Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^3-3x^2+1$.
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$, không phải $3x^2-3x$ → Sai.
b) Trên $[-1;2]$: $f(-1)=-3$, $f(0)=1$ (điểm cực đại vì $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$ đổi dấu từ dương sang âm tại $x=0$), $f(2)=-3$. Vậy GTLN bằng $1$ → Đúng.
c) Trên $(0;2)$, $f^{\prime }(x)=3x(x-2)<0$ nên hàm số nghịch biến → Sai.
d) $f(1+t)+f(1-t)=(1+t{)}^3-3(1+t{)}^2+1+(1-t{)}^3-3(1-t{)}^2+1=2-4+2=-2=2f(1)$, nên đồ thị nhận $I(1;-1)$ làm tâm đối xứng → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) S, b) Đ, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm đúng là $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$, không phải $3x^2-3x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $f(-1)=-3$, $f(0)=1$, $f(2)=-3$ nên GTLN trên $[-1;2]$ bằng 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (0;2)$, $f^{\prime }(x)=3x(x-2)<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(1+t)+f(1-t)=2f(1)=-2$, đồ thị nhận $I(1;-1)$ làm tâm đối xứng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $d=-1$. Tiệm cận xiên đi qua gốc tọa độ. Hàm số: $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{x-1}$. Chia đa thức: $y=ax+(b+a)+\frac{c+b+a}{x-1}$, nên tiệm cận xiên là $y=ax+b+a$. Vì tiệm cận xiên qua $O(0;0)$ nên $b+a=0$, tức $m=b+a=0$ với $y=ax+\frac{R}{x-1}$, $R=c+b+a$. $y^{\prime }=a-\frac{R}{(x-1{)}^2}=0\Rightarrow (x-1{)}^2=\frac{R}{a}$, cho hai cực trị tại $x=3$ và $x=-1$ (theo hình vẽ) nên $\sqrt{R/a}=2\Rightarrow R=4a$. Giá trị cực đại, cực tiểu theo hình: $f(3)=5$, $f(-1)=-3$. Ta có $f(3)=3a+m+\frac{R}{2}=3a+0+2a=5a=5\Rightarrow a=1$; $f(-1)=-a+m-\frac{R}{2}=-a-2a=-3a=-3\Rightarrow a=1$ (nhất quán). Vậy $a=1$, $R=4\Rightarrow c+b+a=4\Rightarrow c=4$ (vì $b=-a=-1$). Kiểm tra: $y=\frac{x^2-x+4}{x-1}$, $f(3)=\frac{9-3+4}{2}=5$, $f(-1)=\frac{1+1+4}{-2}=-3$, tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x$ — khớp đồ thị. Do đó $2a+b+c+d=2-1+4-1=4$. Kết quả trùng với đáp án đề cho ở bảng mã đề 122, Phần III, câu 3: $4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$ (loại A, D vì có mẫu $x+1$). Đồ thị có nhánh trên đạt cực tiểu tại điểm $(3;4)$ và có tiệm cận xiên. Xét đáp án C: $y=\frac{x^2-2x+5}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2+4}{x-1}=x-1+\frac{4}{x-1}$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=0\iff x=3$ (với $x>1$), khi đó $y(3)=2+2=4$, đúng với điểm cực tiểu $(3;4)$ trên đồ thị. Tiệm cận xiên $y=x-1$ cũng khớp với đường thẳng vẽ trong hình. Đáp án B: $y=\frac{-x^2+x}{x-1}=-x$ không có tiệm cận đứng đúng dạng và không có cực trị như hình. Vậy đường cong là đồ thị của hàm số ở đáp án C, trùng với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-3x^2+1$.
a) Đúng: $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
b) Đúng: Trên $[1;3]$, $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$ nên $f$ nghịch biến trên $[1;2]$ và đồng biến trên $[2;3]$. Ta có $f(1)=-1$, $f(2)=-3$, $f(3)=27-27+1=1$. Vậy GTLN trên $[1;3]$ bằng $1$ (tại $x=3$).
c) Sai: Trên $(1;3)$, $f^{\prime }(x)<0$ với $x\in (1;2)$ và $f^{\prime }(x)>0$ với $x\in (2;3)$, nên hàm số nghịch biến trên $(1;2)$ và đồng biến trên $(2;3)$, không đồng biến trên toàn $(1;3)$.
d) Đúng: $f(1+x)+f(1-x)=(1+x{)}^3-3(1+x{)}^2+1+(1-x{)}^3-3(1-x{)}^2+1=2-6+2=-2=2f(1)$, nên đồ thị nhận $I(1;-1)$ làm tâm đối xứng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;3]$: $f(1)=-1$, $f(2)=-3$ (cực tiểu), $f(3)=1$ nên GTLN bằng 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x-2)$ đổi dấu tại $x=2$: hàm nghịch biến trên $(1;2)$, đồng biến trên $(2;3)$, nên không đồng biến trên $(1;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(1+x)+f(1-x)=-2=2f(1)$ nên $I(1;-1)$ là tâm đối xứng của đồ thị.

