánh phải $x>1$ cho $y>0$ đi lên từ $+\infty$ rồi tiệm cận về $1$, đúng như hình. Loại A vì tiệm cận ngang là $y=2$; loại B, C vì là đồ thị hàm bậc ba không có tiệm cận. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$, nghịch biến trên $(-2;-1)$ và $(-1;3)$, đồng biến trên $(3;+\infty )$; $f(-2)=-4$, $f(3)=0$; tại $x=-1$ hàm số không xác định (giới hạn bên trái là $-\infty$, bên phải là $+\infty$) nên $x=-1$ là tiệm cận đứng; khi $x\to \pm \infty$ thì $f(x)\to \pm \infty$ nên không có tiệm cận ngang.
a) Sai: hàm số nghịch biến trên $(-2;-1)$, không nghịch biến trên toàn khoảng $(-2;0)$ (trên $(0;3)$ hàm vẫn nghịch biến nhưng tại $x=-1$ hàm không xác định nên không thể nói nghịch biến trên $(-2;0)$).
b) Sai: vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ nên đồ thị không có tiệm cận ngang (chỉ có tiệm cận đứng $x=-1$).
c) Đúng: hàm số đồng biến rồi nghịch biến khi qua $x=-2$ với $f(-2)=-4$, nên điểm cực đại là $(-2;-4)$.
d) Sai: hàm số không bị chặn trên (giá trị tiến đến $+\infty$) nên không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên $(-2;-1)$ và $(-1;3)$ nhưng tại $x=-1$ hàm không xác định, nên không nghịch biến trên toàn khoảng $(-2;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\pm \infty$, đồ thị không có tiệm cận ngang (chỉ có tiệm cận đứng $x=-1$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và nghịch biến trên $(-2;-1)$, $f(-2)=-4$, nên điểm cực đại là $(-2;-4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số không bị chặn trên ($f(x)\to +\infty$), nên không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ nên $cx+b=0\iff x=-\frac{b}{c}=2\Rightarrow b=-2c$. Đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$ (mốc $-1$ trên trục $Oy$) nên $\frac{2}{b}=-1\Rightarrow b=-2$, suy ra $c=1$. Kiểm tra: $y=\frac{2}{x-2}$ có tiệm cận đứng $x=2$, $y(0)=-1$, khớp hình vẽ. Vậy $b=-2,c=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường cong bậc ba với hai cực trị: cực tiểu $y=-2$ tại $x=0$ và cực đại $y=2$ tại $x=2$, đồng thời khi $x\to -\infty$ thì $y\to +\infty$ (nhánh trái đi lên). Xét $y=-x^3+3x^2-2$: có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$, cho $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=2$; $y^{\prime \prime }=-6x+6$ nên $y^{\prime \prime }(0)=6>0$ (cực tiểu $y(0)=-2$) và $y^{\prime \prime }(2)=-6<0$ (cực đại $y(2)=2$). Vì hệ số của $x^3$ âm nên khi $x\to -\infty$, $y\to +\infty$: khớp với hình vẽ. Hàm ở phương án D cũng có các cực trị cùng tọa độ nhưng khi $x\to -\infty$ thì $y\to -\infty$, không khớp nhánh trái đi lên của đồ thị. Hai phương án A, B là parabol bậc hai, loại. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}=1-\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, giao với trục tung tại điểm $(0;2)$ và hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Trong các hình đã cho, hình phù hợp với các đặc điểm này là hình (VI) (hình có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$ và đồ thị đi qua điểm $(0;2)$). Vậy đáp án là A. (VI). Kết quả này trùng với đáp án của đề (mã đề 0102, câu 6: A).

Đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$ có đường tiệm cận đứng là $x=1$, và đường tiệm cận ngang là $y=1$. Loại được hình (III). Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(2;0)$, $(0;2)$ nên chọn hình số (IV).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, đồ thị đi qua điểm $(0;2)$ và cắt trục hoành tại $x=2$. Xét $y=\frac{x-2}{x-1}$: có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$; $y(0)=\frac{-2}{-1}=2$; $y=0\iff x=2$. Đồng thời $y^{\prime }=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên mỗi nhánh, phù hợp hình vẽ. Các phương án khác: A có $y(0)=-2$; B có TCĐ $x=2$; C có TCĐ $x=-1$, đều loại. Vậy đáp án là D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Nhìn đồ thị: hàm bậc ba đi lên từ $-\infty$ đến $+\infty$ nên $a>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương (điểm cực đại nằm bên trái trục $Oy$ và đồ thị đi qua trục tung phía trên gốc $O$), nên $d>0$. Hàm có cực đại tại $x_1<0$ và cực tiểu tại $x_2>0$. Phương trình $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm $x_1<0<x_2$. Theo Vi-ét: $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0\Rightarrow b<0$ (vì $a>0$); $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0\Rightarrow c<0$ (vì $a>0$). Vậy $a>0,b<0,c<0,d>0$, khớp với đáp án B trong đề.