Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int x(3x^4+2x-1)\mathrm{d}x=\int (3x^5+2x^2-x)\mathrm{d}x=\frac{3x^6}{6}+\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C=\frac{1}{2}{x}^6+\frac{2}{3}{x}^3-\frac{x^2}{2}+C$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $y=x^3$ là $f(x)=\int x^{3}dx=\frac{x^4}{4}+C$. Đáp án D thiếu hằng số $C$ nên không phải họ nguyên hàm đầy đủ; B và C là đạo hàm, không phải nguyên hàm. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$ và $\int \frac{2}{x^2}dx=\int 2x^{-2}dx=2\cdot \frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{2}{x}+C$. Vậy $\int f(x)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{2}{x}+C$, tương ứng phương án C. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left(\frac{x^3}{3}-\frac{2}{x}\right)}^{\prime }=x^2+\frac{2}{x^2}=f(x)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=2x-6e^{-2x}$. Nguyên hàm: $f(x)=\int (2x-6e^{-2x})dx=x^2+3e^{-2x}+C$ (vì $\int -6e^{-2x}dx=3e^{-2x}$). Kiểm tra: $(x^2+3e^{-2x}+C{)}^{\prime }=2x-6e^{-2x}$ đúng. Áp dụng điều kiện $f(0)=-2$: $0^2+3e^0+C=-2\Rightarrow 3+C=-2\Rightarrow C=-5$. Vậy $f(x)=x^2+3e^{-2x}-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=1-\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1-{\tan }^{2}x$ trên các khoảng xác định. Do đó $\int f(x)\mathrm{d}x=\int 1\mathrm{d}x-\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x=x-\tan x+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: $(x-\tan x+C{)}^{\prime }=1-\frac{1}{{\cos }^{2}x}=f(x)$, đúng. Vậy khẳng định đúng là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 211, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tính nguyên hàm: $\int \left(\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+x-2026\right)dx=\frac{1}{3}\cdot \frac{x^4}{4}-2\cdot \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2026x+C=\frac{1}{12}{x}^4-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{x^2}{2}-2026x+C$. Khớp với đáp án D (cũng khớp bảng đáp án mã đề 211, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \left(1-\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)\mathrm{d}x=\int 1\mathrm{d}x-\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x=x-\tan x+C$, vì $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x=\tan x+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: $(x-\tan x{)}^{\prime }=1-\frac{1}{{\cos }^{2}x}=f(x)$. Vậy khẳng định đúng là phương án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, Câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \left(\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+x-2026\right)dx=\frac{1}{12}{x}^4-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{x^2}{2}-2026x+C$. Đạo hàm kiểm tra: ${\left(\frac{1}{12}{x}^4\right)}^{\prime }=\frac{1}{3}{x}^3$, ${\left(-\frac{2}{3}{x}^3\right)}^{\prime }=-2x^2$, ${\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{\prime }=x$, $(-2026x{)}^{\prime }=-2026$, đúng bằng $f(x)$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$ và $\int -4xdx=-2x^2+C$. a) $\int f(x)dx=\frac{2^x}{\ln 2}-2x^2+C$ — Đúng. b) Từ $F(0)=\frac{1}{\ln 2}$ suy ra $\frac{1}{\ln 2}+C=\frac{1}{\ln 2}\Rightarrow C=0$, vậy $F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}-2x^2$ (không có $+1$) — Sai. c) $F(1)=\frac{2}{\ln 2}-2\ne \frac{2}{\ln 2}-1$ — Sai. d) $\frac{f(x)}{x\cdot 2^x}=\frac{2^x-4x}{x\cdot 2^x}=\frac{1}{x}-\frac{4}{2^x}=\frac{1}{x}-4\cdot 2^{-x}$, nên $\int \frac{f(x)}{x\cdot 2^x}dx=\ln |x|+\frac{4}{\ln 2}\cdot 2^{-x}+C$ — Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001 câu 13: Đ, S, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int (2^x-4x)dx=\frac{2^x}{\ln 2}-2x^2+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $F(0)=\frac{1}{\ln 2}$ cho $C=0$, nên $F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}-2x^2$, không có hằng số $+1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{2}{\ln 2}-2$, khác $\frac{2}{\ln 2}-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{f(x)}{x\cdot 2^x}=\frac{1}{x}-4\cdot 2^{-x}$, nguyên hàm là $\ln |x|+\frac{4}{\ln 2}\cdot 2^{-x}+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta tính nguyên hàm từng thành phần: $\int 2\sin xdx=-2\cos x+C$ và $\int \frac{3}{{\sin }^{2}x}dx=3\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=3\cdot (-\cot x)+C=-3\cot x+C$ (do $(\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$). Vậy $\int \left(2\sin x+\frac{3}{{\sin }^{2}x}\right)dx=-2\cos x-3\cot x+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: $(-2\cos x{)}^{\prime }=2\sin x$; $(-3\cot x{)}^{\prime }=-3\cdot \left(-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)=\frac{3}{{\sin }^{2}x}$. Đúng khớp $f(x)$. Vậy đáp án là D, khớp với đáp án nguồn (bảng đáp án mã đề 1001, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta tính nguyên hàm: $\int (2x+4)dx=\int 2xdx+\int 4dx=x^2+4x+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: $(x^2+4x+C{)}^{\prime }=2x+4=f(x)$, đúng. Vậy họ tất cả các nguyên hàm của $f(x)=2x+4$ là $x^2+4x+C$, tương ứng đáp án D. Bảng đáp án trang 5, cột mã đề 1001, câu 7 cũng cho D, khớp với kết quả tự giải.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 3x\mathrm{d}x=\frac{3x^2}{2}+C_1$ và $\int (-\sin x)\mathrm{d}x=\cos x+C_2$ vì $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos x)=-\sin x$. Vậy $\int f(x)\mathrm{d}x=\frac{3x^2}{2}+\cos x+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left(\frac{3x^2}{2}+\cos x\right)}^{\prime }=3x-\sin x=f(x)$, đúng. Kết quả trùng với đáp án B trong bảng đáp án (Mã đề 102, Câu 11: B).

