Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $\int (x-1{)}^{2}dx=\int (x^2-2x+1)dx=\frac{x^3}{3}-x^2+x+C$. Vậy $a=\frac{1}{3},b=-1,c=1$, nên $3a+b+c=1-1+1=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 102, Câu 1 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Tính chất nguyên hàm: $\int kf(x)\mathrm{d}x=k\int f(x)\mathrm{d}x$, nên khẳng định C ($\int f(x)\mathrm{d}x=k\int f(x)\mathrm{d}x$) là sai. A, B, D đều đúng theo định nghĩa và tính tuyến tính của tích phân bất định. Đáp án trùng với bảng đáp án (mã 102, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\int f(x)\mathrm{d}x=2\sin x-e^x+C$ nên $f(x)$ là đạo hàm của vế phải: $f(x)=(2\sin x-e^x+C{)}^{\prime }=2\cos x-e^x$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (đề 102, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề: A) $\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=\int x^{-1/2}dx=2x^{1/2}+C=2\sqrt{x}+C$, đúng. B) $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$, sai. C) $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$, sai. D) $\int \cos xdx=\sin x+C$, sai. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (2x-5)dx=x^2-5x+C$ vì ${\left(x^2-5x\right)}^{\prime }=2x-5$. Đáp án trùng với mã đề 101, câu 11: C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (x+1{)}^{2}dx=\int (x^2+2x+1)dx=\frac{x^3}{3}+x^2+x+C$. Vậy $a=\frac{1}{3},b=1,c=1$, suy ra $3a+b+c=3\cdot \frac{1}{3}+1+1=1+1+1=3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 101, Phần III Câu 1 = 3).

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân không có tính chất tích: $\int f(x)g(x)dx\ne \int f(x)dx\cdot \int g(x)dx$, nên khẳng định B là sai. Các khẳng định A, C, D đều đúng theo định nghĩa và tính chất của nguyên hàm. Đáp án khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\int f(x)\mathrm{d}x=2\cos x-e^x+C$ nên $f(x)$ là đạo hàm của vế phải: $f(x)=(2\cos x-e^x+C{)}^{\prime }=-2\sin x-e^x$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (đề 101: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 2026x^{2025}dx=2026\cdot \frac{x^{2026}}{2026}=x^{2026}$ và $\int e^{x}dx=e^x$. Vậy nguyên hàm của $f(x)=2026x^{2025}+e^x$ là $x^{2026}+e^x+C$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức nguyên hàm $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ với $n=7$, ta có $\int x^{7}dx=\frac{x^8}{8}+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $\frac{x^8}{8}$ là $\frac{8x^7}{8}=x^7=f(x)$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1307, Câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x(3x-4)=3x^2-4x$. Khi đó $\int f(x)dx=\int (3x^2-4x)dx=x^3-2x^2+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $x^3-2x^2+C$ là $3x^2-4x=f(x)$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=2^x(2^{-x}+5)=1+5\cdot 2^x$. Do đó $\int f(x)dx=\int (1+5\cdot 2^x)dx=x+5\cdot \frac{2^x}{\ln 2}+C$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: H'(x)=(xe^x+C)'=e^x+xe^x=e^x(1+x)≠e^x, nên H(x) không phải họ nguyên hàm của f(x)=e^x (họ nguyên hàm đúng là e^x+C). b) Sai: H(0)=0·e^0+C=C=1, suy ra C=1 chứ không phải C=0. c) Đúng: ∫_{2024}^{2025} e^x dx=e^{2025}-e^{2024}=e^b-e^a với b=2025, a=2024, khi đó a-b=2024-2025=-1. d) Sai: V=π∫_0^{ln2} e^{2x}dx=π·(e^{2x}/2)|_0^{ln2}=π/2·(4-1)=3π/2 ≠ 3π/4.
a) (AI giải đề cho tôi)
H'(x)=e^x(1+x)≠e^x, nên H(x) không phải họ nguyên hàm của f(x)=e^x.
b) (AI giải đề cho tôi)
H(0)=C=1, suy ra C=1 chứ không phải C=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫_{2024}^{2025} e^x dx=e^{2025}-e^{2024}=e^b-e^a với a=2024, b=2025, nên a-b=-1.
d) (AI giải đề cho tôi)
V=π∫_0^{ln2} e^{2x}dx=π/2(e^{2ln2}-1)=3π/2 ≠ 3π/4.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (mã đề 1204), đáp án nguồn: DSDD — khớp với kết quả giải độc lập. a) Đúng: $\int f(x)\mathrm{d}x=\int (\cos x+2x)\mathrm{d}x=\sin x+x^2+C$. b) Sai: $F(x)=\sin x+x^2+C$; $F(0)=1\Rightarrow C=1$, nên $F(\pi )=\sin \pi +{\pi }^2+1={\pi }^2+1\ne {\pi }^2+2$. c) Đúng: $F^{\prime }(x)=f(x)$ nên $F^{\prime }(0)=f(0)=\cos 0+0=1$. d) Đúng: với $x\in [0,5;\pi ]$ ta có $\cos x\ge -1$ nên $f(x)=\cos x+2x\ge 2x-1\ge 0$; với $x\in [0;0,5)$ thì $\cos x>0$ và $2x\ge 0$ nên $f(x)>0$. Vậy $f(x)\ge 0$ trên $[0;\pi ]$, do đó $S={\int }_0^{\pi }(\cos x+2x)\mathrm{d}x={\left[\sin x+x^2\right]}_0^{\pi }={\pi }^2$.