(AI giải, đối chiếu đáp án nguồn trang 9: Phần III Câu 3 của Mã đề 121 là -4)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-2$ nên $x+n=0$ tại $x=-2\Rightarrow n=2$.
Điểm cực tiểu $(-1;1)$: $f(-1)=\frac{a-b+c}{-1+2}=1\Rightarrow a-b+c=1$.
Điểm cực đại $(-3;-3)$: $f(-3)=\frac{9a-3b+c}{-3+2}=-3\Rightarrow 9a-3b+c=3$.
Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{a{x}^2+2anx+bn-c}{(x+n{)}^2}$. Hai điểm cực tiểu $x=-1$ và cực đại $x=-3$ là nghiệm của $a{x}^2+2anx+bn-c=0$, nên theo định lý Vi-ét: tích hai nghiệm $\frac{bn-c}{a}=(-1)(-3)=3\Rightarrow 2b-c=3a$ (với $n=2$).
Từ $a-b+c=1\Rightarrow c=1-a+b$; thay vào $2b-c=3a$: $2b-1+a-b=3a\Rightarrow b=2a+1$, suy ra $c=a+2$.
Thay vào $9a-3b+c=3$: $9a-3(2a+1)+(a+2)=3\Rightarrow 4a-1=3\Rightarrow a=1$, khi đó $b=3$, $c=3$.
Thử lại: $f(x)=\frac{x^2+3x+3}{x+2}$, $f(-1)=1$, $f(-3)=-3$, $y^{\prime }=\frac{x^2+4x+3}{(x+2{)}^2}$ có nghiệm $x=-1,x=-3$ — phù hợp đồ thị.
Vậy $3a-2b-c+n=3(1)-2(3)-3+2=-4$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có cực tiểu tại điểm $(0;1)$ và cực đại tại điểm $(2;5)$, đồng thời khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$ (nhánh xuống bên phải) nên hệ số của $x^3$ âm.
- Xét $y=-x^3+3x^2+1$: có $y(0)=1$, $y(2)=-8+12+1=5$; $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $y^{\prime \prime }=-6x+6$ nên $y^{\prime \prime }(0)=6>0$ (cực tiểu tại $x=0$), $y^{\prime \prime }(2)=-6<0$ (cực đại tại $x=2$). Hoàn toàn khớp đồ thị.
- Loại B: hệ số dương, $y(0)=3\ne 1$.
- Loại C: $y(0)=0\ne 1$, $y(2)=4\ne 5$.
- Loại D: hàm bậc bốn, $y(0)=1$ nhưng $y(2)=9\ne 5$ và dạng đồ thị W khác.
Vậy đáp án là A, trùng với đáp án của đề (mã đề 121, câu 4: A).