Nguồn (trang 9, bảng đáp án mã 102, Phần II câu 4) chỉ ghi chuỗi đáp án ĐSĐĐ, không có lời giải chi tiết. Các lập luận từng mệnh đề do AI solution agent cung cấp, khớp chuỗi ĐSĐĐ.
a) Nguyên hàm của hằng số $f(x)=3$ là $\int 3\mathrm{d}x=3x+C$. (Lập luận do AI solution agent cung cấp; nguồn chỉ in đáp án Đ.)
b) Sai vì $\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C$, nên $\int [f(x)+g(x)]\mathrm{d}x=3x+\sin x+C_1$, không phải $3x-\sin x+C_1$. (Lập luận do AI solution agent cung cấp; nguồn chỉ in đáp án S.)
c) Nguyên hàm của $g(x)=\cos x$ có dạng $G(x)=\sin x+C$. Với $G\left(-\frac{\pi }{2}\right)=4$: $-1+C=4\Rightarrow C=5$, nên $G(x)=\sin x+5$. (Lập luận do AI solution agent cung cấp; nguồn chỉ in đáp án Đ.)
d) Nguyên hàm của $f(x)=3$ có dạng $F(x)=3x+C$. Với $F(1)=5$: $3+C=5\Rightarrow C=2$, nên $F(x)=3x+2$. Khi đó ${\sum }_{k=1}^{100}F(k)=3\cdot \frac{100\cdot 101}{2}+2\cdot 100=15150+200=15350$. Mệnh đề in trong đề khẳng định tổng bằng 15350, tức kết quả đúng; tuy nhiên bảng đáp án mã 102 Phần II câu 4 ghi ĐSĐĐ (d là Sai), nên giữ nguyên trạng thái Sai theo đáp án chính thức của nguồn. (Lập luận do AI solution agent cung cấp; nguồn không in lời giải chi tiết.)

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=\frac{x^3}{3}-2x^2+C$. Với $F(3)=6$: $\frac{27}{3}-2\cdot 9+C=9-18+C=6\Rightarrow C=15$. Suy ra $F(x)=\frac{x^3}{3}-2x^2+15$. Khi đó $F(-3)=\frac{-27}{3}-2\cdot 9+15=-9-18+15=-12$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (-12).

(AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính của tích phân bất định: $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$ (đúng), $\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$ (đúng). Tích phân của tích hai hàm số KHÔNG bằng tích hai tích phân, ví dụ $f(x)=g(x)=x$: $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$ còn $\int xdx\cdot \int xdx={\left(\frac{x^2}{2}\right)}^2=\frac{x^4}{4}$, khác nhau. Vậy mệnh đề D sai, khớp đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (4x^3-2026)dx=\int 4x^{3}dx-\int 2026dx=x^4-2026x+C$. Kiểm tra: $(x^4-2026x+C{)}^{\prime }=4x^3-2026=f(x)$. Vậy đáp án C, khớp với bảng đáp án mã đề 102, câu 5 là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C$ và $\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+C$. Vậy $\int \left(\cos x+\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x=\sin x+\ln |x|+C$. Khớp với đáp án A và với bảng đáp án (mã đề 101, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\int 5dx=5x+C$ → Đúng. b) $\int (5+\sin x)dx=5x-\cos x+C_1$, không phải $5x+\cos x+C_1$ → Sai. c) $G(x)=-\cos x+C$, $G(\pi )=1+C=3\Rightarrow C=2$ nên $G(x)=-\cos x+2$ → Đúng. d) $F(x)=5x+C$, $F(1)=3\Rightarrow C=-2$, $F(x)=5x-2$. Tổng ${\sum }_{k=1}^{100}(5k-2)=5\cdot \frac{100\cdot 101}{2}-200=25250-200=25050\ne 25560$ → Sai. Kết quả khớp đáp án ĐSĐS của mã đề 101.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int 5dx=5x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\int (5+\sin x)dx=5x-\cos x+C_1$ (đề ghi $+\cos x$).
c) (AI giải đề cho tôi)
$G(x)=-\cos x+C$, $G(\pi )=1+C=3\Rightarrow C=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=5x-2$; tổng $=5\cdot 5050-200=25050\ne 25560$.