Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-2$, hàm nghịch biến trên từng khoảng. Xét $y=\frac{1-2x}{x+1}$: TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ nên TCĐ $x=-1$; bậc tử bằng bậc mẫu nên TCN $y=\frac{-2}{1}=-2$; $y^{\prime }=\frac{-2(x+1)-(1-2x)}{(x+1{)}^2}=\frac{-3}{(x+1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên mỗi khoảng, khớp đồ thị. Đáp án A có TCĐ $x=1$; C có tiệm cận xiên; D có TCN $y=2$, đều loại. Khớp đáp án nguồn (mã đề 1203, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $c\cdot 1-1=0\Rightarrow c=1>0$. Tiệm cận ngang $y=-1$ nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{a}{c}=-1\Rightarrow a=-1<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-2)$: $y(0)=\frac{b}{-1}=-b=-2\Rightarrow b=2>0$. Vậy trong ba hệ số có đúng 2 số dương là $b$ và $c$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại $\left(-\frac{1}{2};-1\right)$ và cực tiểu tại $(0;-2)$. Với $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$, ta có $f^{\prime }\left(-\frac{1}{2}\right)=f^{\prime }(0)=0$ nên $c=0$ và $\frac{3a}{4}-b=0\Rightarrow b=\frac{3a}{4}$. Ngoài ra $f(0)=d=-2$ và $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{a}{8}+\frac{b}{4}-2=-1\Rightarrow -\frac{a}{8}+\frac{3a}{16}=1\Rightarrow a=16$, $b=12$. Vậy $f(x)=16x^3+12x^2-2$, $f^{\prime }(x)=48x^2+24x=24x(2x+1)$.

a) $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-\frac{1}{2}$ hoặc $x>0$. Trên khoảng $(-2;-1)$ (nằm trong miền $x<-\frac{1}{2}$) ta có $f^{\prime }(x)>0$, nên hàm số đồng biến. Đúng.

b) Trên $\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$: $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$, $f(0)=-2$, $f\left(\frac{1}{2}\right)=2+3-2=3$. Vậy $\max f=3$, $\min f=-2$, tổng bằng $1\ne -2$. Sai.

c) Tại $x=0$ (điểm cực tiểu) $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương; đổi dấu từ dương sang âm xảy ra tại $x=-\frac{1}{2}$ (điểm cực đại). Sai.

d) $3a+2b+c-d=48+24+0+2=74\ne 25$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=16x^3+12x^2-2$ ta có $f^{\prime }(x)=24x(2x+1)>0$ khi $x<-\frac{1}{2}$ hoặc $x>0$. Trên $(-2;-1)$ có $f^{\prime }(x)>0$, nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$: $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$, $f(0)=-2$, $f\left(\frac{1}{2}\right)=3$. Vậy $\max f=3$, $\min f=-2$, tổng bằng $1\ne -2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$ (điểm cực tiểu) $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương; đổi dấu từ dương sang âm xảy ra tại $x=-\frac{1}{2}$ (điểm cực đại).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=16,b=12,c=0,d=-2$ ta có $3a+2b+c-d=48+24+2=74\ne 25$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-1$, đồ thị cắt trục hoành tại $x=2$, tiệm cận ngang $y=1$. Trong các đáp án, hàm $y=\frac{x-2}{x+1}$ có mẫu bằng 0 tại $x=-1$ (TCĐ $x=-1$), bậc tử = bậc mẫu nên TCN $y=1$, và $y=0\iff x=2$. Kiểm tra thêm: với $x=0$, $y=-2$ khớp với đồ thị cắt trục tung tại $-2$. Vậy đồ thị là của hàm số ở phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (đúng với cả 4 phương án). Đồ thị đi qua điểm $(0;3)$ và có điểm cực tiểu nhánh phải tại $(2;-1)$. Thử phương án B: $y=\frac{-x^2+3x-3}{x-1}$. Tại $x=0$: $y=\frac{-3}{-1}=3$ ✓. Tại $x=2$: $y=\frac{-4+6-3}{1}=-1$ ✓. Phân tích: $y=-x+2-\frac{1}{x-1}$, có tiệm cận xiên $y=-x+2$ (đồ thị vẽ đường tiệm cận xiên đi qua $(0;2)$ và $(2;0)$, khớp hình vẽ). Khi $x\to -\infty$, $y\to +\infty$ khớp nhánh trái đi lên; khi $x\to +\infty$, $y\to -\infty$ khớp nhánh phải đi xuống. Các phương án khác: A tại $x=0$ cho $y=3$ nhưng tại $x=2$ cho $y=1\ne -1$; C tại $x=0$ cho $y=3$ nhưng tại $x=2$ cho $y=-5\ne -1$; D tại $x=0$ cho $y=-3\ne 3$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-3x-5}{x-3}=x-\frac{5}{x-3}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Ta có $y^{\prime }=1+\frac{5}{(x-3{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 3$.

