Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

a) Đúng: Trên khoảng $(0;1)$, đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến.
b) Sai: Từ đồ thị ta có ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$.
c) Đúng: Đường tiệm cận xiên của đồ thị đi qua hai điểm $(0;1)$ và $(1;2)$ nên có phương trình là $y=x+1$.
d) Đúng: Tiệm cận xiên $y=x+1\Rightarrow a=1,b=1$. Tiệm cận đứng $x=1\Rightarrow d=-1$. Đồ thị đi qua gốc tọa độ $(0;0)\Rightarrow 0=b+\frac{c}{d}=1-c\Rightarrow c=1$. Suy ra $a+b+c+d=1+1+1-1=2$.

a) Đúng: $y^{\prime }=\frac{(-6x-2)(3x-1)-3(-3x^2-2x-2)}{(3x-1{)}^2}=\frac{-9x^2+6x+8}{(3x-1{)}^2}$.
b) Sai: Hàm số không xác định tại $x=\frac{1}{3}\in \left(-\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)$.
c) Sai: Đường thẳng qua hai điểm cực trị là $y=-2x-\frac{2}{3}$ có hệ số góc $k=-2$, còn $d_1$ có hệ số góc $k_1=-\frac{1}{2}\Rightarrow k\cdot k_1=1\ne -1$.
d) Đúng: Hai điểm cực trị là $A\left(-\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$ và $B\left(\frac{4}{3};-\frac{10}{3}\right)$ có trung điểm $I\left(\frac{1}{3};-\frac{4}{3}\right)\in \Delta$ và $\overrightarrow{AB}=(2;-4)$ cùng phương với ${\vec{n}}_{\Delta }=(1;-2)$ nên $AB\perp \Delta$.

Ta có $f(x)=x+2+\frac{1}{x-1}$ và $f^{\prime }(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$.
a) Sai: Hàm số đạt cực đại $f(0)=1$ và cực tiểu $f(2)=5$, nên tập giá trị là $(-\infty ;1]\cup [5;+\infty )$.
b) Đúng: Tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x+2$, giao điểm là $I(1;3)$.
c) Đúng: Hai điểm cực trị $A(0;1),B(2;5)$ đi qua đường thẳng $y=2x+1$, chứa điểm $M(3;7)$.
d) Đúng: Tiệm cận xiên $\Delta :x-y+2=0$, khoảng cách $d(O,\Delta )=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.

a) Đúng: Đồ thị có cực tiểu $(0;1)$ và cực đại $(1;2)\Rightarrow f(t)=-2t^3+3t^2+1$.
b) Sai: Cực đại đạt tại $t=1$ năm.
c) Đúng: Trên $[0;1]$, $f^{\prime }(t)=6t(1-t)\ge 0$ nên hàm số đồng biến.
d) Sai: $f(1,5)=-2(1,5{)}^3+3(1,5{)}^2+1=1$ (tỷ đồng/năm).

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 1101 (trang 17): Chọn C ($6$).

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 1001/0001 (trang 15): Chọn D (Hàm số gián đoạn tại $x=-1\in (-2;0)$ nên khẳng định D sai).

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 1001 (trang 5): a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

a) Sai. Thực hiện phép chia đa thức: $y=-x+3-\frac{8}{x+2}$. Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận đứng là $x=-2$ và đường tiệm cận xiên là $y=-x+3$. Tâm đối xứng của $(C)$ là điểm $I(-2;5)$.
b) Đúng. Phương trình hoành độ giao điểm của $\Delta$ và $(C)$: $\frac{-x^2+x-2}{x+2}=\frac{-x-2}{2}\iff x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=6$. Ta có $A(0;-1)$ và $B(6;-4)$, nên $S_{△OAB}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 6=3$.
c) Đúng. Đường tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$ là đường thẳng $y=-x+3$.
d) Sai. Đường thẳng $CD$ song song với $AB$ có dạng $x+2y+m=0$ ($m\ne 2$). Từ $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=(6;-3)\Rightarrow x_C-x_D=6$, giải được $m=-18$. Khoảng cách giữa $AB$ và $CD$ là $d(AB,CD)=\frac{|2-(-18)|}{\sqrt{1^2+2^2}}=4\sqrt{5}\ne 5$.

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x=-2\Rightarrow d=2c$ và đường tiệm cận ngang $y=3\Rightarrow \frac{3}{c}=3\iff c=1\Rightarrow d=2$. Đồ thị cắt trục tung tại $(0;6)\Rightarrow \frac{b}{d}=6\Rightarrow b=12$. Vậy $T=2b+3c-4d=2(12)+3(1)-4(2)=19$.

Ta có $y=x+2+\frac{1}{x+2}$.
a) Đúng. Hàm số xác định khi $x+2\ne 0\iff x\ne -2$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$.
b) Sai. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }[y-(x+2)]=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x+2$.
c) Đúng. Tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên $y=x+2$ cắt nhau tại $I(-2;0)$, đây là tâm đối xứng của $(C)$.
d) Sai. $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}$. Hai điểm cực trị của đồ thị là $A(-1;2),B(-3;-2)$ nên $AB=\sqrt{(-2{)}^2+(-4{)}^2}=2\sqrt{5}\ne 2\sqrt{11}$.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, $y=x+\frac{1}{x+1}$, $y^{\prime }=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$.
a) Sai: Vì hàm số không xác định tại $x=-1\in (-2;0)$ nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-2;-1)$ và $(-1;0)$, không nghịch biến trên $(-2;0)$.
b) Đúng: Tiệm cận xiên là $y=x$.
c) Đúng: Tiếp tuyến tại $x=1$ là $d:y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}$, giao điểm với $y=x$ là $M(3;3)$.
d) Sai: Hai điểm cực trị là $(0;1)$ và $(-2;-3)$, đường thẳng đi qua hai điểm này là $y=2x+1$.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ nên $c=-2$. $y(0)=2\Rightarrow \frac{b}{c}=2\Rightarrow b=-4$. Ta có $y^{\prime }=\frac{-x^2+4x-2a-b}{(x-2{)}^2}$, mà $y^{\prime }(0)=0\Rightarrow -2a-b=0\Rightarrow a=2$. Vậy $a+b+c=2-4-2=-4$. Đáp án: -4.

Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-1$, đồ thị đi qua các điểm $(2;0)$ và $(0;-2)$. Suy ra $c=-1,a=-1,b=2$, do đó $y=\frac{-x+2}{x-1}$.
a) Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-1$. Đúng.
b) $y^{\prime }=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0,\forall x\ne 1$ nên hàm số không có cực trị. Đúng.
c) $a=-1,b=2,c=-1$ nên có đúng hai số âm. Đúng.
d) Giao điểm của đồ thị với trục hoành là $(2;0)$, $y^{\prime }(2)=-1$ nên phương trình tiếp tuyến là $y=-(x-2)=-x+2$. Sai.