Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên. Xét $y=\frac{x^2-2x}{x-1}=x-1-\frac{1}{x-1}$: có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x-1$, giao với Ox tại $x=0$ và $x=2$. Khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to +\infty$ (nhánh trái đi lên sát đường $x=1$), khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to -\infty$, nhánh phải cắt trục hoành tại $x=2$ và đồng biến — khớp hoàn toàn với hình vẽ (đường cong qua O, qua điểm $x=2$, tiệm cận xiên $y=x-1$). Các phương án B, C cho giá trị âm/dương khác tại các điểm này, D không có tiệm cận xiên và không đi qua O. Vậy đáp án A.

Đáp án: S Đ S S

a) $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=2</td></tr><tr><td>x=0</td></tr></tbody></table>$

Bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$:


Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$. Vậy a) sai

b) Dựa vào bảng xét dấu trên GTLN trên đoạn $[1;3]$ là $f(2)$. Vậy b) đúng

c) Hàm số bậc 3 có tâm đối xứng là điểm uốn.
Thỏa mãn $f^{\prime \prime }(x)=0\iff -6x+6=0\iff x=1\Rightarrow y=2\Rightarrow (1;2)$ là điểm đối xứng của hàm số

Vậy c) sai

d) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và $y=mx$ là:

$$-x^3+3x^2=mx\iff -x^3+3x^2-mx=0$$

$$\iff x\left(-x^2+3x-m\right)=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ -x^2+3x-m=0\end{array}$$

Vậy $x_1=0;x_2,x_3$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình $-x^2+3x-m=0$

$$\Delta =9-4m>0\Rightarrow m<\frac{9}{4}$$

Theo vi-et ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_2+x_3=3\\ x_2{x}_3=m\end{array}$

Ta có: $x_1^2+x_2^2+x_3^2=5\Rightarrow 0+{\left(x_2+x_3\right)}^2-2x_2{x}_3=5$

$$\iff 9-2m=5\iff m=2$$

Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Vậy d) sai
a) $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=2</td></tr><tr><td>x=0</td></tr></tbody></table>$

Bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$:


Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$. Vậy a) sai
b) Dựa vào bảng xét dấu trên GTLN trên đoạn $[1;3]$ là $f(2)$. Vậy b) đúng
c) Hàm số bậc 3 có tâm đối xứng là điểm uốn.
Thỏa mãn $f^{\prime \prime }(x)=0\iff -6x+6=0\iff x=1\Rightarrow y=2\Rightarrow (1;2)$ là điểm đối xứng của hàm số

Vậy c) sai
d) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và $y=mx$ là:

$$-x^3+3x^2=mx\iff -x^3+3x^2-mx=0$$

$$\iff x\left(-x^2+3x-m\right)=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ -x^2+3x-m=0\end{array}$$

Vậy $x_1=0;x_2,x_3$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình $-x^2+3x-m=0$

$$\Delta =9-4m>0\Rightarrow m<\frac{9}{4}$$

Theo vi-et ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_2+x_3=3\\ x_2{x}_3=m\end{array}$