a) Trên $[-2;0]$ hàm số liên tục và $y^{\prime }>0$ nên đồng biến, do đó GTLN đạt tại $x=0$: $y(0)=\frac{-5}{-3}=\frac{5}{3}$. Đúng.

b) Vì $y^{\prime }>0$ trên từng khoảng nên hàm số không có cực trị, do đó không tồn tại đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Sai.

c) Hàm số không liên tục tại $x=3$ nên không thể đồng biến trên $\mathbb{R}$ (chỉ đồng biến trên $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$). Sai.

d) $y^{\prime }=0$ vô nghiệm nên hàm số không có điểm cực trị. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;0]$, $y^{\prime }=1+\frac{5}{(x-3{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến; GTLN tại $x=0$ bằng $\frac{5}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }>0$ trên từng khoảng xác định nên hàm số không có điểm cực trị, không có đường thẳng qua hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số gián đoạn tại $x=3$, chỉ đồng biến trên $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1+\frac{5}{(x-3{)}^2}>0$ vô nghiệm nên hàm số không có điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $c\cdot 1+1=0\Rightarrow c=-1$; tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=2\Rightarrow a=-2$; đồ thị đi qua $(0;-1)$ nên $\frac{b}{1}=-1\Rightarrow b=-1$. Vậy $y=\frac{2x+1}{x-1}$.
a) Tại $x=9$: $y=\frac{19}{8}\ne 2$, nên $B(9;2)$ không thuộc đồ thị → Sai.
b) Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $(1;2)$, không phải $(2;1)$ → Sai.
c) $b=-1$ → Đúng.
d) TXĐ $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $y=\frac{2x+1}{x-1}$, tại $x=9$ ta có $y=\frac{19}{8}\ne 2$, nên $B(9;2)$ không thuộc đồ thị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$, tức là $(1;2)$, không phải $(2;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$ nên $y(0)=b=-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=1$ (do $c=-1$), nên tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có điểm cực đại tại $(1;1)$ và điểm cực tiểu tại $(-1;-3)$. Xét $y=-x^3+3x-1$: có $y^{\prime }=-3x^2+3$, $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$; $y(1)=-1+3-1=1$ (cực đại), $y(-1)=1-3-1=-3$ (cực tiểu), khớp với đồ thị. Các phương án còn lại cho giá trị cực trị khác (ví dụ B: $y(1)=-3$, $y(-1)=1$ ngược dấu; D: $y(1)=3$; C: $y(1)=-\frac{1}{3}$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{4x+3}$ xác định khi $x\ne -\frac{3}{4}$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao điểm của hai tiệm cận: tiệm cận đứng $x=-\frac{3}{4}$ và tiệm cận ngang $y=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Vậy tâm đối xứng là $I\left(-\frac{3}{4};\frac{1}{2}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi lên từ trái sang phải (hệ số $a>0$), có cực đại bên trái trục tung và cực tiểu bên phải, đồng thời cắt trục tung tại điểm có tung độ dương. Loại A vì đó là parabol. Xét $y=x^3-3x+1$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$; $y(-1)=3$ là cực đại tại $x<0$, $y(1)=-1$ là cực tiểu tại $x>0$, và $y(0)=1>0$ — khớp hoàn toàn với đồ thị. Với C, $y=-x^3+3x+1$ có $a<0$ nên đi xuống từ trái sang phải, cực đại ở $x=1>0$ (sai vị trí). Với D, $y=x^3-3x-1$ có $y(0)=-1<0$ (sai dấu giao điểm trục tung). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)=a(x-1)(x-3)$ với $a>0$, nên $f(x)=a\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)+c$. Theo bảng: $f(1)=3$ và $f(3)=-1$.
$\bullet$ $f(3)=a(9-18+9)+c=c=-1$.
$\bullet$ $f(1)=a\left(\frac{1}{3}-2+3\right)+c=\frac{4a}{3}-1=3\Rightarrow \frac{4a}{3}=4\Rightarrow a=3$.
Vậy $f(x)=x^3-6x^2+9x-1$. Khi đó $f(5)=125-150+45-1=19$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (19).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=1$ và $x=3$, $f(1)=3$, $f(3)=-1$, hàm số bậc ba nên $f^{\prime }(x)=a(x-1)(x-3)=a(x^2-4x+3)$. Suy ra $f(x)=a\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)+c$. Thay $f(3)=-1$: $a(9-18+9)+c=c=-1\Rightarrow c=-1$. Thay $f(1)=3$: $a\left(\frac{1}{3}-2+3\right)-1=\frac{4a}{3}-1=3\Rightarrow a=3$. Vậy $f(x)=x^3-6x^2+9x-1$ và $f(5)=125-150+45-1=19$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (19).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$. Xét $y=\frac{x+1}{x-1}$: có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$ (tỉ số hệ số cao nhất $1/1$), và $y(0)=\frac{1}{-1}=-1<0$ (nhánh trái cắt trục tung tại điểm âm), $y(2)=3>1$ (nhánh phải nằm trên tiệm cận ngang và giảm dần vì $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$). Điều này khớp hoàn toàn với hình vẽ. Các phương án khác: B có tiệm cận đứng $x=-1$; C có tiệm cận ngang $y=-2$; D có tiệm cận đứng $x=-1$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 103, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đề bài thuộc mã đề 0102, nên đối chiếu đáp án phần II câu 4 cột mã 102: DSSD, khớp với kết quả giải độc lập sau.

Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x+1$ (đường thẳng đi qua $(-1;0)$ và $(0;1)$).

a) Đúng: theo hình vẽ, nhánh đồ thị tiệm dần đường thẳng $y=x+1$ khi $x\to \pm \infty$, nên tiệm cận xiên là $y=x+1$.

b) Sai: nhánh trái có điểm cực tiểu tại $(-2;-2)$ (được đánh dấu bằng đường gián đoạn trên hình), nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$ và đồng biến trên $(-2;-1)$. Do đó hàm số không nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$ (trên $(-2;-1)$ nó đồng biến).

c) Sai: tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên: $x=-1$, $y=(-1)+1=0$, tức $I(-1;0)\ne (0;-1)$.

d) Đúng: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (nhánh trái tiến tới $-\infty$ khi $x\to (-1{)}^{-}$, nhánh phải tiến tới $+\infty$ khi $x\to (-1{)}^{+}$).

Kết quả: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng — trùng với đáp án nguồn (mã 102: DSSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị tiệm dần đường thẳng $y=x+1$ khi $x\to \pm \infty$, nên tiệm cận xiên là $y=x+1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nhánh trái có cực tiểu tại $(-2;-2)$, hàm số đồng biến trên $(-2;-1)$, nên không nghịch biến trên toàn khoảng $(-2;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x+1$, tức $I(-1;0)$, không phải $I(0;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị tiến tới vô cực khi $x\to (-1{)}^{\pm }$, nên có tiệm cận đứng $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu tại $x=1$ và $x=3$ nên $f^{\prime }(x)=a(x-1)(x-3)$. Do đó $f(x)=a\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)+c$. Theo bảng: $f(1)=3$ và $f(3)=-1$. Thay vào: $f(3)=a(9-18+9)+c=c=-1$; $f(1)=a\left(\frac{1}{3}-2+3\right)+c=\frac{4a}{3}-1=3\Rightarrow a=3$. Vậy $f(x)=x^3-6x^2+9x-1$ và $f(5)=125-150+45-1=19$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (19).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$. Xét $y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$: có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$; $y(0)=-1<0$ (nhánh trái cắt trục tung tại điểm âm, phù hợp hình vẽ); $y^{\prime }=-\frac{2}{(x-1{)}^2}<0$ nên hàm nghịch biến trên mỗi nhánh, nhánh phải ($x>1$) nằm trên $y=1$ và tiến xuống, nhánh trái nằm dưới $y=1$ — khớp hoàn toàn với đường cong. Các phương án khác: A có $y=-2+\frac{3}{x-1}$ (TCN $y=-2$, sai); C có TCĐ $x=-1$, TCN $y=1$ nhưng $y(0)=2>0$ (sai); D có TCĐ $x=-1$ (sai). Vậy đáp án là B, trùng với đáp án của đề (mã 102, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)=a(x-1)(x-3)$ với $a>0$. Khi đó $f(x)=a\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)+c$. Thay $f(3)=-1$: $a(9-18+9)+c=c=-1\Rightarrow c=-1$. Thay $f(1)=3$: $a\left(\frac{1}{3}-2+3\right)-1=3\Rightarrow \frac{4a}{3}=4\Rightarrow a=3$. Vậy $f(x)=x^3-6x^2+9x-1$ và $f(5)=125-150+45-1=19$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (19).