Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên $y=-x-1$. Xét phương án A: $y=\frac{-x^2-3x+4}{x+2}$. Chia đa thức: $-x^2-3x+4=(x+2)(-x-1)+6$, nên $y=-x-1+\frac{6}{x+2}$. Hàm số có tiệm cận đứng $x=-2$ (vì mẫu bằng 0 tại $x=-2$) và tiệm cận xiên $y=-x-1$ khi $x\to \pm \infty$, khớp hoàn toàn với đồ thị. Phương án B có tiệm cận đứng $x=2$ (loại), C có tiệm cận đứng $x=-2$ nhưng tiệm cận ngang $y=1$ (loại), D là hàm bậc ba không có tiệm cận (loại). Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba (loại A, B vì chúng là hàm phân thức có tiệm cận). Với D: $y=x^3+x^2-x-1$ có $y(0)=-1$, không khớp đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương (khoảng 1). Với C: $y=x^3+2x^2-x+1$ có $y(0)=1$ đúng; $y^{\prime }=3x^2+4x-1=0$ cho $x\approx 0,215$ (điểm cực tiểu, giá trị $\approx 0,89$ gần 1) và $x\approx -1,549$ (điểm cực đại, giá trị dương), khớp hình vẽ: cực tiểu ngay bên phải trục $Oy$ gần mức 1, cực đại bên trái với giá trị dương. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

a) $y^{\prime }=1-\frac{4}{x^2}$, không phải $1+\frac{4}{x^2}$ → SAI.

b) $y^{\prime }=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}$. Vì $x\ne 0$ nên $x^2>0$, dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $x^2-4$: $y^{\prime }<0$ khi $x\in (-2;0)\cup (0;2)$; $y^{\prime }>0$ khi $x\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$ → ĐÚNG.

c) Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{x^2-4}{x^2}$ chỉ triệt tiêu tại $x=\pm 2$, với $y(-2)=-4$ (cực đại) và $y(2)=4$ (cực tiểu). Bảng biến thiên trong đề lại ghi điểm tới hạn $x=-3$ với giá trị $y=4$, và $y\to -\infty$ khi $x\to -2^{-}$ (thực tế $y(-2)=-4$), đồng thời ghi cực tiểu $-4$ tại $x=2$ (thực tế $y(2)=4$). Bảng không khớp với hàm số đã cho → SAI.

Bảng biến thiên đúng:
$$<table><tbody><tr><td>x</td><td>-\infty </td><td></td><td>-2</td><td></td><td>2</td><td></td><td>+\infty </td></tr><tr><td>y^{\prime }</td><td></td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td>0</td><td>+</td><td></td></tr><tr><td>y</td><td>-\infty </td><td>\nearrow </td><td>-4</td><td>\searrow </td><td>4</td><td>\nearrow </td><td>+\infty </td></tr></tbody></table>$$

(dòng $y$ trên $(-\infty ;0)$: từ $-\infty$ tăng lên $-4$ tại $x=-2$ rồi giảm về $-\infty$; trên $(0;+\infty )$: từ $+\infty$ giảm xuống $4$ tại $x=2$ rồi tăng lên $+\infty$.)

d) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=0$, tiệm cận xiên $y=x$, cực đại $(-2;-4)$, cực tiểu $(2;4)$ — khớp với hình vẽ trong đề → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y=x+\frac{4}{x}$ nên $y^{\prime }=1-\frac{4}{x^2}$, không phải $1+\frac{4}{x^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=\frac{x^2-4}{x^2}$ âm trên $(-2;0),(0;2)$ và dương trên $(-\infty ;-2),(2;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Đạo hàm thực tế $y^{\prime }=\frac{x^2-4}{x^2}$ chỉ triệt tiêu tại $x=\pm 2$ với $y(-2)=-4$ (cực đại), $y(2)=4$ (cực tiểu); bảng trong đề ghi $x=-3$, $y=4$ tại $-3$ và $-\infty$ tại $-2$, không khớp với hàm số đã cho → SAI.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Đồ thị có TCĐ $x=0$, TCX $y=x$, cực đại $(-2;-4)$, cực tiểu $(2;4)$, khớp với hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là đường cong bậc ba đi qua gốc tọa độ O, có cực đại tại điểm có hoành độ âm và cực tiểu tại điểm có hoành độ dương, đồng thời khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$. Xét $y=x^3-3x$: có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; tại $x=-1$ hàm đạt cực đại $y=2>0$ (bên trái trục Oy), tại $x=1$ hàm đạt cực tiểu $y=-2<0$ (bên phải trục Oy), và đồ thị đi qua gốc O, phù hợp hoàn toàn với hình vẽ. Các phương án B, C, D có hệ số $a<0$ nên khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$, hoặc không đi qua gốc tọa độ (C có $y(0)=1$), không khớp hình vẽ. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đi lên ở hai đầu nên $a>0$ (đúng). Cực đại tại $(-1;3)$, cực tiểu tại $(1;-1)$ nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$. Do đó khẳng định 'nghịch biến trên $(1;+\infty )$' sai. Tại $x=0$, đồ thị nằm trên trục hoành (đi từ điểm cao $(-1;3)$ xuống cắt trục hoành ở điểm dương gần 0), nên $f(0)=d>0$: đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương, khẳng định c) sai. Đường thẳng $y=2$ nằm giữa $-1$ và $3$ nên cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt: $f(x)=2$ có 3 nghiệm phân biệt, khẳng định d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi lên ở hai đầu vô cực nên $a>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(-1;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty )$ vì có cực tiểu tại $x=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$ đồ thị nằm phía trên trục hoành nên $f(0)=d>0$, tung độ giao điểm với trục tung là dương.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1<2<3$ (giữa giá trị cực tiểu và cực đại), phương trình $f(x)=2$ có 3 nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{x^2+2x-1}{-x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

a) $y^{\prime }=\frac{(2x+2)(-x-1)+(x^2+2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{-2(x+1{)}^2+x^2+2x-1}{(x+1{)}^2}=\frac{-x^2-2x-3}{(x+1{)}^2}$.
Vì $-x^2-2x-3=-(x+1{)}^2-2<0$ với mọi $x$, nên $y^{\prime }<0$ trên toàn tập xác định, hàm số không có cực trị → khẳng định a) SAI.

b) Vì $y^{\prime }<0$ với mọi $x\ne -1$, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ → khẳng định b) ĐÚNG.

c) Chia đa thức: $\frac{x^2+2x-1}{-x-1}=-x-1-\frac{2}{x+1}$, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(-x-1)\right]=0$. Vậy $(C)$ có tiệm cận xiên $y=-x-1$ → khẳng định c) ĐÚNG.