Ta có: $x_1^2+x_2^2+x_3^2=5\Rightarrow 0+{\left(x_2+x_3\right)}^2-2x_2{x}_3=5$

$$\iff 9-2m=5\iff m=2$$

Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Vậy d) sai

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 (Mã đề 2102): Đồ thị hàm phân giác có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên đi qua $I(-1;-1)$. a) Nhánh trái có điểm cực tiểu $(-2;1)$, nhánh phải có điểm cực đại $(0;-3)$; trung điểm hai điểm cực trị là $\left(\frac{-2+0}{2};\frac{1+(-3)}{2}\right)=(-1;-1)$, đồ thị đối xứng qua $I(-1;-1)$ → Đúng. b) Trên đồ thị, đường đứt nét $x=-1$ là tiệm cận đứng ($y\to \pm \infty$ khi $x\to -1$) → Đúng. c) Bảng biến thiên: nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$, đạt cực tiểu $y=1$ tại $x=-2$; đồng biến trên $(-2;-1)$; đồng biến trên $(-1;0)$, đạt cực đại $y=-3$ tại $x=0$; nghịch biến trên $(0;+\infty )$; hai nhánh tiến tới $+\infty$ và $-\infty$ quanh tiệm cận $x=-1$ → khớp bảng đã cho → Đúng. d) Theo bảng biến thiên, $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-2)$, $y^{\prime }=0$ tại $x=-2$ và $y^{\prime }>0$ trên $(-2;-1)$, nên hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;-1)$. Do đó khẳng định 'Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;-1)$' là SAI. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (trang 28, Câu 4, Mã đề 2102): a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) Theo bảng đáp án chính thức (trang 28, Mã đề 2102, Phần II Câu 4, lệnh hỏi a) đáp án là Đ (đúng).
b) Theo bảng đáp án chính thức (trang 28, Mã đề 2102, Phần II Câu 4, lệnh hỏi b) đáp án là Đ (đúng).
c) Theo bảng đáp án chính thức (trang 28, Mã đề 2102, Phần II Câu 4, lệnh hỏi c) đáp án là Đ (đúng).
d) Theo bảng biến thiên, $y^{\prime }>0$ trên khoảng $(-2;-1)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này; do đó khẳng định 'nghịch biến trên $(-2;-1)$' là sai. Theo bảng đáp án chính thức (trang 28, Mã đề 2102, Phần II Câu 4, lệnh hỏi d) đáp án là S (sai).

Đáp án chính thức theo bảng đáp án Phần II - Câu 2, Mã đề 2101 (trang 28): a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ. Nguồn chỉ cung cấp đáp án Đ/S, không có lời giải chi tiết; các giải thích từng ý trên do agent lập dựa trên bảng biến thiên và đồ thị ở trang 22.
a) Theo bảng biến thiên trong đề, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(-1;0)$, đồng biến trên $(-2;-1)$ và $(0;+\infty )$, với cực tiểu $y(-2)=1$, cực đại $y(0)=-3$, tiệm cận đứng $x=-1$. Bảng biến thiên đã cho khớp với đồ thị, nên khẳng định đúng.
b) Trên khoảng $(-2;-1)$ hàm số đồng biến (theo bảng biến thiên và đồ thị), nên khẳng định sai.
c) Khi $x\to -1^{\pm }$ thì $y\to \pm \infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$. Khẳng định đúng.
d) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận $x=-1$ và $y=-1$ (tiệm cận xiên/ngang qua các nhánh), giao của hai tiệm cận là $I(-1;-1)$ là tâm đối xứng của đồ thị. Khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$. Đồ thị hàm phân thức có tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận, tức $I(1;1)$. Vậy chọn đáp án A, khớp với bảng đáp án chính thức (Câu 11, Mã đề 2102 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x=-1, nhánh trái có cực tiểu tại (-2;1), nhánh phải có cực đại tại (0;-3), có tiệm cận xiên.
a) Đúng: trên (-∞;-2) hàm giảm từ +∞ xuống 1 (y'<0, y'=0 tại x=-2); trên (-2;-1) hàm tăng từ 1 lên +∞; trên (-1;0) hàm tăng từ -∞ lên -3 (y'>0, y'=0 tại x=0); trên (0;+∞) hàm giảm từ -3 xuống -∞. Bảng biến thiên khớp hoàn toàn.
b) Sai: nếu đồ thị có tâm đối xứng thì tâm phải đối xứng hai điểm cực trị: trung điểm của (-2;1) và (0;-3) là (-1;-1), không phải I(-1;1).
c) Đúng: đồ thị có hai nhánh tiến ra vô cực khi x→-1⁻ và x→-1⁺ (đường nét đứt đứng tại x=-1), nên tiệm cận đứng là x=-1.
d) Sai: hàm số không xác định tại x=-1 nên không đồng biến trên cả khoảng (-2;0); hàm chỉ đồng biến trên từng khoảng (-2;-1) và (-1;0).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên khớp với đồ thị: giảm từ +∞ xuống 1 trên (-∞;-2), tăng lên +∞ trên (-2;-1), tăng từ -∞ lên -3 trên (-1;0), giảm xuống -∞ trên (0;+∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng (nếu có) là trung điểm hai điểm cực trị (-2;1) và (0;-3), tức là (-1;-1), không phải I(-1;1).
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hai nhánh đồ thị tiến đến vô cực khi x→-1⁻ và x→-1⁺ nên tiệm cận đứng là x=-1.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hàm không xác định tại x=-1 nên không đồng biến trên khoảng (-2;0); chỉ đồng biến trên từng khoảng (-2;-1) và (-1;0).

a) Bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ (theo hình vẽ). » Chọn ĐÚNG.
b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=-1$ (nhìn hình vẽ). » Chọn ĐÚNG.
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;-1)$ và $(-1;0)$. » Chọn SAI.
d) Bảng kết quả chính thức ghi SAI; dòng lời giải nguồn ghi «Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận $I(-1;1)$ » Chọn ĐÚNG.» — có mâu thuẫn nội bộ trong nguồn (xem issues).
a) Bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ (theo hình vẽ). » Chọn ĐÚNG.
b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=-1$ (nhìn hình vẽ). » Chọn ĐÚNG.
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;-1)$ và $(-1;0)$. » Chọn SAI.
d) Theo bảng kết quả chính thức thì ý d) là SAI; tuy nhiên dòng lời giải in «Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận $I(-1;1)$ » Chọn ĐÚNG.» — mâu thuẫn với bảng kết quả (S) trong nguồn.

Đồ thị hàm số có TCD: $x=1$ và TCN: $y=1$ nên tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho là $(1;1)$. Chọn A

a) Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ nên đồng biến trên $(-\infty ;-3)$. (Đúng)
b) Ta có: $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ mà $f^{\prime }(-2)=0\Rightarrow 12a-4b+c=0\Rightarrow 12a+c=4b$. (Đúng)
c) Làm như câu b ta có $f^{\prime }(2)=0\Rightarrow 12a+4b+c=0\Rightarrow 12a+c=-4b$ nên $b=0;c=-12a$. Mặt khác $\{\begin{array}{l}f(-2)=1\Rightarrow -8a+2.12a+d=1\\ f(2)=-3\Rightarrow 8a-2.12a+d=-3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0,125\\ c=-1,5\\ d=-1\end{array}$. Giải phương trình thấy tổng các nghiệm khác -2. (Sai)
d) Thay 4 vào thấy $f(4)=1$. (Đúng)
a) Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ nên đồng biến trên $(-\infty ;-3)$. (Đúng) (Ghi chú: đề mã 522 in "(-∞; 3)", đề mã 0106 và lời giải dùng "(-∞; -3)".)
b) Ta có: $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ mà $f^{\prime }(-2)=0\Rightarrow 12a-4b+c=0\Rightarrow 12a+c=4b$. (Đúng)
c) Làm như câu b ta có $f^{\prime }(2)=0\Rightarrow 12a+4b+c=0\Rightarrow 12a+c=-4b$ nên $b=0;c=-12a$. Mặt khác $\{\begin{array}{l}f(-2)=1\Rightarrow -8a+2.12a+d=1\\ f(2)=-3\Rightarrow 8a-2.12a+d=-3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0,125\\ c=-1,5\\ d=-1\end{array}$. Giải phương trình thấy tổng các nghiệm khác -2. (Sai)
d) Thay 4 vào thấy $f(4)=1$. (Đúng)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-2$, đồ thị đi qua điểm $(0;1)$. Kiểm tra phương án D: $y=\frac{1-2x}{x+1}$ có mẫu bằng 0 tại $x=-1$ (TCĐ $x=-1$), bậc tử bằng bậc mẫu nên TCN $y=\frac{-2}{1}=-2$, và $y(0)=\frac{1}{1}=1$ khớp đồ thị. Các phương án khác: B có TCN $y=2$; C có TCĐ $x=1$; A có tiệm cận xiên nên đều loại.

