Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, nhánh trái có cực đại tại điểm $(-2;-2)$, nhánh phải có cực tiểu tại $(0;2)$. a) Tổng giá trị cực đại và cực tiểu: trên nhánh phải hàm đạt cực tiểu $y=2$ tại $x=0$, trên nhánh trái hàm đạt cực đại $y=-2$ tại $x=-2$ (đường nét đứt trên hình), tổng $2+(-2)=0$ → đúng. b) Trên $(0;+\infty )$ đồ thị nhánh phải đi lên từ điểm $(0;2)$ nên hàm đồng biến → đúng. c) Tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng đi qua các điểm theo hình (cắt trục tung tại $y=1$, đi qua gần $(-1;0)$), tức $y=x+1$, không phải $y=x-1$ → sai. d) Trên $(-\infty ;-1)$, nhánh trái có giá trị lớn nhất bằng $-2$ (tại $x=-2$), không phải 2 → sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a đúng, b đúng, c sai, d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực tiểu nhánh phải là 2 (tại $x=0$), giá trị cực đại nhánh trái là $-2$ (tại $x=-2$), tổng bằng 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$ đồ thị chỉ có nhánh phải đi lên từ $(0;2)$, hàm đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên theo hình vẽ là $y=x+1$, không phải $y=x-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-1)$ giá trị lớn nhất của hàm là $-2$ (tại $x=-2$), không phải 2.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=-x$, đồ thị đi qua $(0;1)$ và có điểm $(2;-3)$. Xét đáp án D: $y=\frac{x^2-x+1}{-x+1}=\frac{x^2-x+1}{1-x}$. Chia đa thức: $x^2-x+1=(1-x)(-x)+1$, nên $y=-x+\frac{1}{1-x}$. Suy ra TCĐ $x=1$, TCX $y=-x$. Tại $x=0$: $y=1$; tại $x=2$: $y=\frac{3}{-1}=-3$. Khớp hoàn toàn với đồ thị (nhánh trái tăng lên $+\infty$ khi $x\to 1^{-}$, nhánh phải có cực tiểu $-3$ tại $x=2$). Các đáp án khác: A có TCĐ $x=1$ nhưng $y=\frac{-x^2+x}{x-1}=-x$ và $y(0)=0\ne 1$; B có TCĐ $x=-1$; C có TCĐ $x=-1$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 9: D).

a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$.
a) Sai: điều kiện $x+1\ne 0\Rightarrow x\ne -1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\ne \mathbb{R}$.
b) Sai: $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2+3x+1-x^2-x-1}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$, khác với $\frac{x^2-2x}{(x+1{)}^2}$.
c) Đúng: $y^{\prime }=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}=0\iff x=-2$ hoặc $x=0$. Trên $(-\infty ;-2)$: $y^{\prime }>0$ (đồng biến); $(-2;-1)$: $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); $(-1;0)$: $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); $(0;+\infty )$: $y^{\prime }>0$ (đồng biến). Giới hạn: ${\lim }_{x\to -\infty }y=-\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }y=+\infty$. Cực đại tại $x=-2$ với $y(-2)=\frac{4-2+1}{-1}=-3$; cực tiểu tại $x=0$ với $y(0)=1$. Bảng biến thiên khớp hoàn toàn với bảng trong đề (trang 11).
d) Đúng: hai điểm cực trị là $(-2;-3)$ và $(0;1)$, khoảng cách $=\sqrt{(0+2{)}^2+(1+3{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
Đối chiếu đáp án nguồn trang 17, mã đề 0105, Phần II Câu 3: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ — khớp hoàn toàn với kết quả giải độc lập. Hai 'errors' ghi trong payload không phải mâu thuẫn thực: bảng đáp án trang 17 cho a) là S (không phải Đ), và bảng biến thiên cho thấy $-3$ là giá trị cực đại tại $x=-2$ (giải thích tổng thể đã ghi đúng 'cực đại').
