Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tích của hai nguyên hàm không phải là nguyên hàm của tích hai hàm số, nên mệnh đề A sai. Các mệnh đề B, C, D đều là các tính chất đúng của nguyên hàm: nguyên hàm của tổng/hiệu bằng tổng/hiệu các nguyên hàm; $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C$; hằng số $k\ne 0$ đưa ra ngoài dấu nguyên hàm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \cos 3xdx=\frac{1}{3}\sin 3x+C$ vì ${\left(\frac{\sin 3x}{3}\right)}^{\prime }=\cos 3x$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{3x^3-5x+1}{x}=3x^2-5+\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$. Do đó $\int ydx=\int \left(3x^2-5+\frac{1}{x}\right)dx=x^3-5x+\ln |x|+C$. Nguyên hàm phải có hằng số $C$ và dùng $\ln |x|$ vì tập xác định gồm cả $x<0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=2\cos x+3\sin x$, nên $f(x)=2\cos x+3\sin x$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 2\sin xdx=-2\cos x+C$ và $\int \frac{3}{{\sin }^{2}x}dx=3\int {\csc }^{2}xdx=-3\cot x+C$. Vậy $\int f(x)dx=-2\cos x-3\cot x+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: $(-2\cos x-3\cot x{)}^{\prime }=2\sin x+3{\csc }^{2}x=f(x)$. Các phương án A–D nằm ở đầu trang 10 và khớp với dữ liệu đề. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\int f(x)dx=3x^2-4x+C$ nên $f(x)$ là đạo hàm của $3x^2-4x+C$, tức $f(x)=(3x^2-4x+C{)}^{\prime }=6x-4$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên $F^{\prime }(x)=f(x)$. Ta có $F^{\prime }(x)=3m{x}^2+2x-3$. So sánh với $f(x)=-x^2+2x-3$: hệ số của $x^2$ cho $3m=-1\Rightarrow m=-\frac{1}{3}$; các hệ số còn lại khớp nhau ($2x$ và $-3$). Vậy $m=-\frac{1}{3}$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=(x-1{)}^2=x^2-2x+1$, nguyên hàm $F(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+x+C$. So sánh với $F(x)=\frac{x^3}{a}+b{x}^2+cx+C$ cho $a=3$, $b=-1$, $c=1$. Vậy $T=a+b+c=3-1+1=3$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)=\sin x$ là $F(x)=-\cos x+C$. Đồ thị đi qua $M(0;1)$ nên $F(0)=-\cos 0+C=-1+C=1\Rightarrow C=2$. Vậy $F(x)=-\cos x+2$ và $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \frac{\pi }{2}+2=0+2=2$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\int \left(e^x+2x+1\right)dx=e^x+x^2+x+C$. Vì $f(0)=1$ nên $1=1+C\Rightarrow C=0$, suy ra $f(x)=e^x+x^2+x$. Khi đó $F(x)=\int f(x)dx=e^x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C_1$. Điều kiện $F(1)=e$: $e+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+C_1=e\Rightarrow C_1=-\frac{5}{6}$. Vậy $F(0)=e^0+0+0-\frac{5}{6}=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$. Chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) $F^{\prime }(x)=2x-e^x=f(x)$ nên đúng. b) $g^{\prime }(x)=2-e^x\ne 2x-e^x=f(x)$ nên sai. c) $F(x)=x^2-e^x$ cho $F(0)=-1\ne 0$ nên sai. d) ${\int }_1^2(2x-e^x)dx=[x^2-e^x{]}_1^2=(4-e^2)-(1-e)=3+e-e^2$, vậy $a=3,b=1,c=-1$, $a+b+c=3$ nên đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=2x-e^x=f(x)$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=2-e^x\ne f(x)=2x-e^x$, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(0)=0^2-e^0=-1\ne 0$, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2(2x-e^x)dx=[x^2-e^x{]}_1^2=3+e-e^2$, nên $a+b+c=3+1-1=3$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Cho f(x)=x−sin2x.
a) f(π/4)=π/4−sin(π/2)=π/4−1 ≠ π/4−√2/2 → Sai.
b) f′(x)=1−2cos2x ≠ 1−cos2x → Sai.
c) F(x)=x²/2−(1/2)cos2x thì F′(x)=x+sin2x ≠ f(x) → Sai. (Nguyên hàm đúng: x²/2+(1/2)cos2x+C.)