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$; nhánh phải (với $x>1$) nằm trên đường $y=1$ và giảm dần, nhánh trái nằm dưới trục hoành (đi qua điểm có tung độ âm khi $x$ gần 0). Xét $y=\frac{x+1}{x-1}$: có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$; tại $x=0$ thì $y=-1<0$; với $x>1$ thì $y>1$ và $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ (giảm dần) — khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: B có TCĐ $x=-1$, TCN $y=1$ nhưng với $x>1$ thì $y<1$; C có TCN $y=-2$; D có TCĐ $x=-1$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$. Cắt trục $Ox$: $y=0\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1$, nên $A(1;0)$. Cắt trục $Oy$: $x=0\Rightarrow y=\frac{-1}{1}=-1$, nên $B(0;-1)$. Tam giác $OAB$ vuông tại $O$ với $OA=1$, $OB=1$, nên diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-1}{2x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{\frac{1}{2}\}$.
a) $y^{\prime }=\frac{3(2x-1)-2(3x-1)}{(2x-1{)}^2}=\frac{6x-3-6x+2}{(2x-1{)}^2}=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}\ne \frac{-5}{(2x-1{)}^2}$ → SAI.
b) Vì $y^{\prime }<0$ trên cả hai khoảng, hàm số nghịch biến (không đồng biến) trên $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ → SAI.
c) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{3}{2}$ nên tiệm cận ngang $y=\frac{3}{2}$; ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$ → ĐÚNG.
d) Hai tiệm cận $x=\frac{1}{2}$, $y=\frac{3}{2}$ cùng hai trục tạo thành hình chữ nhật với các đỉnh $(0;0),(\frac{1}{2};0),(\frac{1}{2};\frac{3}{2}),(0;\frac{3}{2})$, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4}$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3(2x-1)-2(3x-1)}{(2x-1{)}^2}=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}$, không phải $\frac{-5}{(2x-1{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y^{\prime }=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne \frac{1}{2}$, hàm số nghịch biến trên từng khoảng, không đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{3}{2}$ (tiệm cận ngang $y=\frac{3}{2}$) và ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{\pm }}y=\pm \infty$ (tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai tiệm cận $x=\frac{1}{2}$, $y=\frac{3}{2}$ cùng hai trục tạo thành hình chữ nhật cạnh $\frac{1}{2}$ và $\frac{3}{2}$, diện tích $\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4}$.