Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$: $f(x)=x^3-2\ln x+C_2$, từ $f(1)=2$ suy ra $C_2=1$, nên $f(4)=64-2\ln 4+1=65-4\ln 2$. Trên $(-\infty ;0)$: $f(x)=x^3-2\ln |x|+C_1$, từ $f(-2)=-8-2\ln 2+C_1=-8$ suy ra $C_1=2\ln 2$, nên $f(-1)=-1+2\ln 2$. Do đó $3f(-1)+f(4)=3(-1+2\ln 2)+(65-4\ln 2)=62+2\ln 2$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x<2$: $F(x)=x^2+3x+C$. Vì $F(0)=3$ nên $C=3$, do đó $F(x)=x^2+3x+3$ với $x<2$, suy ra $F(-5)=25-15+3=13$. Với $x\ge 2$: $F(x)=x^4-x+K$. Vì $F$ là nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ nên $F$ liên tục tại $x=2$: $F(2^{-})=4+6+3=13$ và $F(2^{+})=16-2+K=14+K$, suy ra $K=-1$. Do đó $F(3)=81-3-1=77$. Vậy $F(3)-5F(-5)=77-65=12$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại x=1: 3+2+m=5-2 ⟹ m=-2. Với x<1: F(x)=5x-x²+C; F(-2)=-10-4+C=-10 ⟹ C=4, nên F(1⁻)=8. Với x≥1: F(x)=x³+x²-2x+D; F(1)=D=8. Vậy F(3)=27+9-6+8=38.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)=x^2+x-6$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên $f(x)=F^{\prime }(x)=2x+1$.
(a) Sai: $\int F(x)dx=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-6x+C$ là nguyên hàm của $F$, không phải $f$; thực tế $f(x)=2x+1$.
(b) Sai: ${\sum }_{k=1}^{50}f(k)={\sum }_{k=1}^{50}(2k+1)=2\cdot \frac{50\cdot 51}{2}+50=2550+50=2600\ne 2400$.
(c) Đúng: $G(x)=F(x)+C=x^2+x-6+C$; $G(1)=1+1-6+C=3\Rightarrow C=7$. Khi đó $G(4)=16+4-6+7=21$.
(d) Sai: $H(x-1)$ là nguyên hàm của $f(x-1)$ nghĩa là $[H(x-1){]}^{\prime }=f(x-1)$, đặt $u=x-1$ suy ra $H^{\prime }(u)=f(u)=2u+1$, nên $H(u)=u^2+u+C$; $H(0)=C=3$. Vậy $H(2)-H(4)=(4+2+3)-(16+4+3)=-12\ne 6$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=F^{\prime }(x)=2x+1$, không phải $\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-6x+C$ (đó là nguyên hàm của $F$).
b) (AI giải đề cho tôi)
${\sum }_{k=1}^{50}(2k+1)=2\cdot 1275+50=2600\ne 2400$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$G(x)=x^2+x-6+C$, $G(1)=3\Rightarrow C=7$, nên $G(4)=16+4-6+7=21$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$H^{\prime }(u)=f(u)=2u+1\Rightarrow H(u)=u^2+u+C$, $H(0)=3\Rightarrow C=3$; $H(2)-H(4)=9-23=-12\ne 6$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ge 1$, ta có $h^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{2}}{x}$, nên $h(x)=\sqrt{2}\ln x+C$. Theo giả thiết $h(1)=3$ (sau năm đầu tiên cây cao 3 m) nên $C=3$, tức $h(x)=3+\sqrt{2}\ln x$. Chiều cao sau 5 năm: $h(5)=3+\sqrt{2}\ln 5\approx 3+1,4142\times 1,6094\approx 3+2,2761\approx 5,2761\approx 5,28$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn 5,28.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: lợi nhuận bằng doanh thu trừ chi phí, $P(x)=R(x)-C(x)$.

b) $R^{\prime }(x)=278-2x\Rightarrow R(x)=278x-x^2+C$. Với $R(5)=1465$: $1390-25+C=1465\Rightarrow C=100$. Vậy $R(x)=278x-x^2+100$, không phải $+95$ → sai.

c) $C^{\prime }(x)=\frac{6}{5}{x}^2-2x+8\Rightarrow C(x)=\frac{2}{5}{x}^3-x^2+8x+C_0$. Với $C(5)=900$: $50-25+40+C_0=900\Rightarrow C_0=835$. Vậy $C(x)=\frac{2}{5}{x}^3-x^2+8x+835$ → đúng.

