Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

TXĐ: $D=R\setminus \{-2\}$ — 0,125 điểm.
Ta có: $y^{\prime }=\frac{-x^2-4x+5}{(x+2{)}^2}$ — 0,25 điểm.
$y^{\prime }=\frac{-x^2-4x+5}{(x+2{)}^2}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-5\end{array}\right]$ — 0,125 điểm.
Lập bảng biến thiên, xét dấu đúng — 0,25 điểm.
Kết luận đúng khoảng đơn điệu, cực đại, cực tiểu — 0,25 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+2}{1-x}$. Viết lại: $y=\frac{-3(1-x)+5}{1-x}=-3+\frac{5}{1-x}$. Đồ thị hàm phân thức bậc nhất $y=a+\frac{b}{cx+d}$ có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-3$. Vậy tâm đối xứng là điểm $P(1;-3)$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 10: B).

TXĐ: $D=R\setminus \{2\}$ — 0,125 điểm.
Ta có: $y^{\prime }=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$ — 0,25 điểm.
$y^{\prime }=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=3\end{array}\right]$ — 0,125 điểm.
Lập bảng biến thiên, xét dấu đúng — 0,25 điểm.
Kết luận đúng khoảng đơn điệu, điểm cực đại, cực tiểu — 0,25 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị (trang 8): hàm số có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên $y=x+2$. Nhánh phải ($x>-2$): hàm giảm từ $+\infty$ xuống giá trị nhỏ nhất $f(-1)=2$ rồi tăng dần lên $+\infty$. Nhánh trái ($x<-2$): hàm tăng lên giá trị lớn nhất $-2$ (đạt tại điểm có hoành độ khoảng $-3$, ứng với đường nét đứt $y=-2$) rồi giảm xuống $-\infty$ khi $x\to (-2{)}^{-}$.
a) $\underset{(-2;+\infty )}{\min }f(x)=2$, $\underset{(-\infty ;-2)}{\max }f(x)=-2$, nên $2-(-2)=4$: ĐÚNG.
b) Trên $(-2;-1)$ nhánh phải đi xuống từ $+\infty$ về $2$, nên hàm nghịch biến: ĐÚNG.
c) Giá trị lớn nhất trên $(-\infty ;-2)$ bằng $-2$, không phải $2$: SAI.
d) Hàm số có cực tiểu tại $x=-1$ (nhánh phải) và cực đại tại $x\approx -3$ (nhánh trái), nên khẳng định 'không có cực trị' là SAI.
So sánh với bảng đáp án nguồn (mã đề 2025): 3a = D, 3b = D, 3c = S, 3d = S — khớp hoàn toàn với kết quả giải độc lập.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) min trên (-2;+∞) bằng 2 (tại x=-1), max trên (-∞;-2) bằng -2, hiệu bằng 4.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trên (-2;-1) đồ thị đi xuống từ +∞ về 2 nên hàm nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Giá trị lớn nhất trên (-∞;-2) bằng -2, không phải 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hàm số có cực đại (x≈-3) và cực tiểu (x=-1) nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Nhìn vào đồ thị hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$: khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$ (nhánh phải đi xuống), nên $a<0$. Đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương (phía trên gốc $O$), mà $y(0)=d$, nên $d>0$. Vậy khẳng định đúng là $a<0,d>0$, tức phương án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (đề 2025, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-2$, tiệm cận xiên $y=x+2$; nhánh trái đạt điểm cao nhất $(-3;-2)$, nhánh phải đạt điểm thấp nhất $(-1;2)$. a) Trên khoảng $(-\infty ;-2)$, GTLN của hàm số là $f(-3)=-2$, không phải $2$ → Sai. b) Trên khoảng $(-2;-1)$, đồ thị đi xuống từ $+\infty$ (khi $x\to -2^{+}$) đến $f(-1)=2$, hàm số nghịch biến → Đúng. c) ${\min }_{(-2;+\infty )}f(x)=f(-1)=2$, ${\max }_{(-\infty ;-2)}f(x)=f(-3)=-2$, hiệu bằng $2-(-2)=4$ → Đúng. d) Hàm số có cực đại tại $x=-3$ và cực tiểu tại $x=-1$ nên có cực trị, khẳng định 'không có cực trị' → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 1025: 3a S, 3b D, 3c D, 3d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-\infty ;-2)$, GTLN của hàm số là $f(-3)=-2$, không phải $2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-2;-1)$ đồ thị đi xuống từ $+\infty$ đến $f(-1)=2$, hàm số nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\min }_{(-2;+\infty )}f(x)=2$, ${\max }_{(-\infty ;-2)}f(x)=-2$, hiệu bằng $2-(-2)=4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số có cực đại tại $x=-3$ và cực tiểu tại $x=-1$, nên có cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Nhìn đồ thị hàm bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$: khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$ (nhánh phải đi xuống), nên $a<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm phía trên gốc $O$ (hoành độ gốc $x=0$, tung độ $y=d>0$), nên $d>0$. Vậy $a<0,d>0$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (đề 1025, câu 6 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+2}{x+2}$, $y^{\prime }=\frac{3(x+2)-(3x+2)}{(x+2{)}^2}=\frac{4}{(x+2{)}^2}>0$ với $x\ne -2$. a) Tại $x=0$: $y=\frac{2}{2}=1\ne 2$, nên $(C)$ không đi qua $A(0;2)$ → Sai. b) Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(-2;+\infty )$ nhưng không đồng biến trên $\mathbb{R}$ (gián đoạn tại $x=-2$) → Sai. c) $y^{\prime }>0$ trên tập xác định nên hàm số không có cực trị → Đúng. d) Tiệm cận đứng $x=-2$, tiệm cận ngang $y=3$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=3$), giao điểm là $I(-2;3)$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án mã đề 209: SSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=0$, $y=\frac{2}{2}=1\ne 2$ nên đồ thị không đi qua $A(0;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}>0$ nhưng hàm số gián đoạn tại $x=-2$, chỉ đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(-2;+\infty )$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}>0$ trên tập xác định nên hàm số không có cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=-2$, tiệm cận ngang $y=3$, giao điểm là $I(-2;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (nằm bên trái trục $Oy$), tiệm cận ngang $y=1$; nhánh trái (khi $x\to -1^{-}$) tiến lên $+\infty$ và nằm phía trên $y=1$; nhánh phải tiến từ $-\infty$ khi $x\to -1^{+}$, đi qua điểm $(0;-1)$ và cắt trục hoành tại $x=1$. Xét $y=\frac{x-1}{x+1}$: TXĐ $x\ne -1$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên có TCN $y=1$; ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=-\infty$ nên có TCĐ $x=-1$; $y=0\iff x=1$; $y(0)=-1$. Khớp hoàn toàn với hình vẽ. Loại B (hàm bậc ba không có tiệm cận), C (TCĐ $x=-3$), D (TCN $y=-1$, không khớp). Đáp án A, trùng với đáp án mã đề 209 trong hướng dẫn chấm (Câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+2}{x+2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$.
a) Với $x=0$: $y=\frac{3\cdot 0+2}{0+2}=1\ne 2$ nên đồ thị không đi qua $A(0;2)$ → Sai.
b) $y^{\prime }=\frac{3(x+2)-(3x+2)}{(x+2{)}^2}=\frac{4}{(x+2{)}^2}>0$ trên mỗi khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(-2;+\infty )$, nhưng hàm số gián đoạn tại $x=-2$ nên không đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$ → Sai.
c) $y^{\prime }>0$ trên mọi khoảng xác định, hàm số không đổi chiều biến thiên nên không có cực trị → Đúng.
d) Tiệm cận đứng $x=-2$; tiệm cận ngang $y=3$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=3$); giao điểm hai tiệm cận là $I(-2;3)$ → Đúng.
Kết quả S,S,Đ,Đ khớp đáp án mã đề 132 (SSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=0$: $y=\frac{3\cdot 0+2}{0+2}=1\ne 2$, nên $(C)$ không đi qua $A(0;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}>0$ trên mỗi khoảng xác định, nhưng hàm số gián đoạn tại $x=-2$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}>0$ trên tập xác định, hàm số không đổi chiều biến thiên nên không có cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=-2$; tiệm cận ngang $y=3$; giao điểm hai tiệm cận là $I(-2;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ (trang 2) là hypebol có hai nhánh đồng biến, tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=1$. Xét $y=\frac{x-1}{x+1}$: tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên có tiệm cận ngang $y=1$; ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=-\infty$ nên có tiệm cận đứng $x=-1$; $y^{\prime }=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên mỗi nhánh — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Loại B: tiệm cận đứng $x=-3$ và có tiệm cận xiên; loại C: hàm bậc ba không có tiệm cận; loại D: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-1$ (tiệm cận ngang $y=-1$) và hàm nghịch biến. Kết quả khớp đáp án nguồn (Mã đề 132, Câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-x^3+1$ có đạo hàm $y^{\prime }=-3x^2$. Tại $x_0=-2$: $y(-2)=-(-2{)}^3+1=8+1=9$ và $y^{\prime }(-2)=-3\cdot (-2{)}^2=-12$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $-2$ là $y=y^{\prime }(-2)(x+2)+y(-2)=-12(x+2)+9=-12x-15$. Vậy $y=-12x-15$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi lên (đi lên ở hai đầu), có cực đại tại điểm có hoành độ âm và cực tiểu tại điểm có hoành độ dương, đồng thời đi qua điểm $(0;1)$. Kiểm tra đáp án C: $y=x^3-2x+1$ có $y(0)=1$ (đúng với đồ thị cắt trục tung tại 1); $y^{\prime }=3x^2-2=0\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\approx \pm 0,58$. Tại $x=-0,58$: $y\approx -0,19+1,15+1\approx 1,96\approx 2$ (cực đại, khớp điểm cực đại khoảng $(-0,6;2)$ trên hình); tại $x=0,58$: $y\approx 0,19-1,15+1\approx 0,04\approx 0$ (cực tiểu chạm trục hoành, khớp hình). Các đáp án khác: A và D là hàm bậc ba đi xuống (loại); B: $y=x^3+2x+1$ có $y^{\prime }=3x^2+2>0$ không có cực trị (loại). Vậy đồ thị là của hàm số $y=x^3-2x+1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$.