a) Ta có:
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-1}{x+4}=1;\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-1}{x+4}=1$$
$$\underset{x\to -4^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to -4^{+}}{\lim }\frac{x-1}{x+4}=-\infty ;\underset{x\to -4^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to -4^{-}}{\lim }\frac{x-1}{x+4}=+\infty$$
Vậy hàm số $y=f(x)$ nhận đường thẳng $x=-4$ làm tiệm cận đứng và nhận đường thẳng $y=1$ làm tiệm cận ngang. Do đó nhận điểm $I(-4;1)$ là tâm.
Mặt khác, điểm $I(-4;1)$ không nằm trên đường thẳng $y=-4x$ nên a) sai.
b) Xét hàm số $y=g(x)$ trên $(0;+\infty )$, ta có $g^{\prime }(x)=\ln x+1,\forall x>0$.
Xét phương trình $g^{\prime }(x)=0\iff \ln x=-1\iff x=e^{-1}$.
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $g(x)$ không đồng biến trên $(0;+\infty )$. Do đó b) sai.
c) Xét phương trình:
$$(x+4)f^{\prime }(x)-g(x)=0\iff (x+4).\frac{5}{(x+4{)}^2}-x\ln x=0\iff \frac{5}{x+4}-x\ln x=0$$
Xét hàm số $h(x)=\frac{5}{x+4}-x\ln x$ trên $(0;+\infty )$, ta có:
$$h^{\prime }(x)=\frac{-5}{(x+4{)}^2}-\ln x-1,\Rightarrow h^{\prime \prime }(x)=\frac{10}{(x+4{)}^3}-\frac{1}{x}=\frac{-x^3-12x^2-38x-64}{x(x+4{)}^3}<0,\forall x>0$$
Vậy $h^{\prime }(x)$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Do đó phương trình $h^{\prime }(x)=0$ có không quá một nghiệm trên $(0;+\infty )$. Mặt khác, ta có $h^{\prime }(1)=-\frac{6}{5}<0$ và $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }h(x)>0$. Do đó, theo định lý giá trị trung gian, phương trình $h^{\prime }(x)=0$ có duy nhất một nghiệm trong $(0;1)$ và cũng có duy nhất một nghiệm trong $(0;+\infty )$.
Gọi $a$ là nghiệm duy nhất của phương trình $h^{\prime }(x)=0$. Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên và chú ý $h(1)=1>0$. Ta được phương trình $(x+4)f^{\prime }(x)-g(x)=0$ có nghiệm duy nhất trên $(0;+\infty )$. Vậy c) đúng.
d) Ta có $h(2)=\frac{5}{6}-\ln 2-1=-\frac{1}{6}-\ln 2<0$. Từ đây, đối chiếu với bảng biến thiên thu được, ta được d) sai.
Chọn đáp án a sai | b sai | c đúng | d sai
a) Ta có:
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-1}{x+4}=1;\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-1}{x+4}=1$$
$$\underset{x\to -4^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to -4^{+}}{\lim }\frac{x-1}{x+4}=-\infty ;\underset{x\to -4^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to -4^{-}}{\lim }\frac{x-1}{x+4}=+\infty$$
Vậy hàm số $y=f(x)$ nhận đường thẳng $x=-4$ làm tiệm cận đứng và nhận đường thẳng $y=1$ làm tiệm cận ngang. Do đó nhận điểm $I(-4;1)$ là tâm.
Mặt khác, điểm $I(-4;1)$ không nằm trên đường thẳng $y=-4x$ nên a) sai.
b) Xét hàm số $y=g(x)$ trên $(0;+\infty )$, ta có $g^{\prime }(x)=\ln x+1,\forall x>0$.
Xét phương trình $g^{\prime }(x)=0\iff \ln x=-1\iff x=e^{-1}$.
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $g(x)$ không đồng biến trên $(0;+\infty )$. Do đó b) sai.
c) Xét phương trình:
$$(x+4)f^{\prime }(x)-g(x)=0\iff (x+4).\frac{5}{(x+4{)}^2}-x\ln x=0\iff \frac{5}{x+4}-x\ln x=0$$
Xét hàm số $h(x)=\frac{5}{x+4}-x\ln x$ trên $(0;+\infty )$, ta có:
$$h^{\prime }(x)=\frac{-5}{(x+4{)}^2}-\ln x-1,\Rightarrow h^{\prime \prime }(x)=\frac{10}{(x+4{)}^3}-\frac{1}{x}=\frac{-x^3-12x^2-38x-64}{x(x+4{)}^3}<0,\forall x>0$$
Vậy $h^{\prime }(x)$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Do đó phương trình $h^{\prime }(x)=0$ có không quá một nghiệm trên $(0;+\infty )$. Mặt khác, ta có $h^{\prime }(1)=-\frac{6}{5}<0$ và $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }h(x)>0$. Do đó, theo định lý giá trị trung gian, phương trình $h^{\prime }(x)=0$ có duy nhất một nghiệm trong $(0;1)$ và cũng có duy nhất một nghiệm trong $(0;+\infty )$.
Gọi $a$ là nghiệm duy nhất của phương trình $h^{\prime }(x)=0$. Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên và chú ý $h(1)=1>0$. Ta được phương trình $(x+4)f^{\prime }(x)-g(x)=0$ có nghiệm duy nhất trên $(0;+\infty )$. Vậy c) đúng.
d) Ta có $h(2)=\frac{5}{6}-\ln 2-1=-\frac{1}{6}-\ln 2<0$. Từ đây, đối chiếu với bảng biến thiên thu được, ta được d) sai.

