Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Do đó khẳng định D đúng. A sai vì $f^{\prime }(x)=F(x)$ là điều kiện về đạo hàm của $f$, không phải của $F$. B sai vì phải là $F^{\prime }(x)=f(x)$ chứ không phải $F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)$. C sai vì $\int f(x)dx=F(x)+C$ là họ các nguyên hàm, không thể bằng đúng $F(x)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 2\sin xdx=-2\cos x+C$. Kiểm tra: $F(x)=-2\cos x\Rightarrow F^{\prime }(x)=2\sin x=f(x)$. Các phương án khác: $F(x)=2\cos x$ cho $F^{\prime }(x)=-2\sin x$ (sai); $F(x)={\sin }^{2}x+C$ có đạo hàm $\sin 2x\ne 2\sin x$ (sai); $F(x)={\cos }^{2}x$ có đạo hàm $-\sin 2x$ (sai). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+5x-7}{x}=x+5-\frac{7}{x}$ với $x\ne 0$.

a) Đề phát biểu $f(x)=x+5x-\frac{7}{x}=6x-\frac{7}{x}$, sai vì phải là $x+5-\frac{7}{x}$ (hạng tử $5$ là hằng số, không phải $5x$).

b) $\int f(x)dx=\int \left(x+5-\frac{7}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$. Đúng.

c) $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$; $F(1)=\frac{1}{2}+5+C=5\Rightarrow C=\frac{1}{2}$. Vậy $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+\frac{1}{2}$. Đúng.

d) Trên $(0;+\infty )$: $G(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln x+C_1$; $G(1)=\frac{1}{2}+5+C_1=4\Rightarrow C_1=-\frac{3}{2}$, nên $G(3)=\frac{9}{2}+15-7\ln 3-\frac{3}{2}=18-7\ln 3$.

Trên $(-\infty ;0)$: $G(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C_2$, nên $G(-9)=\frac{81}{2}-45-14\ln 3+C_2=-\frac{9}{2}-14\ln 3+C_2$.

Điều kiện $G(3)+G(-9)=20$ cho $\frac{27}{2}-21\ln 3+C_2=20\Rightarrow C_2=\frac{13}{2}+21\ln 3$.

Do đó $G(-6)=18-30-7\ln 6+C_2=-12-7\ln 2-7\ln 3+\frac{13}{2}+21\ln 3=-\frac{11}{2}-7\ln 2+14\ln 3$, tức $a=-7,b=14,c=-\frac{11}{2}\Rightarrow a+b+c=-\frac{1}{2}\ne \frac{2}{3}$. (Nếu dùng chung một hằng số cho cả miền xác định thì $G(3)+G(-9)=\frac{27}{2}-21\ln 3\approx 2,93\ne 20$, dữ kiện mâu thuẫn; trong cả hai cách hiểu, khẳng định $a+b+c=\frac{2}{3}$ đều sai.) Vậy ý d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(x)=\frac{x^2+5x-7}{x}=x+5-\frac{7}{x}$, không phải $x+5x-\frac{7}{x}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\int \left(x+5-\frac{7}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{1}{2}+5+C=5\Rightarrow C=\frac{1}{2}$, nên $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+\frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$: $G(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln x+C_1$; $G(1)=\frac{1}{2}+5+C_1=4\Rightarrow C_1=-\frac{3}{2}$, nên $G(3)=\frac{9}{2}+15-7\ln 3-\frac{3}{2}=18-7\ln 3$.

Trên $(-\infty ;0)$: $G(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C_2$, nên $G(-9)=\frac{81}{2}-45-14\ln 3+C_2=-\frac{9}{2}-14\ln 3+C_2$.

$G(3)+G(-9)=\frac{27}{2}-21\ln 3+C_2=20\Rightarrow C_2=\frac{13}{2}+21\ln 3$.

Khi đó $G(-6)=18-30-7\ln 6+C_2=-12-7\ln 2-7\ln 3+\frac{13}{2}+21\ln 3=-\frac{11}{2}-7\ln 2+14\ln 3$.

Vậy $a=-7,b=14,c=-\frac{11}{2}\Rightarrow a+b+c=-\frac{1}{2}\ne \frac{2}{3}$: ý d) sai.