a) Trên $(0;2)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến: đúng.
b) Hàm bậc ba với hệ số của $x^3$ dương nên ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$: đúng.
c) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $f(0)=4$, $f(2)=8-12+4=0$. Hai điểm cực trị là $A(0;4)$, $B(2;0)$ nên $AB=\sqrt{(2-0{)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ne \sqrt{5}$: sai.
d) $f(x)=x^3-3x^2+4=(x-2{)}^2(x+1)$ nên với $x\ne -1,2$: $y=\frac{x+1}{f(x)}=\frac{1}{(x-2{)}^2}$. Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1}\frac{1}{(x-2{)}^2}=\frac{1}{9}\ne \infty$ nên không phải tiệm cận đứng. Tại $x=2$: ${\lim }_{x\to 2}\frac{1}{(x-2{)}^2}=+\infty$ nên $x=2$ là tiệm cận đứng. Vậy đồ thị chỉ có đúng một đường tiệm cận đứng: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x-2)<0$ trên $(0;2)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm bậc ba với hệ số của $x^3$ dương nên ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; hai điểm cực trị là $A(0;4)$, $B(2;0)$ nên $AB=\sqrt{(2-0{)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ne \sqrt{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=(x-2{)}^2(x+1)$ nên $\frac{x+1}{f(x)}=\frac{1}{(x-2{)}^2}$ với $x\ne -1,2$. Tại $x=-1$ giới hạn bằng $\frac{1}{9}\ne \infty$ (không phải tiệm cận đứng); tại $x=2$ giới hạn bằng $+\infty$ (tiệm cận đứng). Vậy chỉ có đúng một đường tiệm cận đứng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số nghịch biến trên cả hai khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-2$; hơn nữa ${\lim }_{x\to (-1{)}^{-}}y=-\infty$ và ${\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}y=+\infty$. Xét $y=\frac{1-2x}{x+1}$ (đáp án A): tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-2$; $y^{\prime }=\frac{-2(x+1)-(1-2x)}{(x+1{)}^2}=\frac{-3}{(x+1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên từng khoảng. Khi $x\to (-1{)}^{-}$: tử $\to 3>0$, mẫu $\to 0^{-}$ nên $y\to -\infty$; khi $x\to (-1{)}^{+}$: $y\to +\infty$. Khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các đáp án khác: B có tiệm cận ngang $y=2$; C có tiệm cận ngang $y=-2$ nhưng $y^{\prime }=\frac{-2(x+1)-(-2x-3)}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x+1{)}^2}>0$ (đồng biến); D có tiệm cận đứng $x=1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ nên loại B (tiệm cận đứng $x=-2$). Xét C: $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}=x+1+\frac{1}{x-2}$, có tiệm cận xiên $y=x+1$ (khớp đường đứt nét trên hình). $y(0)=\frac{1}{2}>0$; nghiệm $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618<2$ khớp giao điểm bên trái tiệm cận đứng. $y^{\prime }=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}$: cực đại tại $x=1$ với $y=1$ (khớp đỉnh gần điểm $(1;1)$ trên hình), cực tiểu tại $x=3$ với $y=5>0$ (nhánh phải có đáy thấp rồi tăng dần, tiệm cận xiên phía trên). A cho $y=-x-1-\frac{3}{x-2}$ có tiệm cận xiên $y=-x-1$ không khớp; D cho $y=x+\frac{3}{x-2}$, $y(0)=\frac{3}{2}$, cực trị tại $x=1$ với $y=-2<0$ không khớp hình. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 12: C).