Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=\frac{x^3+29x+11}{20x^2+25}$.

a) Bậc tử số (3) lớn hơn bậc mẫu số (2) nên đồ thị $(C)$ KHÔNG có tiệm cận ngang. Ta có $y-\frac{x}{20}=\frac{111x+44}{4(20x^2+25)}\to 0$ khi $x\to \pm \infty$, nên đồ thị có tiệm cận XIÊN $y=\frac{x}{20}=0,05x$, không phải tiệm cận ngang $y=0,05$. Phát biểu a) SAI.

b) $y^{\prime }=\frac{(3x^2+29)(20x^2+25)-40x(x^3+29x+11)}{(20x^2+25{)}^2}=\frac{20x^4-505x^2-440x+725}{(20x^2+25{)}^2}$. Tại $x=-1$: $y^{\prime }(-1)=\frac{680}{2025}=\frac{136}{405}\approx 0,3360$. Góc $\alpha =\arctan (0,3360)\approx 18,56^{\circ }<20^{\circ }$. ĐÚNG.

c) Giải $4x^4-101x^2-88x+145=0$ được 4 nghiệm $x_1\approx -4,2503$, $x_2\approx -1,898$, $x_3\approx 0,849$, $x_4\approx 5,301$. Theo dấu của $y^{\prime }$: cực đại tại $x_1\approx -4,2503$ và $x_3\approx 0,849$; cực tiểu tại $x_2\approx -1,898$ và $x_4\approx 5,301$. Giá trị tương ứng: $y(x_1)\approx -0,4894$, $y(x_2)\approx -0,5242$, $y(x_3)\approx 0,9194$, $y(x_4)\approx 0,5344$. Khoảng cách hai điểm cực đại: $\sqrt{(0,849+4,2503{)}^2+(0,9194+0,4894{)}^2}\approx 5,29$. Khoảng cách hai điểm cực tiểu: $\sqrt{(5,301+1,898{)}^2+(0,5344+0,5242{)}^2}\approx 7,28$. Vì $5,29<7,28$ nên khoảng cách giữa hai điểm cực đại NHỎ HƠN khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu. Phát biểu c) SAI.

d) Bốn điểm cực trị (thứ tự bao lồi): $P_1(-4,2503;-0,4894)$, $P_2(-1,898;-0,5242)$, $P_4(5,301;0,5344)$, $P_3(0,849;0,9194)$. Áp dụng công thức shoelace: $S\approx \frac{10,976}{2}\approx 5,49$. ĐÚNG.

Kết luận: a) SAI; b) ĐÚNG; c) SAI; d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Bậc tử số (3) lớn hơn bậc mẫu số (2) nên $(C)$ không có tiệm cận ngang. Vì $y-\frac{x}{20}=\frac{111x+44}{4(20x^2+25)}\to 0$ khi $x\to \pm \infty$, đồ thị có tiệm cận xiên $y=0,05x$, không phải tiệm cận ngang $y=0,05$. SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }(-1)=\frac{680}{2025}=\frac{136}{405}\approx 0,336$, góc $\arctan (0,336)\approx 18,56^{\circ }<20^{\circ }$. ĐÚNG.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Nghiệm của $4x^4-101x^2-88x+145=0$: $x_1\approx -4,2503$, $x_2\approx -1,898$, $x_3\approx 0,849$, $x_4\approx 5,301$. Cực đại tại $x_1,x_3$; cực tiểu tại $x_2,x_4$. Khoảng cách hai điểm cực đại $\approx 5,29$; khoảng cách hai điểm cực tiểu $\approx 7,28$; nên khoảng cách cực đại NHỎ HƠN khoảng cách cực tiểu. SAI.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Bốn điểm cực trị: $P_1(-4,2503;-0,4894)$, $P_2(-1,898;-0,5242)$, $P_4(5,301;0,5344)$, $P_3(0,849;0,9194)$. Shoelace: $S\approx \frac{10,976}{2}\approx 5,49$. ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $x=3^a$, $y={\log }_{3}b$, $s=\sin c$. Hệ trở thành:
$$x+y+2s=8;3x+2y-4s=21;\frac{x}{3}-\frac{y}{2}-6s=1.$$
Từ phương trình đầu: $y=8-x-2s$. Thay vào phương trình hai: $3x+16-2x-4s-4s=21\Rightarrow x-8s=5\Rightarrow x=5+8s$.
Thay vào phương trình ba: $\frac{5+8s}{3}-\frac{3-10s}{2}-6s=1$. Nhân 6: $2(5+8s)-3(3-10s)-36s=6\Rightarrow 1+10s=6\Rightarrow s=\frac{1}{2}$.
Suy ra $x=9$, $y=-2$, tức $a=2$, $b=3^{-2}=\frac{1}{9}$; với $0<c<2$ và $\sin c=\frac{1}{2}$ thì $c=\frac{\pi }{6}$ (nghiệm $\frac{5\pi }{6}>2$ bị loại).
Hàm số: $f(x)=2x^3+\frac{1}{9}{x}^2-\frac{\pi }{6}x+3$, có $f^{\prime }(x)=6x^2+\frac{2}{9}x-\frac{\pi }{6}$.
Nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$: $x=\frac{-\frac{2}{9}\pm \sqrt{\frac{4}{81}+4\pi }}{12}$, tức $x_1\approx 0.27747$, $x_2\approx -0.31450$.
Hai điểm cực trị: $f(x_1)\approx 2.90599$, $f(x_2)\approx 3.11345$, tức $A(0.27747;2.90599)$, $B(-0.31450;3.11345)$.
Đường thẳng qua hai điểm này có hệ số góc $k=\frac{3.11345-2.90599}{-0.31450-0.27747}\approx -0.35045$, phương trình $y\approx -0.35045x+3.00323$.
Khoảng cách từ $O$: $d=\frac{3.00323}{\sqrt{1+0.35045^2}}\approx \frac{3.00323}{1.05963}\approx 2.8341$.
Vậy kết quả làm tròn đến hàng phần trăm là $d\approx 2.83$.