(Nếu yêu cầu một hằng số duy nhất cho cả miền xác định thì $G(3)+G(-9)=\frac{27}{2}-21\ln 3\approx 2,93\ne 20$, dữ kiện mâu thuẫn; trong cả hai cách hiểu, khẳng định $a+b+c=\frac{2}{3}$ đều sai.)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14: a) Đúng, vì $(F-G{)}^{\prime }=f-g$. b) Sai, vì $\int g(x)dx=\int (5^x-e^x)dx=\frac{5^x}{\ln 5}-e^x+C_2$, không phải $5^x\ln 5-e^x+C_2$. c) Sai, vì $f(x)=x^{3/2}+8$ nên $F(x)=\frac{2}{5}{x}^{5/2}+8x+C_1$, không phải $\frac{5}{2}{x}^{5/2}$. d) Sai: từ $F(0)=5$ suy ra $C_1=5$ nên $F(1)=\frac{2}{5}+8+5=\frac{67}{5}$; từ $G(0)=\frac{1}{\ln 5}-1$ suy ra $G(x)=\frac{5^x}{\ln 5}-e^x-1$ nên $G(1)=\frac{5}{\ln 5}-e-1$. Do đó $F(1)-G(1)=\frac{67}{5}-\frac{5}{\ln 5}+e+1$, khác khẳng định đề (thiếu $+1$).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $(F(x)-G(x){)}^{\prime }=f(x)-g(x)$ nên $\int (f-g)dx=F-G+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $\frac{5^x}{\ln 5}-e^x+C_2$, không phải $5^x\ln 5-e^x+C_2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=\int (x\sqrt{x}+8)dx=\frac{2}{5}{x}^{5/2}+8x+C_1$, hệ số phải là $\frac{2}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{67}{5}$, $G(1)=\frac{5}{\ln 5}-e-1$, nên $F(1)-G(1)=\frac{67}{5}-\frac{5}{\ln 5}+e+1$, khác khẳng định.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \sqrt{2x-1}dx=\frac{1}{2}\int \sqrt{t}dt$ với $t=2x-1$, $dt=2dx$, nên $=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}t\sqrt{t}+C=\frac{1}{3}(2x-1)\sqrt{2x-1}+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $\frac{1}{3}(2x-1{)}^{3/2}$ là $\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}\cdot 2\sqrt{2x-1}=\sqrt{2x-1}$ đúng. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\ln |x-1|+C$. Với $x=2$: $F(2)=\ln 1+C=C=1$, suy ra $C=1$. Do đó $F(3)=\ln |3-1|+1=\ln 2+1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nếu $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thì $F^{\prime }(x)=f(x)$. Ta có $F^{\prime }(x)=3m^2{x}^2+2(3m+2)x-4$. So sánh với $f(x)=3x^2+10x-4$: hệ số $x^2$ cho $3m^2=3\Rightarrow m=\pm 1$; hệ số $x$ cho $2(3m+2)=10\Rightarrow 3m+2=5\Rightarrow m=1$. Hệ số tự do $-4=-4$ thỏa mãn. Vậy $m=1$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1. a) Tích phân từng hạng tử: $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$; $\int 5^{x}dx=\frac{5^x}{\ln 5}+C$; $\int \sin xdx=-\cos x+C$; $\int \ln xdx=x\ln x-x+C$ (tính bằng tích phân từng phần: $u=\ln x,dv=dx$). Vậy $\int \left(x^2-5^x-\sin x-\ln x\right)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{5^x}{\ln 5}+\cos x-x\ln x+x+C$ (với $x>0$ do có $\ln x$).

b) Khai triển: ${\left(2x-\frac{1}{2x}\right)}^2=4x^2-2\cdot 2x\cdot \frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^2}=4x^2-2+\frac{1}{4x^2}$ (với $x\ne 0$). Do đó $\int \left(4x^2-2+\frac{1}{4x^2}\right)dx=\frac{4x^3}{3}-2x+\frac{1}{4}\cdot \frac{x^{-1}}{-1}+C=\frac{4x^3}{3}-2x-\frac{1}{4x}+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: $\frac{d}{dx}\left(\frac{4x^3}{3}-2x-\frac{1}{4x}\right)=4x^2-2+\frac{1}{4x^2}$ đúng bằng biểu thức đã khai triển.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{1}{x\sqrt{x}}=\frac{1}{x^{3/2}}=x^{-3/2}$. Do đó $\int x^{-3/2}dx=\frac{x^{-1/2}}{-1/2}+C=-2x^{-1/2}+C=-\frac{2}{\sqrt{x}}+C$ (với $x>0$). Kiểm tra: đạo hàm của $-\frac{2}{\sqrt{x}}$ là $-2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2}=x^{-3/2}=\frac{1}{x\sqrt{x}}$, đúng. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 2\sin xdx=-2\cos x+C$. Kiểm tra: $F(x)=-2\cos x\Rightarrow F^{\prime }(x)=2\sin x=f(x)$. Đáp án B. Lưu ý C sai vì $({\sin }^{2}x+C{)}^{\prime }=2\sin x\cos x=\sin 2x\ne 2\sin x$; D sai vì $({\cos }^{2}x{)}^{\prime }=-\sin 2x$; A sai vì $(2\cos x{)}^{\prime }=-2\sin x$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+5x-7}{x}=x+5-\frac{7}{x}$ với $x\ne 0$.