a) Nguyên hàm tổng quát của $f(x)=\cos x+2x$ là $\sin x+x^2+C$, nên phát biểu đúng.
b) $F(x)=\sin x+x^2+C$; từ $F(0)=1$ suy ra $C=1$, do đó $F(\pi )={\pi }^2+1\ne {\pi }^2+2$, phát biểu sai.
c) $F^{\prime }(x)=f(x)$ nên $F^{\prime }(0)=f(0)=\cos 0+0=1$, phát biểu đúng.
d) Với $x\in [0;\pi ]$: nếu $x\in [0,5;\pi ]$ thì $f(x)=\cos x+2x\ge 2x-1\ge 0$; nếu $x\in [0;0,5)$ thì $\cos x>0$ và $2x\ge 0$ nên $f(x)>0$. Vậy $f(x)\ge 0$ trên $[0;\pi ]$, nên diện tích $S={\int }_0^{\pi }(\cos x+2x)\mathrm{d}x=\sin x+x^2{|}_0^{\pi }={\pi }^2$, phát biểu đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=\int \left(6x^2+\frac{2}{x}\right)dx=2x^3+2\ln x+C$ (với $x>0$). Điều kiện $F(1)=2+0+C=5$ nên $C=3$. Vậy $F(e)=2e^3+2\ln e+3=2e^3+5$. Khớp với đáp án A trong đề và bảng đáp án (Câu 3, mã đề 1204: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F^{\prime }(x)=2x$, nên $F(x)=x^2-3$ là một nguyên hàm của $f(x)=2x$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)=6x^2-4x+1$ là $\int f(x)\mathrm{d}x=2x^3-2x^2+x+C$. Do đó $F(x)=2x^3-2x^2+x+C_1$, $G(x)=2x^3-2x^2+x+C_2$. Từ $F(1)=1+C_1=5$ suy ra $C_1=4$; từ $G(0)=C_2=2$ suy ra $C_2=2$. a) Đúng theo công thức nguyên hàm. b) $G(1)=1+2=3\ne 5$ nên sai. c) $F(x)-G(x)=C_1-C_2=2\ne 3$ nên sai. d) $|F(x)-G(x)|=2$ với mọi $x$, diện tích $={\int }_1^{8}2\mathrm{d}x=2\cdot 7=14$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $(2x^3-2x^2+x{)}^{\prime }=6x^2-4x+1=f(x)$ nên $\int f(x)\mathrm{d}x=2x^3-2x^2+x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G(x)=2x^3-2x^2+x+C_2$ với $G(0)=C_2=2$, nên $G(1)=2-2+1+2=3\ne 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai nguyên hàm của cùng một hàm số sai khác một hằng số: $F(x)-G(x)=C_1-C_2=4-2=2\ne 3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;8]$, $|F(x)-G(x)|=2$ nên diện tích $={\int }_1^{8}2\mathrm{d}x=2(8-1)=14$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int x^{3}dx=\frac{x^4}{4}+C$ và $\int e^{x}dx=e^x+C$. Vậy $\int \left(x^3+e^x\right)dx=\frac{x^4}{4}+e^x+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left(\frac{x^4}{4}+e^x\right)}^{\prime }=x^3+e^x=f(x)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=2x-3\cos x$.
a) Đạo hàm của $y=x^2-3\sin x$ là $y^{\prime }=2x-3\cos x=f(x)$, nên $f(x)$ là một nguyên hàm của $y=x^2-3\sin x$. Đúng.
b) $\int f(x)dx=\int (2x-3\cos x)dx=x^2-3\sin x+C$, không phải $x^2+3\sin x+C$. Sai.
c) Nguyên hàm tổng quát $F(x)=x^2-3\sin x+C$. Điều kiện $F(\frac{\pi }{2})=\frac{{\pi }^2}{4}-3+C=3\Rightarrow C=6-\frac{{\pi }^2}{4}$. Vậy $F(x)=x^2-3\sin x+6-\frac{{\pi }^2}{4}$. Đúng.
d) $F(0)=0-0+6-\frac{{\pi }^2}{4}=6-\frac{{\pi }^2}{4}\ne 3-\frac{{\pi }^2}{4}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(x^2-3\sin x{)}^{\prime }=2x-3\cos x=f(x)$ nên $f(x)$ là nguyên hàm của $y=x^2-3\sin x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\int (2x-3\cos x)dx=x^2-3\sin x+C$, dấu trước $\sin x$ phải là trừ.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=x^2-3\sin x+C$; từ $F(\frac{\pi }{2})=\frac{{\pi }^2}{4}-3+C=3$ suy ra $C=6-\frac{{\pi }^2}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(0)=6-\frac{{\pi }^2}{4}$, không bằng $3-\frac{{\pi }^2}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \cos (3x)dx=\frac{1}{3}\sin (3x)+C$ vì ${\left(\frac{1}{3}\sin (3x)\right)}^{\prime }=\frac{1}{3}\cdot 3\cos (3x)=\cos (3x)$. Vậy đáp án C.