Ta thấy đây là hàm số bậc ba và ${\lim }_{x\to -\infty }=-\infty$ nên $a<0$. Ta có $f(0)=1$ nên hàm số cần tìm là $y=-x^3+3x^2+1$. Chọn đáp án D

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x^2-10x+5000}{x}=2x-10+\frac{5000}{x}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
a) Sai: $y^{\prime }=2-\frac{5000}{x^2}$; $y^{\prime }=0\iff x=\pm 50$, nên hàm số có điểm cực trị (cực đại tại $x=-50$, cực tiểu tại $x=50$).
b) Sai: với $x>0$, $f^{\prime }(x)=2-\frac{5000}{x^2}=0\iff x=50$; $f$ nghịch biến trên $(0;50)$ và đồng biến trên $(50;+\infty )$ nên chi phí trung bình thấp nhất khi chế biến 50 phần thức ăn, không phải 45 phần.
c) Sai: khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$ nên hàm số không có giá trị lớn nhất (5000 chỉ là $y(0)$ nếu tồn tại, vô nghĩa).
d) Đúng: vì bậc của tử bằng bậc của mẫu cộng 1, tiệm cận xiên là $y=2x-10$ (phần nguyên của phép chia). Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2-\frac{5000}{x^2}=0\iff x=\pm 50$, hàm số có cực đại tại $x=-50$ và cực tiểu tại $x=50$, nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$: $f^{\prime }(x)=2-\frac{5000}{x^2}=0\iff x=50$. $f$ nghịch biến trên $(0;50)$, đồng biến trên $(50;+\infty )$, nên chi phí trung bình thấp nhất tại $x=50$ phần, không phải 45 phần.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$, hàm số không có giá trị lớn nhất nên mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=2x-10+\frac{5000}{x}$ với ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{5000}{x}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x-10$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị đi qua điểm (0;1), có cực đại tại (-1;3) và cực tiểu tại (1;-1). Xét $y=x^3-3x+1$: $y(0)=1$; $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=-1+3+1=3$ (cực đại), $y(1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu). Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: B có $y(0)=1$ nhưng cực đại tại x=1; C có $y(0)=0$; D có $y(0)=3$, đều loại.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm bậc ba đi qua điểm cực đại $(-1;3)$, điểm cực tiểu $(1;-1)$ và cắt trục tung tại điểm $(0;1)$. Xét $y=x^3-3x+1$: có $y(0)=1$; $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=-1+3+1=3$ (cực đại), $y(1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu), khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: B cho $y(0)=3$ (sai); C có dạng $-x^3+3x+1$ thì cực đại tại $x=1$ (sai chiều); D cho $y(0)=0$ (sai). Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có $y(0)=-2$ (cắt trục tung tại $-2$), đạt cực tiểu tại $x=0$ với giá trị $-2$, đạt cực đại tại $x=2$ với giá trị $2$, và đi qua điểm $(1;0)$, $(3;-2)$. Xét $y=-x^3+3x^2-2$: có $y(0)=-2$; $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$ nên cực tiểu tại $x=0$ ($y=-2$), cực đại tại $x=2$ ($y=2$); $y(1)=-1+3-2=0$; $y(3)=-27+27-2=-2$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án A, B cho $y(0)=-3$, $-1$ sai; phương án D có $y^{\prime }=-3x^2-6x$ cực trị tại $x=0,-2$ sai dấu hệ số. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2793, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Cắt $Ox$: $y=0\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1$, nên $A(1;0)$, $a=1$. Cắt $Oy$: $x=0\Rightarrow y=-\frac{1}{2}$, nên $B\left(0;-\frac{1}{2}\right)$, $b=-\frac{1}{2}$. Vậy $a-2b=1-2\left(-\frac{1}{2}\right)=2$, khớp đáp án nguồn (Mã đề 2793, Câu 1: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Cắt trục Ox: y=0 ⟹ 2x+1=0 ⟹ x=-1/2, nên a=-1/2. Cắt trục Oy: x=0 ⟹ y=1/(-3)=-1/3, nên b=-1/3. Do đó 2a+3b = 2(-1/2)+3(-1/3) = -1-1 = -2. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 1, mã đề 1234: -2).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có cực trị tại $x=0$ (cực tiểu, $y=-2$) và $x=2$ (cực đại, $y=2$). Xét $y=-x^3+3x^2+c$ (loại D vì hệ số $x^2$ dương sẽ cho $y^{\prime }=-3x^2-6x$, cực đại tại $x=-2$). Ta có $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Khi đó $y(0)=c=-2$ và $y(2)=-8+12+c=4+c=2\Rightarrow c=-2$ (nhất quán). Vậy hàm số là $y=-x^3+3x^2-2$, khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (loại B vì tiệm cận đứng $x=-1$) và tiệm cận xiên dốc dương (loại C vì tiệm cận xiên $y=-x+2$ dốc âm; loại A vì chỉ có tiệm cận ngang $y=2$). Xét D: $y=\frac{x^2-3x+3}{x-1}=x-2+\frac{1}{x-1}$, có TCĐ $x=1$, TCX $y=x-2$ (cắt trục hoành tại $x=2$, trục tung tại $y=-2$), phù hợp hình vẽ. Nhánh trái: khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to -\infty$, cực đại tại $x=0$, $y=-3<0$; nhánh phải: khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$, cực tiểu tại $x=2$, $y=1>0$. Tất cả khớp đồ thị đậm nét.