a) Xét hàm số $y=x+2+\frac{1}{x-1}$ trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, ta có:
$$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-1{)}^2},\forall x\ne 1$$
Do $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $0<x<1$ và $1<x<2$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$ và $(1;2)$. Vậy a) đúng.
b) Xét phương trình:
$$f^{\prime }(x)=0\iff 1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\iff (x-1{)}^2=1\iff x=2\text{ hoặc }x=0$$
Vậy ta được hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $(C)$ là $A(0;1)$ và $B(2;5)$.

Ta có $S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot d(B,OA)=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot d(B,Oy)=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=1$. Vậy b) đúng.
c) Ta có:
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}\right)=+\infty ;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}\right)=-\infty$$
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}-x-2\right)=0;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}-x-2\right)=0$$
Vậy đồ thị $(C)$ nhận đường thẳng $(d_1)$ có phương trình $x=1$ là tiệm cận đứng và nhận đường thẳng $(d_2)$ có phương trình $x-y+2=0$ là tiệm cận xiên.
Xét điểm $M(x,y)\in (C)$ bất kì, ta có:
$$d(M,d_1)+d(M,d_2)=|x-1|+\frac{|x-y+2|}{\sqrt{2}}$$
Thay $y=x+2+\frac{1}{x-1}$, ta được:
$$d(M,d_1)+d(M,d_2)=|x-1|+\frac{\left|x-x-2-\frac{1}{x-1}+2\right|}{\sqrt{2}}=|x-1|+\frac{1}{\sqrt{2}|x-1|}\ge 2.\sqrt{|x-1|.\frac{1}{\sqrt{2}|x-1|}}=\sqrt{2\sqrt{2}}$$
Dấu "$=$" xảy ra tại $(x-1{)}^2=\frac{1}{\sqrt{2}}$ hay $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}+1$. Vậy c) sai.
d) Ta biết rằng phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $(x_0,y_0)$ bất kì trên đồ thị $(C)$ có dạng:
$$y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
Để tiếp tuyến này đi qua $M(a;0)$ thì:
$$f^{\prime }(x_0)(a-x_0)+f(x_0)=0$$
$$\iff \left(1-\frac{1}{(x_0-1{)}^2}\right)(a-x_0)+\left(x_0+2+\frac{1}{x_0-1}\right)=0$$
$$\iff \left[(x_0-1{)}^2-1\right](a-x_0)+(x_0+2)(x_0-1{)}^2+(x_0-1)=0$$
$$\iff (x_0^2-2x_0)(a-x_0)+(x_0+2)(x_0^2-2x_0+1)+(x_0-1)=0$$
$$\iff (a+2)x_0^2-2(a+1)x_0+1=0$$
Số tiếp tuyến kẻ được từ $M$ đến $(C)$ bằng số nghiệm của phương trình:
$$(a+2)x^2-2(a+1)x+1=0$$
Xét ${\Delta }^{\prime }=(a+1{)}^2-(a+2)=a^2+a-1$. Tuy nhiên không phải lúc nào ${\Delta }^{\prime }$ cũng không âm. Chẳng hạn với $a=0$, ta được $\Delta =-1<0$. Tức từ $M(0;0)$ không kẻ được tiếp tuyến tới $(C)$. Vậy d) sai.
Chọn đáp án a đúng | b đúng | c sai | d sai
a) Xét hàm số $y=x+2+\frac{1}{x-1}$ trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, ta có:
$$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-1{)}^2},\forall x\ne 1$$
Do $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $0<x<1$ và $1<x<2$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$ và $(1;2)$. Vậy a) đúng.
b) Xét phương trình:
$$f^{\prime }(x)=0\iff 1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\iff (x-1{)}^2=1\iff x=2\text{ hoặc }x=0$$
Vậy ta được hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $(C)$ là $A(0;1)$ và $B(2;5)$.

