Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
F(x) là nguyên hàm của f(x)=x^2+6x nên $F(x)=\frac{x^3}{3}+3x^2+C$. Với $F(3)=27$: $\frac{27}{3}+27+C=27\Rightarrow 9+27+C=27\Rightarrow C=-9$. Vậy $F(x)=\frac{x^3}{3}+3x^2-9$. Do đó $F(-3)=\frac{-27}{3}+27-9=-9+27-9=9$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (9).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên $\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$ (mệnh đề C đúng). Khi đó ${\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)}^{\prime }=(F(x)+C{)}^{\prime }=F^{\prime }(x)=f(x)$, nên mệnh đề B và D đều đúng. Mệnh đề A sai vì đạo hàm của $F(x)+C$ là $f(x)$, không phải $f(x)+C$ (hằng số $C$ biến mất khi lấy đạo hàm). Vậy mệnh đề sai là A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (2x+1)dx=x^2+x+C$ vì $(x^2+x+C{)}^{\prime }=2x+1=f(x)$. Đáp án trùng với bảng đáp án mã đề 101, câu 8: A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int e^{x}dx=e^x+C$ và $\int 4x^{3}dx=x^4+C$. Vậy họ nguyên hàm của $f(x)=e^x+4x^3$ là $F(x)=e^x+x^4+C$. Kiểm tra: $F^{\prime }(x)=e^x+4x^3=f(x)$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 11, mã 1202: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) $I={\int }_2^3\left(x+1+\frac{1}{x-1}\right)dx={\left[\frac{x^2}{2}+x+\ln (x-1)\right]}_2^3=(4,5+3+\ln 2)-(2+2)=3,5+\ln 2$, chứa $\ln 2$ nên vô tỉ → Sai. b) $F^{\prime }(x)=x+1+\frac{1}{x-1}=f(x)$ trên $(1;+\infty )$ → Đúng. c) Trên $[2;3]$, $f(x)>0$ nên $S={\int }_2^{3}f(x)dx=3,5+\ln 2$ → Đúng. d) Trên $[2;3]$ ta có $f(x)\ge f(2)=4$ (vì $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ với $x>2$), nên $V=\pi {\int }_2^3{f}^2(x)dx\ge \pi \cdot 16\cdot 1=16\pi \approx 50,27>25$ → Đúng. Kết quả: S, Đ, Đ, Đ, khớp bảng đáp án mã đề 1202 (SDDD).
a) (AI giải đề cho tôi)
$I=3,5+\ln 2$ là số vô tỉ vì chứa $\ln 2$, không phải số hữu tỉ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=x+1+\frac{1}{x-1}=f(x)$ trên $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)>0$ trên $[2;3]$ nên $S={\int }_2^{3}f(x)dx=3,5+\ln 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f$ tăng trên $[2;3]$, $f(x)\ge 4$ nên $V=\pi {\int }_2^3{f}^2(x)dx\ge 16\pi \approx 50,27>25$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A đúng vì $(\sin x+C{)}^{\prime }=\cos x$; B đúng vì $(e^x+C{)}^{\prime }=e^x$; C sai vì $(\cos x+C{)}^{\prime }=-\sin x$, do đó $\int \sin xdx=-\cos x+C$ chứ không phải $\cos x+C$; D đúng vì $(\ln |x+1|+C{)}^{\prime }=\frac{1}{x+1}$ với $x\ne -1$. Vậy khẳng định sai là C, trùng với đáp án nguồn (mã 1202, Câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ thì $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$, do đó họ tất cả các nguyên hàm của $f(x)$ là $\int f(x)dx=F(x)+C$. Kiểm tra các phương án: A sai vì $F(x)=f^{\prime }(x)$ không đúng (quan hệ đúng là $F^{\prime }(x)=f(x)$); B sai vì $\int F(x)dx\ne f(x)+C$ nói chung; D sai vì $f^{\prime }(x)=F(x)$ đảo ngược quan hệ đạo hàm. Vậy mệnh đề đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã 1202, Câu 7 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \cos xdx=\sin x$ và $\int 6xdx=3x^2$. Vậy họ nguyên hàm là $F(x)=\sin x+3x^2+C$, khớp đáp án D (đồng ý với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A đúng vì đạo hàm của hằng số bằng 0. C đúng vì $(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$. D đúng vì $(x+C{)}^{\prime }=1$. Xét B: $\int \sin (-x)dx=\int -\sin xdx=\cos x+C$, trong khi khẳng định đưa ra là $-\cos x+C$ (đạo hàm của $-\cos x$ là $\sin x$, không bằng $\sin (-x)=-\sin x$). Vậy khẳng định B sai, khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là nguyên hàm của gia tốc: $v(t)=\int (3t^2+t)dt=t^3+\frac{t^2}{2}+C$. Với $v(0)=2$ suy ra $C=2$, nên $v(t)=t^3+\frac{t^2}{2}+2$. Tại $t=2$: $v(2)=8+2+2=12$ (m/s). Kết quả khớp với đáp án nguồn (12).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng K khi và chỉ khi $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Do đó mệnh đề đúng là B. Các phương án A, D sai vì viết ngược quan hệ giữa $F$ và $f$; phương án C sai vì $f^{\prime }(x)$ không bằng $F(x)$ nói chung. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1201 (Câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức nguyên hàm $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ với $n=3$, ta có $\int x^{3}dx=\frac{x^4}{4}+C$. Kiểm tra: ${\left(\frac{x^4}{4}\right)}^{\prime }=x^3$, đúng. Đáp án khớp với bảng đáp án nguồn (đề 1002, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=-\cos x+x^2+C$. Với $F(0)=-1+C=3\Rightarrow C=4$. Suy ra $F(\pi )=-\cos \pi +{\pi }^2+4=1+{\pi }^2+4={\pi }^2+5\approx 9,8696+5=14,8696\approx 14,9$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 14,9.