d) f′(x)=1−2cos2x=0 ⇔ cos2x=1/2 ⇔ x=π/6 hoặc x=5π/6. f(π/6)=π/6−√3/2; f(5π/6)=5π/6+√3/2; f(0)=0; f(π)=π. Vậy max f(x)=5π/6+√3/2, suy ra a=6, b=3, a+b=9≠8 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(π/4)=π/4−sin(π/2)=π/4−1, không bằng π/4−√2/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
f′(x)=1−2cos2x, không phải 1−cos2x.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm F′(x)=x+sin2x ≠ x−sin2x, nên F không là nguyên hàm của f.
d) (AI giải đề cho tôi)
max f(x)=5π/6+√3/2 nên a=6, b=3, a+b=9≠8.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$, nên $F(x)=\int {\tan }^{2}xdx=\tan x-x+C$.
a) Đúng: theo định nghĩa nguyên hàm, $F^{\prime }(x)=f(x)={\tan }^{2}x$.
b) Sai: $(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\ne {\tan }^{2}x$, nên $\tan x$ không phải nguyên hàm của $f(x)$.
c) Đúng: vì ${\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$ nên $F(x)=\int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)dx$.
d) Sai: với $F(0)=0$ thì $C=0$, tức $F(x)=\tan x-x$; khi đó $F(\pi )=\tan \pi -\pi =-\pi \ne 0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F^{\prime }(x)=f(x)={\tan }^{2}x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\ne {\tan }^{2}x$, nên $\tan x$ không là nguyên hàm của $f(x)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$ nên $F(x)=\int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)dx$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=\tan x-x+C$; $F(0)=0\Rightarrow C=0$, nên $F(\pi )=0-\pi =-\pi \ne 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\frac{2x^2-3x+6}{x}=2x-3+\frac{6}{x}$. Suy ra $f(x)=F^{\prime }(x)=2-\frac{6}{x^2}=\frac{2x^2-6}{x^2}$. So sánh với $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x^2}$ ta được $a=2,b=0,c=-6$. Vậy $a+b-c=2+0-(-6)=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int f(x)dx=\int (3x^2-2x)dx=x^3-x^2+C$. a) Đúng vì đạo hàm của $x^3-x^2+C$ là $3x^2-2x=f(x)$. b) Đúng theo tính tuyến tính của tích phân: $\int (f-g)dx=\int fdx-\int gdx$. c) Nguyên hàm tổng quát $F(x)=x^3-x^2+C$; $F(0)=C=2$ nên $F(x)=x^3-x^2+2$, đúng. d) $F(1)=1-1+C=3\Rightarrow C=3$, khi đó $F(-1)=-1-1+3=1\ne 5$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int (3x^2-2x)dx=x^3-x^2+C$ vì $(x^3-x^2+C{)}^{\prime }=3x^2-2x=f(x)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính tuyến tính: $\int (3x^2-2x)dx=\int 3x^{2}dx-\int 2xdx$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=x^3-x^2+C$, $F(0)=C=2\Rightarrow F(x)=x^3-x^2+2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=1-1+C=3\Rightarrow C=3$, nên $F(-1)=-1-1+3=1\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 3\cos xdx=3\sin x+C$ và $\int 3^{x}dx=\frac{3^x}{\ln 3}+C$. Vậy $\int f(x)dx=3\sin x-\frac{3^x}{\ln 3}+C$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 8\cos xdx=8\sin x$ và $\int xdx=\frac{x^2}{2}$. Vậy họ nguyên hàm là $8\sin x+\frac{1}{2}{x}^2+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: $(8\sin x+\frac{x^2}{2}+C{)}^{\prime }=8\cos x+x=f(x)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của nguyên hàm: $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$ với $k$ là hằng số. Do đó $\int 7f(x)dx=7\int f(x)dx$, khẳng định A đúng. Các phương án B, C, D đều sai vì hệ số 7 phải được giữ nguyên khi đưa ra ngoài tích phân (không bị triệt tiêu, không thành $\frac{1}{7}$, và không tách thành hằng số cộng vào).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (-3\sqrt[8]{x}+3x-5)dx=-3\int x^{1/8}dx+3\cdot \frac{x^2}{2}-5x+C=-3\cdot \frac{x^{9/8}}{9/8}+\frac{3x^2}{2}-5x+C=-\frac{8}{3}\sqrt[8]{x^9}+\frac{3x^2}{2}-5x+C$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tính đạo hàm từng đáp án: A: $f^{\prime }(x)=3x^2-3x+7$ (sai vì hệ số của $x^2$ là 3). B: $f(x)=\frac{2}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+7x-1$ nên $f^{\prime }(x)=2x^2-3x+7$ (đúng). C và D: $f^{\prime }(x)=4$ (sai). Vậy đáp án là B.