Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int e^{6x}dx=\frac{1}{6}{e}^{6x}+C$ vì ${\left(\frac{1}{6}{e}^{6x}\right)}^{\prime }=e^{6x}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 3^x\mathrm{d}x=\frac{3^x}{\ln 3}+C$ và $\int 1\mathrm{d}x=x+C$. Vậy $\int \left(3^x+1\right)\mathrm{d}x=\frac{3^x}{\ln 3}+x+C$. Đáp án khớp với bảng đáp án (Câu 14: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có công thức nguyên hàm: $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ với $a>0,a\ne 1$. Với $f(x)=2^x$ thì $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left(\frac{2^x}{\ln 2}\right)}^{\prime }=\frac{2^x\ln 2}{\ln 2}=2^x=f(x)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nghĩa là $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (3\cos x-1)dx=3\int \cos xdx-\int 1dx=3\sin x-x+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: $(3\sin x-x+C{)}^{\prime }=3\cos x-1=f(x)$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\int f(x)dx=\frac{x^3}{3}+e^x+C$ nên $f(x)={\left(\frac{x^3}{3}+e^x\right)}^{\prime }=x^2+e^x$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)=\tan x+C$ là họ nguyên hàm của $f(x)$ nên $f(x)=F^{\prime }(x)=(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ nên $f(x)=F^{\prime }(x)=6x^2-2$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: nếu $F^{\prime }(x)=f(x)$ thì $\int f(x)dx=F(x)+C$, tức $\int F^{\prime }(x)dx=F(x)+C$. Vậy phát biểu đúng là phương án A. Các phương án B, C, D đều sai vì nguyên hàm của $F(x)$ không phải là $F^{\prime }(x)+C$ hay $F(x)+C$, và nguyên hàm của $F^{\prime }(x)$ không phải là $F^{\prime }(x)+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $f^{\prime }(x)$ có nguyên hàm trên $\mathbb{R}$, và $f(x)$ chính là một nguyên hàm của $f^{\prime }(x)$ do $(f(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)$. Theo định nghĩa nguyên hàm: $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$. Do đó phát biểu đúng là phương án D. Phương án B sai vì thiếu hằng số $C$ (nguyên hàm là họ tất cả các hàm). Các phương án A, C sai vì nguyên hàm của $f(x)$ không phải là $f^{\prime }(x)$ (đạo hàm và nguyên hàm là hai khái niệm ngược nhau, không đồng nhất).

(AI giải đề cho tôi)
Với $k\ne 0$ (thực chất với mọi hằng số $k$), ta có $\int k\mathrm{d}x=kx+C$ vì $(kx+C{)}^{\prime }=k$. Do đó phát biểu đúng là phương án B. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $(x+C{)}^{\prime }=1\ne k$ (khi $k\ne 1$); C sai vì $C^{\prime }=0\ne k$; D sai vì biểu thức $kx\cdot C$ không có dạng họ nguyên hàm đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần tìm hàm $F(x)$ sao cho $F^{\prime }(x)=x^5$. Xét từng phương án: A) $(x^6{)}^{\prime }=6x^5\ne x^5$. B) $(5x^4{)}^{\prime }=20x^3\ne x^5$. C) ${\left(\frac{x^6}{6}\right)}^{\prime }=\frac{6x^5}{6}=x^5$ đúng. D) $(6x^5{)}^{\prime }=30x^4\ne x^5$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (2x+4)dx=\int 2xdx+\int 4dx=x^2+4x+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $x^2+4x+C$ là $2x+4=f(x)$, đúng. Vậy họ nguyên hàm là $x^2+4x+C$, tương ứng phương án B. Phương án A cho đạo hàm $4x+4$ (sai), C cho $2x$ (sai), D cho $4x$ (sai).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (x^2-2)\mathrm{d}x=\frac{x^3}{3}-2x+C$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (3x^2+1)dx=x^3+x+C$. Vậy họ nguyên hàm là $x^3+x+C$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ với $a>0$, $a\ne 1$. Do đó $\int 3^{x}dx=\frac{3^x}{\ln 3}+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $\frac{3^x}{\ln 3}$ là $\frac{3^x\ln 3}{\ln 3}=3^x$, đúng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ với mọi $x\ne 0$, nên $\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+C$, $C\in \mathbb{R}$. Do đó A đúng. B sai vì $(|x|{)}^{\prime }=\frac{x}{|x|}\ne \frac{1}{x}$ (với $x<0$). C sai vì $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}\ne \ln |x|$. D sai vì $(x{)}^{\prime }=1\ne \ln x$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 104, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thì $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Do đó đáp án là B, trùng với đáp án của đề (mã đề 104, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$, nên $(-\cos x{)}^{\prime }=\sin x$. Vậy $\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C$, $C\in \mathbb{R}$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 104 (câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ nghĩa là $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Do đó đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 103, câu 1: B).