d) Tại $x=0$: $y=\frac{-1}{-1}=1$, tức đồ thị cắt trục tung tại $(0;1)$, không cắt trục $Ox$ tại điểm đó. Giao điểm với $Ox$ là nghiệm của $x^2+2x-1=0$, tức $x=-1\pm \sqrt{2}$ → khẳng định d) SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-x^2-2x-3}{(x+1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -1$ nên hàm số không có điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }<0$ trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=-x-1-\frac{2}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=-x-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=1$ là giao với trục tung; giao với $Ox$ là $x=-1\pm \sqrt{2}$, không phải $A(0;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$, có điểm cực đại với hoành độ âm và điểm cực tiểu với hoành độ dương, đồng thời $y\to +\infty$ khi $x\to +\infty$ (nhánh trái xuống, nhánh phải lên). Xét các phương án: - $y=x^3-3x$: đi qua $O$, $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$, cực đại tại $x=-1$, cực tiểu tại $x=1$, phù hợp với hình. - $y=-x^3+3x$: nhánh trái lên, nhánh phải xuống, ngược với hình. - $y=-x^3-3x^2+1$: đi qua điểm $(0;1)$ chứ không qua gốc tọa độ. - $y=-x^3+3x^2$: đi qua $O$ nhưng có dạng $-x^2(x-3)$, cực trị tại $x=0$ và $x=3$, không khớp hình. Vậy đáp án là $y=x^3-3x$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ nên $c(-2)+2=0\Rightarrow c=1$. Tiệm cận xiên: chia đa thức, $y=\frac{a{x}^2+bx+1}{x+2}=ax+(b-2a)+\frac{1-2(b-2a)}{x+2}$, nên tiệm cận xiên là $y=ax+(b-2a)$. Từ hình vẽ, đường tiệm cận xiên đi qua điểm $(0;1)$ và cắt trục hoành tại $x=-1$ (điểm $-1$ trên hình), tức là đường thẳng $y=x+1$. Suy ra $a=1$ và $b-2a=1\Rightarrow b=3$. Khi đó $T=2a+3b-c=2+9-1=10$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
a) $y^{\prime }=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$ nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ → đúng.
b) $y$ nguyên khi $(x-1)\mid 3$, tức $x-1\in \{\pm 1,\pm 3\}$, cho $x\in \{-2,0,2,4\}$ với các điểm $(-2;1),(0;-1),(2;5),(4;3)$ — có 4 điểm chứ không phải 3 → sai.
c) Tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=\frac{2}{1}=2$ (không phải $y=1$) → sai.
d) Diện tích tứ giác $MHOK$ (Hình chữ nhật với $M(x;y)$, $H(x;0)$, $O(0;0)$, $K(0;y)$) là $|xy|=2$. Với $x>0$: $xy=\frac{x(2x+1)}{x-1}=2\iff 2x^2+x=2x-2\iff 2x^2-x+2=0$, có $\Delta =1-16=-15<0$ → vô nghiệm, không có điểm $M$ nào thỏa mãn → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, nên hàm nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=\frac{2x+1}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$ nguyên khi $(x-1)\mid 3$, tức $x-1\in \{\pm 1,\pm 3\}$, cho 4 điểm nguyên: $(-2;1),(0;-1),(2;5),(4;3)$, không phải 3 điểm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$ (tỉ số hệ số của tử và mẫu là $2/1=2$), không phải $y=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tứ giác $MHOK$ là $|xy|=2$. Với $x>0$: $\frac{x(2x+1)}{x-1}=2\iff 2x^2-x+2=0$ có $\Delta =-15<0$, vô nghiệm nên không có điểm $M$ nào thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{3x^2+2x-5}{x+1}=\frac{(3x-1)(x+1)-4}{x+1}=3x-1-\frac{4}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
a) Đường thẳng $y=k$ cắt $(C)$: $3x-1-\frac{4}{x+1}=k\iff 3x^2+(2-k)x-5-k=0$. Biệt thức $\Delta =(2-k{)}^2+12(5+k)=k^2+8k+64>0$ với mọi $k$ (vì $64-256<0$). Thử $x=-1$: $3-(2-k)-5-k=-4\ne 0$ nên không có nghiệm $x=-1$. Vậy mọi đường thẳng song song hoặc trùng trục hoành đều cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt → đúng.
b) ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng $x=-1$ → đúng.
c) $y=x$ cắt $(C)$: $x=3x-1-\frac{4}{x+1}\iff (1-2x)(x+1)=-4\iff 2x^2+x-5=0$. Theo Viète $S=x_1+x_2=-\frac{1}{2}\ne -\frac{1}{4}$ → sai.
d) Đồ thị $y=3x-1-\frac{4}{x+1}$ có tâm đối xứng là giao của tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=3x-1$, tức $I(-1;-4)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm $3x^2+(2-k)x-5-k=0$ có $\Delta =k^2+8k+64>0$ với mọi $k$ và không có nghiệm $x=-1$, nên luôn cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -1^{\pm }}\frac{3x^2+2x-5}{x+1}=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2x^2+x-5=0$ cho $S=x_1+x_2=-\frac{1}{2}$, không phải $-\frac{1}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận $x=-1$ và $y=3x-1$, tức $I(-1;-4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $2+c=0\Rightarrow c=-2$. Tiệm cận ngang $y=1$ nên $\frac{a}{2}=1\Rightarrow a=2$. Đồ thị đi qua điểm $(0;2)$: $y(0)=\frac{b}{c}=2\Rightarrow b=2c=-4$. Vậy $P=abc=2\cdot (-4)\cdot (-2)=16$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt cực đại tại điểm $(-1;3)$ và cực tiểu tại điểm $(1;-1)$, nên hàm số có dạng $y=x^3+bx+c$ với $y^{\prime }=3x^2+b$ có nghiệm $x=\pm 1$, suy ra $b=-3$. Kiểm tra $y=x^3-3x+1$: tại $x=-1$ có $y=-1+3+1=3$ (cực đại) và tại $x=1$ có $y=1-3+1=-1$ (cực tiểu), khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: B và D có $y^{\prime }=3x^2-6x$ với cực trị tại $x=0;2$ (không đúng vị trí); C có $y=x^3-3x-4$ cho cực đại $-2$ và cực tiểu $-6$ (không đúng giá trị). Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $f(x)=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$. a) Trên $(-1;+\infty )$: với $-1<x<0$ thì $(x+1{)}^2<1$ nên $f^{\prime }(x)<0$; với $x>0$ thì $f^{\prime }(x)>0$. Vậy hàm số không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;+\infty )$ → Sai. b) Vì bậc tử cao hơn bậc mẫu 1 bậc và $f(x)=x+1+\frac{1}{x+1}$, tiệm cận xiên là $y=x+1$ → Đúng. c) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$; trên $(-1;+\infty )$ hàm nghịch biến rồi đồng biến với điểm chuyển $x=0$, $f(0)=2$, nên điểm cực tiểu là $(0;2)$ → Đúng. d) Đặt $t=x+1\ne 0$, $|f(x)|=5\iff t+\frac{1}{t}=\pm 5$. Với $t+\frac{1}{t}=5$: $t^2-5t+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0 (vì $\Delta =21>0$, tích nghiệm 1). Với $t+\frac{1}{t}=-5$: $t^2+5t+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Tổng cộng 4 nghiệm phân biệt → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $-1<x<0$, $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(-1;0)$, do đó không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x+1+\frac{1}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x+1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0$ (trên khoảng $(-1;+\infty )$), hàm đổi chiều từ nghịch biến sang đồng biến, $f(0)=2$, nên điểm cực tiểu là $(0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=x+1\ne 0$: $t+\frac{1}{t}=5$ cho $t^2-5t+1=0$ (2 nghiệm), $t+\frac{1}{t}=-5$ cho $t^2+5t+1=0$ (2 nghiệm); cả 4 nghiệm đều khác 0 và phân biệt, nên phương trình có đúng 4 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