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì $x=-1$ làm mẫu bằng 0, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\ne \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$, không phải $\frac{x^2-2x}{(x+1{)}^2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: $y^{\prime }=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}=0$ tại $x=-2,x=0$; đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$; cực đại $y(-2)=-3$, cực tiểu $y(0)=1$; tiệm cận đứng $x=-1$ — khớp bảng biến thiên trong đề.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: hai cực trị $(-2;-3)$ và $(0;1)$, khoảng cách $\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{2x+3}{x-1}=\frac{2(x-1)+5}{x-1}=2+\frac{5}{x-1}$. Đồ thị hàm số $y=a+\frac{b}{x-c}$ có tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận: tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$. Vậy tâm đối xứng là $P(1;2)$, trùng với đáp án B trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$.
a) Tập xác định: $x\ne -1$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, không phải $\mathbb{R}$ → Sai.
b) $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2+3x+1-x^2-x-1}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$, khác $\frac{x^2-2x}{(x+1{)}^2}$ → Sai.
c) $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$. Với $x=-2$: $y=\frac{4-2+1}{-1}=-3$ (cực đại); với $x=0$: $y=1$ (cực tiểu). Trên $(-\infty ;-1)$: hàm đồng biến rồi nghịch biến, đi từ $-\infty$ lên $-3$ rồi xuống $-\infty$ khi $x\to (-1{)}^{-}$; trên $(-1;+\infty )$: nghịch biến rồi đồng biến, từ $+\infty$ xuống $1$ rồi lên $+\infty$. Bảng biến thiên khớp hoàn toàn → Đúng.
d) Hai điểm cực trị $(-2;-3)$ và $(0;1)$: khoảng cách $=\sqrt{(0+2{)}^2+(1+3{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ → Đúng.
Đối chiếu đáp án Phần II Câu 3 mã 0103: S, S, Đ, Đ — khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x+1\ne 0$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\ne \mathbb{R}$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính đúng $y^{\prime }=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$, không phải $\frac{x^2-2x}{(x+1{)}^2}$ → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại $(-2;-3)$, cực tiểu $(0;1)$, chiều biến thiên khớp bảng biến thiên đã cho → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sqrt{(-2-0{)}^2+(-3-1{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, đường cong đi qua B(-1;0), A(4;5/3) và cắt trục Oy tại (0;1). Với y=(ax+b)/(cx+d): f(0)=1 cho b=d; f(-1)=0 cho a=b; f(4)=5/3 cho 5a/(4c+a)=5/3 ⇒ c=a/2. Vậy y=2(x+1)/(x+2), x∈[-1;4]. Khoảng cách OM: f(x)=x²+4(x+1)²/(x+2)². Đặt t=x+2∈[1;6], ta có g(t)=t²−4t+8−8/t+4/t². g'(t)=2t−4+8/t²−8/t³=0 ⇔ t⁴−2t³+4t−4=0, nghiệm t≈1,4135 (thuộc [1;6]). Khi đó g≈0,685 nên OM_min=√0,685≈0,8277≈0,83. Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,83.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}=2+\frac{5}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$, nên đồ thị là hyperbol có tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(1;2)$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, Câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: mẫu số x+1 = 0 khi x = -1 nên tập xác định là D = ℝ\{-1}, không phải ℝ. b) Sai: y' = ((2x+1)(x+1) - (x²+x+1))/(x+1)² = (x²+2x)/(x+1)², không phải (x²-2x)/(x+1)². c) Đúng: y' = x(x+2)/(x+1)² nên y' = 0 tại x = -2 và x = 0; xét dấu: trên (-∞;-2) y' > 0 (đồng biến), trên (-2;-1) y' < 0, trên (-1;0) y' < 0, trên (0;+∞) y' > 0. Giới hạn: x→-∞ thì y→-∞, x→-1⁻ thì y→-∞, x→-1⁺ thì y→+∞, x→+∞ thì y→+∞. y(-2) = (4-2+1)/(-1) = -3 (cực đại), y(0) = 1 (cực tiểu). Bảng biến thiên khớp hoàn toàn. d) Đúng: hai điểm cực trị là (-2;-3) và (0;1), khoảng cách = √((0+2)² + (1+3)²) = √20 = 2√5. Kết quả khớp với đáp án nguồn (a S, b S, c Đ, d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi x+1 ≠ 0, tức D = ℝ\{-1}, không phải D = ℝ.
b) (AI giải đề cho tôi)
y' = ((2x+1)(x+1) - (x²+x+1))/(x+1)² = (x²+2x)/(x+1)², khác với biểu thức đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
y' = x(x+2)/(x+1)²; y đồng biến trên (-∞;-2) và (0;+∞), nghịch biến trên (-2;-1) và (-1;0); y(-2) = -3 cực đại, y(0) = 1 cực tiểu; các giới hạn tại -∞, -1⁻, -1⁺, +∞ lần lượt là -∞, -∞, +∞, +∞. Bảng biến thiên khớp.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị (-2;-3) và (0;1): khoảng cách = √(4+16) = √20 = 2√5.