d) $P(x)=R(x)-C(x)=278x-x^2+100-\frac{2}{5}{x}^3+x^2-8x-835=-\frac{2}{5}{x}^3+270x-735$. $P^{\prime }(x)=-\frac{6}{5}{x}^2+270=0\Rightarrow x=15$ (thỏa $0\le x\le 24$). $P(15)=-1350+4050-735=1965$ USD. Lợi nhuận lớn nhất là 1965 USD, không phải 1960 USD → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận bằng doanh thu trừ chi phí: $P(x)=R(x)-C(x)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$R(x)=278x-x^2+C$; từ $R(5)=1465$ suy ra $C=100$, nên $R(x)=278x-x^2+100$ chứ không phải $+95$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C(x)=\frac{2}{5}{x}^3-x^2+8x+C_0$; từ $C(5)=900$ suy ra $C_0=835$, đúng như đề.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(x)=-\frac{2}{5}{x}^3+270x-735$; $P^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=15$, $P(15)=1965$ USD. Lợi nhuận lớn nhất là 1965 USD, không phải 1960 USD.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(t)=A_0{\left(\frac{4}{5}\right)}^t\ln \frac{4}{5}$, nên $f(t)=A_0{\left(\frac{4}{5}\right)}^t+C$. Theo đề: $f(2)=25,6$ và $f(3)=20,48$. Hiệu: $f(3)-f(2)=A_0\left[{\left(\frac{4}{5}\right)}^3-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2\right]=A_0\left(\frac{64}{125}-\frac{16}{25}\right)=A_0\cdot \left(-\frac{16}{125}\right)=-0,128A_0$. Mà $20,48-25,6=-5,12$, suy ra $-0,128A_0=-5,12\Rightarrow A_0=40$. Kiểm tra: $f(2)=40\cdot \frac{16}{25}+C=25,6\Rightarrow C=0$; $f(3)=40\cdot \frac{64}{125}=20,48$ đúng. Vậy nhiệt độ ban đầu $A_0=40{}^{\circ }C$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=\int {\sin }^{2}xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C$. Điều kiện $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{4}-0+C=0\Rightarrow C=-\frac{\pi }{4}$. Suy ra $F\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{8}-\frac{1}{4}-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{8}-\frac{2}{8}=-\frac{\pi +2}{8}$. Kết quả trùng với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;+\infty )$: $f(x)=\ln (x-1)+C_1$, với $f(2)=2026$ suy ra $C_1=2026$, nên $f(4)=\ln 3+2026$. Trên $(-\infty ;1)$: $f(x)=\ln (1-x)+C_2$, với $f(0)=2025$ suy ra $C_2=2025$, nên $f(-2)=\ln 3+2025$. Vậy $P=f(4)-f(-2)=(\ln 3+2026)-(\ln 3+2025)=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}+4$ ta có $f(x)=\frac{1}{x}+4x+C$. Với $f(2)=\frac{21}{2}$: $\frac{1}{2}+8+C=\frac{21}{2}\Rightarrow C=2$, vậy $f(x)=\frac{1}{x}+4x+2$. Nguyên hàm $F(x)=\ln x+2x^2+2x+C_1$. Với $F(3)=24+\ln 3$: $\ln 3+18+6+C_1=24+\ln 3\Rightarrow C_1=0$. Do đó $F(1)=0+2+2=4$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{2x-3}{x-2}=2+\frac{1}{x-2}$, nên $f(x)=2x+\ln |x-2|+C$ trên mỗi khoảng của tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Vì $f$ xác định trên hai khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, hằng số nguyên hàm có thể khác nhau trên mỗi khoảng.

Trên $(-\infty ;2)$: $f(1)=2+\ln 1+C_1=1\Rightarrow C_1=-1$, nên $f(x)=2x+\ln |x-2|-1$. Suy ra $f(0)=0+\ln 2-1=\ln 2-1$.

Trên $(2;+\infty )$: $f(3)=6+\ln 1+C_2=2\Rightarrow C_2=-4$, nên $f(x)=2x+\ln |x-2|-4$. Suy ra $f(4)=8+\ln 2-4=4+\ln 2$.