a) Sai. ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$ nên có tiệm cận đứng $x=2$. Vì bậc tử số (2) lớn hơn bậc mẫu (1), đồ thị có tiệm cận xiên (phép chia: $y=x+1+\frac{1}{x-2}$, tiệm cận xiên $y=x+1$) chứ không có tiệm cận ngang (${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\pm \infty$).

b) Sai. $y^{\prime }=\frac{(2x-1)(x-2)-(x^2-x-1)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}$. $y^{\prime }=0$ tại $x=1$ và $x=3$, đổi dấu qua các điểm này nên hàm số có cực trị (cực đại tại $x=1$, cực tiểu tại $x=3$).

c) Đúng. Trên $(3;+\infty )$, $(x-1)>0$, $(x-3)>0$, $(x-2{)}^2>0$ nên $y^{\prime }>0$: hàm số đồng biến.

d) Đúng. Trên $(2;6]$: với $x\in (2;3)$ thì $y^{\prime }<0$ (hàm nghịch biến), với $x\in (3;6]$ thì $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến). Trên $(2;3)$ hàm nghịch biến từ $+\infty$ xuống giá trị nhỏ nhất $y(3)=\frac{9-3-1}{1}=5$; trên $[3;6]$ hàm đồng biến nên giá trị lớn nhất đạt tại đầu mút $x=6$: $y(6)=\frac{36-6-1}{4}=\frac{29}{4}$. Vậy GTLN trên nửa khoảng $(2;6]$ bằng $\frac{29}{4}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng x=2 và tiệm cận xiên y=x+1 (không có tiệm cận ngang vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu).
b) (AI giải đề cho tôi)
y'=(x-1)(x-3)/(x-2)^2 = 0 tại x=1, x=3 và đổi dấu, nên hàm số có cực đại tại x=1 và cực tiểu tại x=3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên (3;+∞) có y'>0 nên hàm số đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên (2;3), đồng biến trên (3;6]; GTLN tại x=6: y(6)=29/4.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{(x-1{)}^2}{x-2}$. Chia đa thức: $(x-1{)}^2=(x-2{)}^2+2(x-2)+1$, nên $y=(x-2)+2+\frac{1}{x-2}=x+\frac{1}{x-2}$. a) ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$ vì tử số tại $x=2$ bằng $1\ne 0$, nên $x=2$ là tiệm cận đứng: đúng. b) Tại $x=0$: $y=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;-\frac{1}{2})$: đúng. c) $y^{\prime }=\frac{(2x-2)(x-2)-(x-1{)}^2}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}$, hai điểm cực trị $x_1=1,x_2=3$ nên $x_1+x_2=4\ne -4$: sai. d) Đồ thị $y=x+\frac{1}{x-2}$ có tiệm cận xiên $y=x$ và tiệm cận đứng $x=2$, tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(2;2)$, không phải $(2;1)$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tử số tại $x=2$ bằng $1\ne 0$ nên ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$, $x=2$ là tiệm cận đứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}=0$ cho $x_1=1,x_2=3$, tổng bằng $4\ne -4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=x+\frac{1}{x-2}$ có TCX $y=x$ và TCĐ $x=2$, tâm đối xứng là $I(2;2)$, không phải $(2;1)$.

Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=-2$. Với $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$, tiệm cận đứng là $x=-\frac{d}{c}=-1$ nên $d=c$; tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{c}=-2$ nên $a=-2c$. Đồ thị đi qua $A(0;1)$ nên $f(0)=\frac{b}{d}=1$, suy ra $b=d=c$. Chọn $c=1$, ta được $f(x)=\frac{-2x+1}{x+1}$. Khi đó $f^{\prime }(x)=\frac{-2(x+1)-(-2x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{-3}{(x+1{)}^2}$. Vậy $f^{\prime }(0)=\frac{-3}{1}=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại $(1;2)$, cực tiểu tại $(-1;-2)$ và đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ nên $d=0$. Khi đó $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$, $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ với $f^{\prime }(1)=f^{\prime }(-1)=0$: $3a+2b+c=0$ và $3a-2b+c=0$, suy ra $b=0$, $c=-3a$. Vì $f(1)=a+c=2$ nên $a-3a=2\Rightarrow a=-1$, do đó $c=3$. Vậy $f(x)=-x^3+3x$ (kiểm tra: $f(-1)=1-3=-2$ đúng). Do đó $a+b+c+d=f(1)=-1+0+3+0=2$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=0$ vào $y=x^3-3x+2$ ta được $y=0^3-3\cdot 0+2=2$. Vậy điểm $M(0;2)$ thuộc đồ thị hàm số. Đáp án C, khớp với bảng đáp án mã đề 1002 (Câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=0$ vào $y=x^3-3x+2$ ta được $y=0^3-3\cdot 0+2=2$. Vậy điểm $M(0;2)$ thuộc đồ thị hàm số. Kết quả khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1001).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x=1 nên d=-1; tiệm cận xiên y=x+1 nên a=1, a+b=1 ⇒ b=0; cực đại O(0;0) ⇒ c=0. Vậy y=x²/(x−1)=x+1+1/(x−1).
a) Đúng: tiệm cận xiên y=x+1.
b) Đúng: y'=x(x−2)/(x−1)², y'=0 tại x=0 (cực đại, y=0) và x=2 (cực tiểu, y=4) ⇒ T(2;4).
c) Sai: trên (1;2) hàm số nghịch biến (y'<0), chỉ đồng biến trên (2;+∞).
d) Đúng: y'=1−1/(x−1)². Tiếp tuyến song song ⇒ x_A+x_B=2. Tính được hệ số góc AB là m=(p−2)/(p−1) với p=x_A x_B, và trung điểm AB là I(1,2) cố định. d(M,AB)=|3m+1|/√(m²+1) lớn nhất tại m=3 (khi đó d=√10). Suy ra p=1/2, x_A,x_B=1±√2/2, AB=√2·√(1+9)=2√5.
a) (AI giải đề cho tôi)
d=-1, a=1, b=0 nên y=x²/(x−1)=x+1+1/(x−1), tiệm cận xiên y=x+1.
b) (AI giải đề cho tôi)
y'=x(x−2)/(x−1)²; x=2 cho cực tiểu y=4, tức T(2;4).
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên (1;2) có y'<0 nên hàm nghịch biến; hàm chỉ đồng biến trên (2;+∞).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến song song ⇒ x_A+x_B=2, đường AB luôn qua I(1;2). Khoảng cách từ M(4;1) lớn nhất khi m=3, suy ra x_A x_B=1/2, x_A,x_B=1±√2/2, AB=√2·√10=2√5.