a) Đúng. $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$, $f^{\prime }(x)>0$ khi $x\in (0;2)$ nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$. b) Đúng. $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; hàm nghịch biến trên $(-\infty ;0)$, đồng biến trên $(0;2)$, nghịch biến trên $(2;+\infty )$ nên $x=2$ là điểm cực đại, $y_{CD}=f(2)=-8+12-2=2$. c) Sai. Trên đoạn $[-2;0]$ hàm số nghịch biến nên ${\min }_{[-2;0]}f=f(0)=-2\ne -4$. d) Sai. $f(3)=-27+27-2=-2\ne -3$ nên $M(3;-3)\notin (C)$. (Đối chiếu bảng đáp án trang 9, mã đề 1202, Phần II câu 3: ĐĐSS.)
a) Đúng. $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$, nên $f^{\prime }(x)>0$ khi $x\in (0;2)$, hàm số đồng biến trên $(0;2)$.
b) Đúng. $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; hàm đồng biến trên $(0;2)$ và nghịch biến trên $(2;+\infty )$ nên $x=2$ là điểm cực đại, $y_{CD}=f(2)=-8+12-2=2$.
c) Sai. Trên đoạn $[-2;0]$ hàm số nghịch biến nên giá trị nhỏ nhất tại $x=0$: $f(0)=-2\ne -4$.
d) Sai. $f(3)=-27+27-2=-2\ne -3$, nên $M(3;-3)\notin (C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số bậc ba có $a>0$ vì chiều phía bên phải đi lên. Đồ thị có điểm cực đại tại $x<0$ và điểm cực tiểu tại $x>0$, tức phương trình $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm trái dấu. Theo Viète: tích hai nghiệm $\frac{c}{3a}<0$ mà $a>0$ nên $c<0$; tổng hai nghiệm $-\frac{2b}{3a}>0$ nên $b<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương (phía trên gốc $O$) nên $d>0$. Vậy trong các số $a,b,c,d$ có đúng 2 số âm là $b$ và $c$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$, tiệm cận ngang là $y=2$, đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$ và các nhánh đều nghịch biến. Xét $y=\frac{2x+1}{x-1}$: tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ nên tiệm cận đứng $x=1$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên tiệm cận ngang $y=2$; $y(0)=\frac{1}{-1}=-1$; $y^{\prime }=\frac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0$ nên hàm nghịch biến trên mỗi nhánh — khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác có tiệm cận đứng $x=-1$ (B, C) hoặc tiệm cận ngang $y=-2$ (D) nên loại. Đáp án A, trùng với mã đề 1202.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: khi $x\to -\infty$ thì $y\to +\infty$ nên $a<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ tung dương nên $y(0)=d>0$. Hàm số có hai điểm cực trị đều nằm bên trái trục tung (cực tiểu rồi cực đại, cả hai với $x<0$), tức phương trình $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm âm. Theo Viète: $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}>0$ mà $a<0$ nên $c<0$; $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}<0$ mà $a<0$ nên $b<0$. Vậy chỉ có $d>0$: có đúng 1 số dương trong các số $a,b,c,d$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-2$, đồ thị đi qua điểm $(0;-3)$. Xét $y=\frac{-2x+3}{x-1}$ (đáp án C): mẫu bằng 0 tại $x=1$ nên TCĐ là $x=1$; bậc tử bằng bậc mẫu nên TCN là $y=\frac{-2}{1}=-2$; tại $x=0$: $y=\frac{3}{-1}=-3$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: A có TCN $y=2$; B, D có TCĐ $x=-1$, loại. Đáp án khớp với mã đề 1201: C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba có cực đại tại điểm có hoành độ âm và cực tiểu tại điểm có hoành độ dương, đồng thời đi qua gốc tọa độ. Xét $y=x^3-3x$: có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. Với $x=-1$ hàm đạt cực đại, $x=1$ hàm đạt cực tiểu; đồ thị đi qua $O(0;0)$ và cắt trục hoành tại $x=0,\pm \sqrt{3}$. Điều này khớp với hình vẽ (tăng trên $(-\infty ;-1)$, giảm trên $(-1;1)$, tăng trên $(1;+\infty )$). Các đáp án còn lại: $y=x^3+3x$ và $y=-x^3-3x$ không có cực trị (đồng biến trên $\mathbb{R}$); $y=-x^3+3x$ có cực đại tại $x=1$ và cực tiểu tại $x=-1$, ngược với hình vẽ. Vậy hàm số là $y=x^3-3x$, khớp với đáp án C trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=-x^3+2x^2-3$.