Vậy $f(0)+2f(4)=(\ln 2-1)+2(4+\ln 2)=7+3\ln 2$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2x+1=2(x-1)+3$ nên $f(x)=2+\frac{3}{x-1}$ (a đúng). Nguyên hàm tổng quát là $\int f(x)dx=2x+3\ln |x-1|+C$; khẳng định b thiếu giá trị tuyệt đối nên chỉ đúng trên khoảng $x>1$, không phải nguyên hàm trên toàn tập xác định (b sai). Với $F(x)=2x+3\ln |x-1|+C$: $F(2)=4+0+C=1\Rightarrow C=-3$, nên $F(x)=2x+3\ln |x-1|-3$ (c đúng). Phương trình $F(x)=2x+2$: $2x+3\ln |x-1|-3=2x+2\Rightarrow \ln |x-1|=\frac{5}{3}\Rightarrow |x-1|=e^{5/3}$, cho hai nghiệm $x=1\pm e^{5/3}$, tổng $T=2$ (d đúng).
a) $2x+1=2(x-1)+3$ nên $f(x)=2+\frac{3}{x-1}$.
b) Nguyên hàm đúng là $2x+3\ln |x-1|+C$; khẳng định thiếu giá trị tuyệt đối nên không đúng trên toàn tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
c) $F(x)=2x+3\ln |x-1|+C$, $F(2)=4+C=1\Rightarrow C=-3$, được $F(x)=2x+3\ln |x-1|-3$.
d) $3\ln |x-1|=5\Rightarrow |x-1|=e^{5/3}$, hai nghiệm $x=1\pm e^{5/3}$, tổng $T=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: f(x)=2^{2x}=4^x, g(x)=cot x.
a) F'(x)=(2^{2x-1}ln2)'=2^{2x-1}·ln2·2ln2=2^{2x}ln^2 2 ≠ 2^{2x}. Vậy F không phải nguyên hàm của f → SAI.
b) Trên (0;π), sin x>0 nên G(x)=ln(sin x) xác định và G'(x)=cos x/sin x=cot x=g(x) → ĐÚNG.
c) sin2x·cot x=2sin x cos x·(cos x/sin x)=2cos^2 x=1+cos2x. Do đó ∫(1+cos2x)dx=x+sin2x/2+C → ĐÚNG.
d) ∫f(x)dx=∫4^x dx=4^x/ln4=2^{2x-1}/ln2 (không phải 2^{2x+1}/ln2); ∫cot^2 x dx=∫(csc^2 x−1)dx=−cot x−x+C (không phải +cot x−x). Cả hai thành phần đều sai → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
F'(x)=2^{2x-1}·(ln2)^2·2=2^{2x}ln^2 2 ≠ f(x), nên F không là nguyên hàm của f.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (0;π) có sin x>0, G'(x)=cos x/sin x=cot x=g(x), nên G là một nguyên hàm của g.
c) (AI giải đề cho tôi)
sin2x·cot x=2cos^2 x=1+cos2x, tích phân bằng x+sin2x/2+C.
d) (AI giải đề cho tôi)
∫2^{2x}dx=2^{2x-1}/ln2 và ∫cot^2 x dx=−cot x−x+C, khác với biểu thức đề bài.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \frac{2}{2x-1}dx=\ln |2x-1|+C$ trên mỗi khoảng liên tục. Vì $f$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1/2\}$, hằng số nguyên hàm khác nhau trên hai khoảng: $f(x)=\ln (2x-1)+C_1$ với $x>1/2$ và $f(x)=\ln (1-2x)+C_2$ với $x<1/2$. Từ $f(1)=0$: $\ln 1+C_1=0\Rightarrow C_1=0$. Từ $f(0)=1$: $\ln 1+C_2=1\Rightarrow C_2=1$. Vậy $f(-2)=\ln 5+1=1+\ln 5$ (đúng); $f(-1)+f(3)=(\ln 3+1)+\ln 5=1+\ln 15\ne \ln 15$ (sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $\frac{2}{2x-1}$ là $\ln |2x-1|+C$, đúng trên mỗi khoảng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f$ xác định trên hai khoảng $(-\infty ;1/2)$ và $(1/2;+\infty )$, hằng số $C$ có thể khác nhau trên mỗi khoảng, nên biểu diễn phân đoạn với $C_1,C_2$ là đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x<1/2$: $f(x)=\ln (1-2x)+C_2$, $f(0)=1\Rightarrow C_2=1$, nên $f(-2)=\ln 5+1=1+\ln 5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_1=0$ (từ $f(1)=0$), $C_2=1$ (từ $f(0)=1$). Suy ra $f(-1)=\ln 3+1$, $f(3)=\ln 5$, nên $f(-1)+f(3)=1+\ln 15\ne \ln 15$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P^{\prime }(x)=17-0,025x$ nên $P(x)=\int (17-0,025x)dx=17x-0,0125x^2+C$. Vì nhà máy lỗ 24 triệu đồng khi không bán được gì nên $P(0)=-24\Rightarrow C=-24$. Vậy $P(x)=17x-0,0125x^2-24$ với $0\le x\le 100$.

a) Sai: do điều kiện $P(0)=-24$ nên hằng số $C$ bị xác định $C=-24$, không còn là hằng số bất kỳ.