a) Đề phát biểu $f(x)=x+5x-\frac{7}{x}$ (tức $6x-\frac{7}{x}$), sai vì phải là $x+5-\frac{7}{x}$.

b) $\int f(x)dx=\int \left(x+5-\frac{7}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$. Đúng.

c) $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$; $F(1)=\frac{1}{2}+5-0+C=5\Rightarrow C=\frac{1}{2}$. Vậy $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+\frac{1}{2}$. Đúng.

d) Nguyên hàm trên từng khoảng: $G(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$. Từ $G(1)=4$: $\frac{1}{2}+5+C=4\Rightarrow C=-\frac{3}{2}$ (trên khoảng chứa $x=1$, tức $x>0$). Khi đó $G(3)=\frac{9}{2}+15-7\ln 3-\frac{3}{2}=18-7\ln 3$. Trên khoảng $x<0$, $G(-9)=\frac{81}{2}-45-7\ln 9+C^{\prime }=-\frac{9}{2}-14\ln 3+C^{\prime }$. Điều kiện $G(3)+G(-9)=20$ cho $\frac{27}{2}-21\ln 3+C^{\prime }=20\Rightarrow C^{\prime }=\frac{13}{2}+21\ln 3$. Suy ra $G(-6)=18-30-7\ln 6+\frac{13}{2}+21\ln 3=-\frac{11}{2}-7\ln 2+14\ln 3$, tức $a=-7,b=14,c=-\frac{11}{2}$, nên $a+b+c=\frac{3}{2}\ne \frac{2}{3}$. (Nếu dùng chung một hằng số thì $G(3)+G(-9)=15-21\ln 3+2C=20$ cho $a+b+c=-13$, cũng khác $\frac{2}{3}$.) Vậy ý d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=\frac{x^2+5x-7}{x}=x+5-\frac{7}{x}$, không phải $x+5x-\frac{7}{x}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\int \left(x+5-\frac{7}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{1}{2}+5+C=5\Rightarrow C=\frac{1}{2}$, nên $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+\frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính được $G(-6)=-\frac{11}{2}-7\ln 2+14\ln 3$ (hoặc với một hằng số chung: $-\frac{19}{2}-7\ln 2+\frac{7}{2}\ln 3$), suy ra $a+b+c=\frac{3}{2}$ (hoặc $-13$), không bằng $\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x\sqrt{x}+8=x^{3/2}+8$ nên $\int f(x)dx=\frac{2}{5}{x}^{5/2}+8x+C$. Với $g(x)=5^x-e^x$ thì $\int g(x)dx=\frac{5^x}{\ln 5}-e^x+C$.

a) Đúng. Vì $F,G$ là nguyên hàm của $f,g$ nên $F-G$ là một nguyên hàm của $f-g$, do đó $\int (f(x)-g(x))dx=F(x)-G(x)+C$.

b) Sai. $\int g(x)dx=\frac{5^x}{\ln 5}-e^x+C_2$, không phải $5^x\ln 5-e^x+C_2$.

c) Sai. Nguyên hàm đúng là $F(x)=\frac{2}{5}{x}^{5/2}+8x+C_1$, không phải $\frac{5}{2}{x}^{5/2}$.