Ta có $S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot d(B,OA)=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot d(B,Oy)=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=1$. Vậy b) đúng.
c) Ta có:
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}\right)=+\infty ;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}\right)=-\infty$$
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}-x-2\right)=0;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}-x-2\right)=0$$
Vậy đồ thị $(C)$ nhận đường thẳng $(d_1)$ có phương trình $x=1$ là tiệm cận đứng và nhận đường thẳng $(d_2)$ có phương trình $x-y+2=0$ là tiệm cận xiên.
Xét điểm $M(x,y)\in (C)$ bất kì, ta có:
$$d(M,d_1)+d(M,d_2)=|x-1|+\frac{|x-y+2|}{\sqrt{2}}$$
Thay $y=x+2+\frac{1}{x-1}$, ta được:
$$d(M,d_1)+d(M,d_2)=|x-1|+\frac{\left|x-x-2-\frac{1}{x-1}+2\right|}{\sqrt{2}}=|x-1|+\frac{1}{\sqrt{2}|x-1|}\ge 2.\sqrt{|x-1|.\frac{1}{\sqrt{2}|x-1|}}=\sqrt{2\sqrt{2}}$$
Dấu "$=$" xảy ra tại $(x-1{)}^2=\frac{1}{\sqrt{2}}$ hay $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}+1$. Vậy c) sai.
d) Ta biết rằng phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $(x_0,y_0)$ bất kì trên đồ thị $(C)$ có dạng:
$$y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
Để tiếp tuyến này đi qua $M(a;0)$ thì:
$$f^{\prime }(x_0)(a-x_0)+f(x_0)=0$$
$$\iff \left(1-\frac{1}{(x_0-1{)}^2}\right)(a-x_0)+\left(x_0+2+\frac{1}{x_0-1}\right)=0$$
$$\iff \left[(x_0-1{)}^2-1\right](a-x_0)+(x_0+2)(x_0-1{)}^2+(x_0-1)=0$$
$$\iff (x_0^2-2x_0)(a-x_0)+(x_0+2)(x_0^2-2x_0+1)+(x_0-1)=0$$
$$\iff (a+2)x_0^2-2(a+1)x_0+1=0$$
Số tiếp tuyến kẻ được từ $M$ đến $(C)$ bằng số nghiệm của phương trình:
$$(a+2)x^2-2(a+1)x+1=0$$
Xét ${\Delta }^{\prime }=(a+1{)}^2-(a+2)=a^2+a-1$. Tuy nhiên không phải lúc nào ${\Delta }^{\prime }$ cũng không âm. Chẳng hạn với $a=0$, ta được $\Delta =-1<0$. Tức từ $M(0;0)$ không kẻ được tiếp tuyến tới $(C)$. Vậy d) sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt $x=1,2,3$ và cắt trục tung tại điểm $(0;-6)$, nên $y=a(x-1)(x-2)(x-3)$. Với $x=0$: $y=-6a=-6\Rightarrow a=1$. Khai triển: $y=x^3-6x^2+11x-6$, suy ra $a=1,b=-6,c=11,d=-6$. Khi đó $T=2a+b-c+d=2-6-11-6=-21$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{2x-4}{x+1}=2-\frac{6}{x+1}$, đồ thị $(H)$ là hyperbol có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$, tâm $I(-1;2)$.