b) Sai: công thức chỉ áp dụng với $0\le x\le 100$, nên không thể tính lợi nhuận khi bán 120 tấn (ngoài miền xác định).

c) Đúng: $P(80)=17\cdot 80-0,0125\cdot 80^2-24=1360-80-24=1256$ (triệu đồng) $=1$ tỉ 256 triệu đồng.

d) Sai: nhà máy có lãi khi $P(x)>0\iff 17x-0,0125x^2-24>0$. Giải $0,0125x^2-17x+24=0$ được $x=\frac{17\pm \sqrt{289-1,2}}{0,025}$, nghiệm nhỏ $x\approx \frac{17-16,9647}{0,025}\approx 1,41$. Vậy chỉ khi bán được từ khoảng $1,41$ tấn trở lên (và $x\le 100$) nhà máy mới có lãi, chứ không phải từ $1,3$ tấn; ví dụ $P(1,3)=22,1-0,021125-24<0$ vẫn lỗ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $P(0)=-24$ nên $C=-24$, hằng số không còn bất kỳ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức chỉ có ý nghĩa với $0\le x\le 100$, không tính được tại $x=120$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(80)=1360-80-24=1256$ triệu đồng $=1$ tỉ 256 triệu đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(x)>0$ khi $x⪆1,41$ tấn, nên bán 1,3 tấn vẫn lỗ.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+a}{x-1}=\frac{(x^2-1)+(a+1)}{x-1}=x+1+\frac{a+1}{x-1}$. Suy ra $F(x)=\frac{x^2}{2}+x+(a+1)\ln |x-1|+C$ trên $(-\infty ;1)$. Điều kiện $F(0)=1$: $(a+1)\ln 1+C=1\Rightarrow C=1$, nên $F(x)=\frac{x^2}{2}+x+(a+1)\ln (1-x)+1$. Với $x=1-e$ (thuộc $(-\infty ;1)$): $\ln (1-(1-e))=\ln e=1$, do đó $F(1-e)=\frac{(1-e{)}^2}{2}+(1-e)+(a+1)+1=\frac{e^2}{2}-e+\frac{1}{2}+1-e+a+1+1=\frac{e^2}{2}-2e+a+\frac{7}{2}$. Theo đề $F(1-e)=\frac{e^2}{2}-2e$, suy ra $a+\frac{7}{2}=0\Rightarrow a=-\frac{7}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trên mỗi khoảng liên thông, $f(x)=\ln |2x-1|+C$. Với $x<\frac{1}{2}$: $f(0)=\ln 1+C=1\Rightarrow C=1$, nên $f(-2)=\ln 5+1$. Với $x>\frac{1}{2}$: $f(1)=\ln 1+C=2\Rightarrow C=2$, nên $f(3)=\ln 5+2$. Vậy $f(-2)+f(3)=3+2\ln 5$, tức $a=3,b=2$, do đó $T=a+b=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $-x^2-2x=-(x+1{)}^2+1$, nên $f(x)=\frac{1}{(x+1{)}^4}-\frac{1}{(x+1{)}^2}$. Nguyên hàm: $F(x)=-\frac{1}{3(x+1{)}^3}+\frac{1}{x+1}+C$. Với $F(-2)=\frac{1}{3}-1+C=C-\frac{2}{3}=-\frac{2}{3}\Rightarrow C=0$. Vậy $F(1)=-\frac{1}{24}+\frac{1}{2}=\frac{11}{24}$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

a) Đúng.
b) Sai. $f^{\prime }(x)=2\cos x+\sqrt{3}$.
c) Đúng. $F(x)=\int \left(2\sin x+\sqrt{3}x\right)dx=-2\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+C$. Cho $C=2026$ ta được một nguyên hàm là $F(x)=-2\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+2026$.
d) Đúng. Ta có: $f(0)=0$, $f(\pi )=\sqrt{3}\pi$ và $f\left(\frac{5\pi }{6}\right)=1+\frac{5\sqrt{3}\pi }{6}$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0;\pi ]$ bằng $1+\frac{5\sqrt{3}\pi }{6}$.
a) Đúng.
b) Sai. $f^{\prime }(x)=2\cos x+\sqrt{3}$.
c) Đúng. $F(x)=\int \left(2\sin x+\sqrt{3}x\right)dx=-2\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+C$. Cho $C=2026$ ta được một nguyên hàm là $F(x)=-2\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+2026$.
d) Đúng. Ta có: $f(0)=0$, $f(\pi )=\sqrt{3}\pi$ và $f\left(\frac{5\pi }{6}\right)=1+\frac{5\sqrt{3}\pi }{6}$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0;\pi ]$ bằng $1+\frac{5\sqrt{3}\pi }{6}$.