d) Đúng. Từ $F(0)=5$ suy ra $F(x)=\frac{2}{5}{x}^{5/2}+8x+5$, nên $F(1)=\frac{2}{5}+8+5=\frac{67}{5}$. Từ $G(0)=\frac{1}{\ln 5}-1$ suy ra hằng số $C=0$, tức $G(x)=\frac{5^x}{\ln 5}-e^x$, nên $G(1)=\frac{5}{\ln 5}-e$. Vậy $F(1)-G(1)=\frac{67}{5}-\frac{5}{\ln 5}+e$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$F-G$ là một nguyên hàm của $f-g$ nên $\int (f(x)-g(x))dx=F(x)-G(x)+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\int g(x)dx=\frac{5^x}{\ln 5}-e^x+C_2$, hệ số phải là $\frac{1}{\ln 5}$ chứ không phải $\ln 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int (x^{3/2}+8)dx=\frac{2}{5}{x}^{5/2}+8x+C_1$, hệ số là $\frac{2}{5}$ chứ không phải $\frac{5}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{2}{5}+8+5=\frac{67}{5}$; $G(1)=\frac{5}{\ln 5}-e$; do đó $F(1)-G(1)=\frac{67}{5}-\frac{5}{\ln 5}+e$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Liên tục tại x=1: 3-2+m = 1-4 ⟹ m = -4. Đúng.
b) Với x<1: F(x)=x-2x²+C; F(-2)=-2-8+C=-6 ⟹ C=4, nên F(x)=x-2x²+4. Tại x=1 giới hạn trái bằng 3. Với x≥1: F(x)=x³-x²-4x+C', liên tục tại 1 ⟹ 1-1-4+C'=3 ⟹ C'=7. Đạo hàm: 3x²-2x-4 = f(x) khi x≥1 (với m=-4). Vậy biểu thức b) đúng.
c) ∫_{-1}^{1}(1-4x)dx = [x-2x²]_{-1}^{1} = 2; ∫_{1}^{5}(3x²-2x-4)dx = [x³-x²-4x]_{1}^{5} = 80-(-4) = 84. Tổng = 86 ≠ 108. Sai.
d) Đặt t=ln x, dt=dx/x, t từ 0 đến 2: ∫_0^1(1-4t)dt + ∫_1^2(3t²-2t-4)dt = (-1) + ([t³-t²-4t]_1^2 = -4+4 = 0) = -1 ≠ 3. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại x=1: 3(1)-2+m = 1-4(1) ⟹ 1+m = -3 ⟹ m = -4.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với x<1: F(x)=x-2x²+C, F(-2)=-6 ⟹ C=4. Liên tục tại x=1 cho F(1)=3 ⟹ với x≥1: F(x)=x³-x²-4x+7. Kiểm tra đạo hàm khớp f(x) trên cả hai miền.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫_{-1}^{5}f(x)dx = 2 + 84 = 86 ≠ 108.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đặt t=ln x: ∫_0^2 f(t)dt = -1 + 0 = -1 ≠ 3.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \sqrt{2x-1}dx=\int (2x-1{)}^{1/2}dx=\frac{(2x-1{)}^{3/2}}{2\cdot \frac{3}{2}}+C=\frac{1}{3}(2x-1{)}^{3/2}+C=\frac{1}{3}(2x-1)\sqrt{2x-1}+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left[\frac{1}{3}(2x-1)\sqrt{2x-1}\right]}^{\prime }=\frac{1}{3}\left[2\sqrt{2x-1}+(2x-1)\cdot \frac{1}{\sqrt{2x-1}}\right]=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{2x-1}=\sqrt{2x-1}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)=\frac{1}{x-1}$ là $F(x)=\ln |x-1|+C$. Với $x>1$: $F(2)=\ln 1+C=0+C=1\Rightarrow C=1$. Vậy $F(3)=\ln 2+1$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nếu $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)=3x^2+10x-4$ thì $F^{\prime }(x)=f(x)$. Ta có $F^{\prime }(x)=3m^2{x}^2+2(3m+2)x-4$. So sánh hệ số: $3m^2=3\Rightarrow m=\pm 1$; $2(3m+2)=10\Rightarrow 6m+4=10\Rightarrow m=1$ (thỏa mãn $m=\pm 1$); hệ số tự do $-4=-4$ đúng. Vậy $m=1$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{1}{x\sqrt{x}}=x^{-3/2}$. Do đó $\int x^{-3/2}dx=\frac{x^{-1/2}}{-1/2}+C=-2x^{-1/2}+C=-\frac{2}{\sqrt{x}}+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $-\frac{2}{\sqrt{x}}$ là $-2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2}=x^{-3/2}=\frac{1}{x\sqrt{x}}$, đúng. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (2x+3)dx=x^2+3x+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $x^2+3x+C$ là $2x+3$ đúng. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\sin }^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$. Vì $F(0)=0$ nên $F(x)={\int }_0^x{\sin }^2\frac{t}{2}dt={\int }_0^x\frac{1-\cos t}{2}dt=\frac{x}{2}-\frac{\sin x}{2}$. Do đó $F\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{8}-\frac{\sin \frac{\pi }{4}}{2}=\frac{\pi }{8}-\frac{\sqrt{2}}{4}\approx 0,3927-0,3536=0,0391\approx 0,04$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}+x^3+C$. Theo $F(1)=\frac{2}{\ln 2}+1+C=\frac{2}{\ln 2}$ suy ra $C=-1$. Vậy $F(2)=\frac{4}{\ln 2}+8-1=\frac{4}{\ln 2}+7\approx 5,7708+7=12,7708\approx 12,8$.