a) Điểm $M\left(t;2-\frac{6}{t+1}\right)$ với $t\ne -1$. Đường thẳng $(d):y=6x+2\iff 6x-y+2=0$. Khoảng cách:
$$d(M,(d))=\frac{\left|6t-\left(2-\frac{6}{t+1}\right)+2\right|}{\sqrt{37}}=\frac{6\left|t+\frac{1}{t+1}\right|}{\sqrt{37}}=\frac{6\left|u-1+\frac{1}{u}\right|}{\sqrt{37}}$$ với $u=t+1\ne 0$. Với $u>0$: $u+\frac{1}{u}-1\ge 2-1=1$; với $u<0$: $\left|u-1+\frac{1}{u}\right|=v+\frac{1}{v}-1\ge 1$ với $v=-u>0$. Vậy khoảng cách nhỏ nhất bằng $\frac{6}{\sqrt{37}}$, không phải $\frac{18}{\sqrt{37}}$. → Sai.

b) Trên $[1;3]$: $f(1)=-1$, $f(3)=\frac{1}{2}$, hàm số đồng biến, $f(2)=0$. Do đó ${\max }_{[1;3]}|f(x)|=1$, ${\min }_{[1;3]}|f(x)|=0$, tổng bằng $1\ne \frac{3}{2}$. → Sai.

c) $y=2-\frac{6}{x+1}$ nguyên khi $x+1$ là ước của $6$: $x+1\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\}$, cho 8 điểm nguyên: $(0;-4),(1;-1),(2;0),(5;1),(-2;8),(-3;5),(-4;4),(-7;3)$. Vậy có 8 điểm chứ không phải 6. → Sai.

d) Xét các đường thẳng mà mọi điểm chung với $(H)$ đều có tọa độ nguyên:
• Đường thẳng qua hai trong 8 điểm nguyên (cắt $(H)$ tại đúng 2 điểm đó, không có 3 điểm nào thẳng hàng): $C_8^2=28$ đường.
• Tiếp tuyến tại mỗi điểm nguyên: 8 đường (điểm chung duy nhất là điểm tiếp xúc nguyên).
• Đường thẳng qua mỗi điểm nguyên và song song với tiệm cận đứng $x=-1$ (tức đường thẳng $x=x_0$): 8 đường (các hoành độ đôi một khác nhau), mỗi đường chỉ cắt $(H)$ tại đúng điểm nguyên đó.
• Đường thẳng qua mỗi điểm nguyên và song song với tiệm cận ngang $y=2$ (tức $y=y_0$): 8 đường (các tung độ đôi một khác nhau).
Tổng: $28+8+8+8=52$ đường thẳng phân biệt. → Đúng.

Kết luận: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm trên $(H)$ đến $(d)$ bằng $\frac{6}{\sqrt{37}}$, không phải $\frac{18}{\sqrt{37}}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;3]$: $\max |f|=1$, $\min |f|=0$ (vì $f(2)=0$), tổng bằng $1\ne \frac{3}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x+1$ là ước của 6 nên có 8 điểm nguyên, không phải 6.
d) (AI giải đề cho tôi)
28 cát tuyến qua 2 điểm nguyên + 8 tiếp tuyến + 8 đường song song tiệm cận đứng + 8 đường song song tiệm cận ngang = 52 đường.