(AI giải đề cho tôi)
Đáp án được xác nhận bởi bảng đáp án chính thức (trang 9): mã đề 1102, Câu 3 = A.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=1$, nên loại B (đồ thị hàm đa thức, không có tiệm cận) và loại C (tiệm cận đứng $x=1$, không khớp hình vẽ).

Xét hai phương án còn lại: đồ thị đi qua điểm $(-2;3)$ (được đánh dấu bằng đường gián đoạn trên hình) — với $y=\frac{x-1}{x+1}$ thì $f(-2)=\frac{-3}{-1}=3$, khớp đúng; đồng thời đồ thị cắt trục hoành tại $x=1$ (nghiệm của $x-1=0$) và đi qua $(0;-1)$ — khớp với hình vẽ. Với $y=\frac{x-2}{x+1}$ thì $f(-2)=\frac{-4}{-1}=4\ne 3$ và đồ thị cắt trục hoành tại $x=2$, không khớp hình vẽ.

Vậy đồ thị là của hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở Câu 5 là hàm bậc ba đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$, có điểm cực đại tại $(2;4)$ và đi qua điểm $(1;2)$. Xét $y=-x^3+3x^2$: $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$; $y^{\prime \prime }=-6x+6$ nên tại $x=2$ có $y^{\prime \prime }=-6<0$, hàm đạt cực đại $y(2)=-8+12=4$; $y(1)=-1+3=2$; $y(0)=0$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Loại: $y=x^3-3x^2$ có cực tiểu tại $(2;-4)$ (sai dấu); $y=-x^3-3x^2$ có cực trị tại $x=-2$ (sai vị trí); $y=\frac{2x+1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$ (đồ thị không có). Kết luận (do AI suy luận từ đồ thị): chọn D. Lưu ý: bảng đáp án nguồn trang 9 chỉ có các mã đề 101–108 cho Phần I, không có hàng mã đề 1102, nên không có đáp án chính thức nguồn cho câu này.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{ax+b}{x-1}=a+\frac{a+b}{x-1}$. Từ đồ thị, tiệm cận ngang là $y=1$ nên $a=1>0$. Tiệm cận đứng là $x=1$ (phù hợp). Tại $x=0$, đồ thị đi qua điểm có tung độ âm (khoảng $-2$), mà $y(0)=\frac{b}{-1}=-b<0$ suy ra $b>0$. Vậy $a>0,b>0$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$, cắt trục tung tại điểm có tung độ $1$ và cắt trục hoành tại $x=\frac{1}{2}$. Xét $y=\frac{2x-1}{x-1}$: có TCĐ $x=1$, TCN $y=2$; $y(0)=\frac{-1}{-1}=1$; $y=0\iff x=\frac{1}{2}$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. (A cho $y(0)=-1$, nghiệm $x=-\frac{1}{2}$; B có TCĐ $x=-1$; C là hàm bậc ba không có tiệm cận.) Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x=1 nên cx+1=0 tại x=1 ⇒ c=-1. Tiệm cận ngang y=a/c=-1 ⇒ a=1. Đồ thị đi qua (0;-2) ⇒ f(0)=b=-2. Kiểm tra f(2)=(2-2)/(-2+1)=0 khớp đồ thị. Vậy a=1, b=-2, c=-1.
a) f'(x)=(a-bc)/(cx+1)²=(-1)/(cx+1)²<0 với mọi x≠1 ⇒ đúng.
b) f'(x)<0 trên (-∞;1) và (1;+∞) ⇒ hàm nghịch biến trên từng khoảng ⇒ đúng.
c) TCĐ là x=1, TCN là y=-1; phát biểu đảo ngược (y=1 và x=-1) ⇒ sai.
d) a+b+c=1-2-1=-2≠2 ⇒ sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=(a-bc)/(cx+1)²=(-1)/(cx+1)²<0 với mọi x≠1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì f'(x)<0 trên từng khoảng (-∞;1) và (1;+∞), hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
c) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ là x=1 và TCN là y=-1, phát biểu viết sai (nhầm y=1 và x=-1).