Đáp án theo bảng mã đề 1252, Phần II câu 1: Đ S Đ Đ đọc lại là S Đ S S (a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai), phù hợp với kiểm tra độc lập: a) $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-1}{(x-1{)}^2}$; b) tiệm cận xiên $y=x+6$; c) nghịch biến trên $(-2;4)$; d) $c=-2,a=-4,b=-4$ nên $ac-b=12>2$.
a) Với $a=1,b=-2,c=1$: $y^{\prime }=\frac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1{)}^2}\ne \frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$ nên ý a) Sai.
b) Với $a=1,b=5,c=1$: $\frac{x^2+5x+3}{x-1}=x+6+\frac{9}{x-1}$, nên tiệm cận xiên là $y=x+6$. Ý b) Đúng.
c) Với $a=1,b=5,c=1$: $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-8}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-4)(x+2)}{(x-1{)}^2}$, hàm số nghịch biến trên $(-2;1)$ và $(1;4)$, đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(4;+\infty )$. Trên $(-4;-2)$ hàm số đồng biến nên ý c) Sai.
d) Tiệm cận xiên: $y=\frac{a}{c}x+\frac{bc+a}{c^2}$. Từ $\frac{a}{c}=2$ suy ra $a=2c$; từ $\frac{bc+a}{c^2}=1$ kết hợp đồ thị qua $M(-1;3)$: $\frac{a-b+3}{-c-1}=3\Rightarrow a-b+3c+6=0$. Với $a=2c$: $b=5c+6$, khi đó $\frac{c(5c+6)+2c}{c^2}=5+\frac{8}{c}=1\Rightarrow c=-2$ (nguyên), $a=-4$, $b=-4$. Vậy $ac-b=8+4=12>2$, ý d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-3x+1$, có $y^{\prime }=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. a) Trên $(-1;1)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến → Đúng. b) $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$; $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=-1$ nên điểm cực đại là $x=-1$ (không phải $x=1$) → Sai. c) Trên đoạn $[2;5]$ hàm đồng biến nên GTNN là $f(2)=8-6+1=3\ne 111$ (111 là GTLN $f(5)$) → Sai. d) $A(-1;3)$ (cực đại), $B(1;-1)$ (cực tiểu), $C(1;2)$. Vì $B,C$ cùng hoành độ $x=1$ nên $BC=|2-(-1)|=3$, khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $x=1$ là $h=2$. Diện tích tam giác $ABC=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: ĐSSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-3<0$ với mọi $x\in (-1;1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3(x-1)(x+1)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$, nên điểm cực đại là $x=-1$, không phải $x=1$ (điểm cực tiểu là $x=1$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[2;5]$ hàm đồng biến nên GTNN là $f(2)=3$, còn $f(5)=111$ là GTLN.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A(-1;3)$, $B(1;-1)$, $C(1;2)$. $BC=3$ (đoạn thẳng đứng), khoảng cách từ $A$ đến đường $x=1$ bằng 2, nên $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}=x+2+\frac{1}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

a) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2-1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$. Đúng.

b) Đồ thị $y=x+2+\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x+2$, tâm đối xứng là giao $I(1;3)$. Đúng.

c) $y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$: âm trên $(-\infty ;0)$, dương trên $(0;1)\cup (1;2)$, âm trên $(2;+\infty )$; cực tiểu $y(0)=1$, cực đại $y(2)=5$. Tuy nhiên giới hạn một bên: ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$ và ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$ (vì $\frac{1}{x-1}\to \mp \infty$). Bảng biến thiên trong đề lại ghi $+\infty$ bên trái $x=1$ và $-\infty$ bên phải, tức hai giới hạn bị đổi chỗ. Sai.

d) Hai điểm cực trị $A(0;1)$, $B(2;5)$. Đường thẳng $AB$ qua hai điểm này: $y=2x+1$, tức $2x-y+1=0$. Khoảng cách từ $O(0;0)$: $d=\frac{|1|}{\sqrt{4+1}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$. Đúng.

Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng (khớp đáp án nguồn ĐĐSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Viết $y=x+2+\frac{1}{x-1}$, suy ra $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có TCĐ $x=1$, TCX $y=x+2$, tâm đối xứng $I(1;3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chiều biến thiên và các cực trị đúng (cực tiểu $y(0)=1$, cực đại $y(2)=5$) nhưng giới hạn một bên tại $x=1$ bị đảo: ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$, nên bảng đã cho sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cực trị $A(0;1)$, $B(2;5)$, đường $AB$: $2x-y+1=0$, $d(O,AB)=\frac{1}{\sqrt{5}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường hypebol có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, nhánh phải nằm trên $y=1$, nhánh trái nằm dưới $y=1$, và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm (khoảng $-1$). Xét $y=\frac{x+1}{x-1}$: có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$; tại $x=0$ thì $y=-1<0$ (khớp hình vẽ); tại $x=-1$ thì $y=0$ (đồ thị cắt trục hoành tại $x=-1$, khớp hình vẽ vì giao điểm với trục hoành nằm bên trái gốc $O$). Loại A vì $y=\frac{x-3}{x-1}$ có $y(0)=3>0$; loại B vì $y=\frac{x^2-3x+1}{x-1}=x-2-\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận xiên $y=x-2$, không phải TCN $y=1$; loại C là hàm bậc ba không có tiệm cận. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2346, Câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}=x+2+\frac{1}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
a) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2-1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$ → Đúng.
b) Đồ thị $y=x+2+\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x+2$, tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(1;3)$ → Đúng.
c) $y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$: trên $(-\infty ;0)$ thì $y^{\prime }>0$ (hàm đồng thời tăng), trên $(0;1)$ thì $y^{\prime }<0$, trên $(1;2)$ thì $y^{\prime }<0$, trên $(2;+\infty )$ thì $y^{\prime }>0$. Bảng biến thiên trong đề cho $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;0)$ và $y^{\prime }>0$ trên $(1;2)$ là sai → Khẳng định Sai.
d) Cực tiểu $A(0;1)$ (vì $y(0)=1$), cực đại $B(2;5)$ (vì $y(2)=5$). Đường thẳng $AB$ có hệ số góc $\frac{5-1}{2-0}=2$, phương trình $y=2x+1$ hay $2x-y+1=0$. Khoảng cách từ $O(0;0)$: $d=\frac{|1|}{\sqrt{4+1}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ → Đúng. Khớp đáp án nguồn DDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=x+2$: $I(1;3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$ dương trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, âm trên $(0;1)$ và $(1;2)$; bảng trong đề sai dấu.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A(0;1)$, $B(2;5)$, đường $AB$: $2x-y+1=0$, $d(O,AB)=\frac{1}{\sqrt{5}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, hai nhánh đều nghịch biến. Xét $y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$: có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$, và $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên mỗi nhánh — khớp đồ thị. Với $y=\frac{x-3}{x-1}=1-\frac{2}{x-1}$ thì $y^{\prime }>0$ (đồng biến), không khớp. Hàm bậc ba (A) và hàm có tiệm cận xiên (B) loại. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 2345: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi lên (đồng biến vô hạn khi x→+∞), có cực đại tại (-1;3) và cực tiểu tại (1;-1), cắt trục Oy tại điểm (0;1). Xét $y=x^3-3x+1$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=-1+3+1=3$ (cực đại), $y(1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu), $y(0)=1$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án A, D có hệ số $a<0$ (đồ thị đi xuống), phương án C cho $y(0)=-1$ không khớp. Đáp án khớp với mã đề 121: B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$). Ta có $y^{\prime }=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$. Ngoài ra $y(0)=\frac{1}{-1}=-1<0$, đồ thị cắt trục hoành tại $x=-1$. Đồ thị phù hợp là hình ở phương án A: hai nhánh nghịch biến, tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Kết quả trùng đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 121: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2+x-1$ có $y^{\prime }=3x^2-6x+1$, $y^{\prime \prime }=6x-6$. Cho $y^{\prime \prime }=0$ được $x=1$, khi đó $y=1-3+1-1=-2$. Vì $y^{\prime \prime }=6(x-1)$ đổi dấu khi qua $x=1$, điểm $(1;-2)$ là tâm đối xứng của đồ thị. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã 0101, Câu 12 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}=-1+\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-1$. Với $x>1$: $y>0$ và nghịch biến; với $x<1$: $y<0$ và đồng biến. Đồ thị là hyperbol có hai nhánh: nhánh phải nằm phía trên tiệm cận ngang $y=-1$, nhánh trái nằm phía dưới, đúng như hình ở phương án A. Đáp án A khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, Câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+x+4}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ nên ý d đúng.