a) $y^{\prime }=-3x^2+4x$. Khẳng định đúng.

b) $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=\frac{4}{3}$. Với $x\in \left(0;\frac{4}{3}\right)$ thì $y^{\prime }=-3x\left(x-\frac{4}{3}\right)>0$, nên hàm số đồng biến trên khoảng này. Khẳng định đúng.

c) $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ (với $y(0)=-3$). Khẳng định đúng.

d) Trên nửa khoảng $[0;+\infty )$: hàm số đồng biến trên $\left(0;\frac{4}{3}\right)$, nghịch biến trên $\left(\frac{4}{3};+\infty \right)$ và ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$, nên hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên $[0;+\infty )$. Khẳng định GTNN bằng $-3$ là sai.

Kết quả Đ-Đ-Đ-S khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 13: ĐĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $y^{\prime }=-3x^2+4x$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-3x\left(x-\frac{4}{3}\right)>0$ trên $\left(0;\frac{4}{3}\right)$ nên hàm số đồng biến, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$, nên $x=0$ là điểm cực tiểu, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$, hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên $[0;+\infty )$, nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có dạng hàm bậc ba đi qua gốc tọa độ (f(0)=0), có cực đại tại điểm bên trái trục Oy và cực tiểu bên phải, rồi tăng lên vô cùng khi x→+∞, tức hệ số của x³ dương. Xét y = x³ − 3x: y' = 3x² − 3 = 0 ⟹ x = ±1; y” = 6x nên cực đại tại x = −1 (bên trái Oy), cực tiểu tại x = 1 (bên phải Oy), và f(0) = 0 — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Các hàm A (y = x³ + 3x) có cực đại tại x = 1, cực tiểu tại x = −1 (ngược hình vẽ); C và D có hệ số x³ âm nên nhánh phải đi xuống, không khớp. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 1201: B).