d) (AI giải đề cho tôi)
a+b+c=1+(-2)+(-1)=-2≠2.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi qua điểm (0;2), có cực đại tại (-1;4) và cực tiểu tại (1;0). Xét $y=x^3-3x+2$: $y(0)=2$; $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=-1+3+2=4$ (cực đại vì $y^{\prime \prime }=-6<0$), $y(1)=1-3+2=0$ (cực tiểu vì $y^{\prime \prime }=6>0$). Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các hàm C, D cho giá trị khác (C: $y(-1)=-2$, D: $y(0)=-2$), hàm A là hàm bậc nhất phân số có tiệm cận, không phải đồ thị đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-2$, và hàm số nghịch biến trên mỗi nhánh. Xét $y=\frac{1-2x}{x+1}=-2+\frac{3}{x+1}$: có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-2$, và vì $3>0$ nên hàm nghịch biến trên mỗi khoảng xác định — khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: B có tiệm cận $x=1$, $y=2$; C có $y=2+\frac{-1}{x+1}$ đồng biến; D là hàm bậc hai trên bậc nhất với tiệm cận đứng $x=-1$ nhưng tiệm cận xiên, không phải ngang $y=-2$. Đáp án khớp với mã đề 1204, câu 11: A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: A(0;0), B(3;10,5) là điểm cực đại. Ta có f'(x) = -x^2 + 2bx + c. Điều kiện cực đại tại x=3: f'(3) = -9 + 6b + c = 0. Điều kiện f(3) = 10,5: -9 + 9b + 3c = 10,5, tức 9b + 3c = 19,5 hay 3b + c = 6,5. Trừ hai phương trình: (6b + c) - (3b + c) = 9 - 6,5 = 2,5 nên b = 5/6, suy ra c = 6,5 - 3·(5/6) = 4. Vậy f(x) = -x^3/3 + (5/6)x^2 + 4x = x(-x^2/3 + 5x/6 + 4). Máy bay tiếp đất khi f(x) = 0 với x > 3: -x^2/3 + 5x/6 + 4 = 0, nhân 6: -2x^2 + 5x + 24 = 0 hay 2x^2 - 5x - 24 = 0. Nghiệm x = (5 ± √217)/4; lấy nghiệm dương x = (5 + √217)/4 ≈ (5 + 14,7309)/4 ≈ 4,9327. Làm tròn đến hàng phần trăm: x ≈ 4,93. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4,93.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{12x+1}{x+5}=12-\frac{59}{x+5}$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức $y=a+\frac{b}{x+c}$ là giao điểm hai tiệm cận $x=-5$, $y=12$, tức $I(-5;12)$. Suy ra $OI=\sqrt{(-5{)}^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba: điểm cực đại $(0;3)$, điểm cực tiểu $(2;-1)$.
a) Sai. Giá trị cực tiểu bằng $-1$, không phải $2$ (2 là hoành độ điểm cực tiểu).
b) Đúng. Trên $(0;+\infty )$, hàm số giảm từ $3$ xuống $-1$ tại $x=2$ rồi tăng lên, nên giá trị nhỏ nhất bằng $-1$.
c) Đúng. Trên $(0;2)$ hàm số đi từ cực đại xuống cực tiểu nên nghịch biến.
d) Sai. Phương trình $f(x)=1$: đường thẳng $y=1$ nằm giữa $-1$ và $3$ nên cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt, do đó phương trình có 3 nghiệm, không phải 2 nghiệm. Khớp với đáp án nguồn: a)S - b)Đ - c)Đ - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực tiểu của hàm số là $-1$ (tại điểm cực tiểu $(2;-1)$), không phải $2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$, hàm giảm từ $3$ xuống $-1$ tại $x=2$ rồi tăng, nên giá trị nhỏ nhất bằng $-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đi từ điểm cực đại $(0;3)$ xuống điểm cực tiểu $(2;-1)$ nên nghịch biến trên $(0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $y=1$ (với $-1<1<3$) cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt nên $f(x)-1=0$ có 3 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: A(0;0) là điểm cất cánh, B(3;9) là điểm cực đại (độ cao 9 km sau khi bay 3 km theo phương ngang). Ta có $f^{\prime }(x)=-x^2+2bx+c$. Điều kiện cực đại tại B: $f^{\prime }(3)=0\Rightarrow -9+6b+c=0$ và $f(3)=9\Rightarrow -9+9b+3c=9\Rightarrow 3b+c=6$. Trừ hai phương trình: $3b=3\Rightarrow b=1$, suy ra $c=3$. Vậy $f(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+x^2+3x$. Máy bay tiếp đất khi $f(x)=0$: $-\frac{1}{3}x(x^2-3x-9)=0\Rightarrow x=0$ (điểm A) hoặc $x^2-3x-9=0\Rightarrow x=\frac{3\pm 3\sqrt{5}}{2}$. Nghiệm dương (điểm C): $x=\frac{3+3\sqrt{5}}{2}\approx 4,8541\approx 4,85$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4,85.