a) $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+4)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2+3x+1-x^2-x-4}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}$ $\Rightarrow$ đúng.

b) $f(x)=6\iff x^2+x+4=6x+6\iff x^2-5x-2=0$, phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt (vì $\Delta =25+8=33>0$), không phải 4 nghiệm $\Rightarrow$ sai.

c) $y^{\prime }=0\iff x=-3$ hoặc $x=1$. $f(-3)=\frac{9-3+4}{-2}=-5$ (cực đại trên nhánh $x<-1$), $f(1)=\frac{6}{2}=3$ (cực tiểu trên nhánh $x>-1$). Trên $(-\infty ;-1)$: đồng biến rồi nghịch biến, giới hạn tại $-\infty$ và $-1^{-}$ đều là $-\infty$; trên $(-1;+\infty )$: nghịch biến rồi đồng biến, giới hạn tại $-1^{+}$ là $+\infty$. Bảng biến thiên trong đề khớp hoàn toàn $\Rightarrow$ đúng.

d) Hàm số xác định khi $x+1\ne 0$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ $\Rightarrow$ đúng.
a) $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+4)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}$.
b) $f(x)=6\iff x^2-5x-2=0$ có đúng 2 nghiệm phân biệt ($\Delta =33>0$), không phải 4 nghiệm.
c) $y^{\prime }=0$ tại $x=-3$ (cực đại $y=-5$) và $x=1$ (cực tiểu $y=3$); các giới hạn và chiều biến thiên khớp bảng biến thiên đã cho.
d) Điều kiện $x+1\ne 0$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có cực đại tại $x=-1$ với $y=0$, có tiệm cận đứng $x=1$, cực tiểu tại $x=3$ với $y=8$. Xét $y=\frac{x^2+2x+1}{x-1}$ (xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$): $y^{\prime }=\frac{(2x+2)(x-1)-(x^2+2x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$. Vậy $y^{\prime }=0$ tại $x=-1$ và $x=3$; $y(-1)=\frac{0}{-2}=0$ (cực đại), $y(3)=\frac{16}{2}=8$ (cực tiểu), tiệm cận đứng $x=1$. Khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án khác: A là hàm bậc ba không có tiệm cận đứng; B có $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nghịch biến trên mỗi nhánh; D có tiệm cận đứng $x=-1$ và $y=\frac{(x+1{)}^2}{x+1}=x+1$ với $x\ne -1$ không phù hợp.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=3$, hàm số nghịch biến trên mỗi nhánh. Loại A (TCĐ $x=3$), loại C (TCĐ $x=-2$), loại B (hàm bậc hai trên bậc nhất, không phải hyperbol như hình). Với $y=\frac{3x-1}{x-2}$: TCĐ $x=2$, TCN $y=3$, $y^{\prime }=\frac{3(x-2)-(3x-1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên mỗi nhánh; $y(0)=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}>0$ khớp giao điểm với trục tung trên hình. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{1-2x}{x+1}=\frac{-2(x+1)+3}{x+1}=-2+\frac{3}{x+1}$. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=-2$, nên tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai tiệm cận: $I(-1;-2)$. Vậy chọn đáp án C, trùng với đáp án nguồn (bảng đáp án, mã đề 1102, câu 11: C).