Ta có $\int \left(x^6-\frac{1}{x}+e^x\right)dx=\frac{x^7}{7}-\ln |x|+e^x+C$ — mỗi ý 0.25đ

(AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính của nguyên hàm: nguyên hàm của tổng (A) và hiệu (D) bằng tổng/hiệu các nguyên hàm; $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$ với $k$ hằng số khác 0 (B) đều đúng. Khẳng định C sai vì nguyên hàm của thương không bằng thương các nguyên hàm. Ví dụ với $f(x)=x^2$, $g(x)=x$ ($x\ne 0$): $\int \frac{x^2}{x}dx=\int xdx=\frac{x^2}{2}+C$, trong khi $\frac{\int x^{2}dx}{\int xdx}=\frac{x^3/3}{x^2/2}=\frac{2x}{3}$, hai kết quả khác nhau. Vậy khẳng định sai là C, trùng đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$ khi và chỉ khi $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Do đó đáp án đúng là C. Khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$ nghĩa là $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Do đó đáp án đúng là A, trùng với đáp án nguồn (Đề 1001, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân của một tích hàm số không bằng tích các tích phân. Ví dụ với $f(x)=g(x)=x$ thì $\int x^2\mathrm{d}x=\frac{x^3}{3}+C$, còn $\int x\mathrm{d}x\cdot \int x\mathrm{d}x={\left(\frac{x^2}{2}\right)}^2=\frac{x^4}{4}+C$, hai kết quả khác nhau nên khẳng định C sai. Các khẳng định A, B (tính tuyến tính của tích phân) và D (đưa hằng số ra ngoài) đều đúng theo tính chất nguyên hàm. Đáp án khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=\int (\cos x+2x)dx=\sin x+x^2+C$. Với $F(0)=3$ thì $C=3$, nên $F(x)=\sin x+x^2+3$. Do đó $F(\pi )=\sin \pi +{\pi }^2+3\approx 0+9.8696+3=12.8696\approx 12.9$, khớp với đáp án nguồn.

$$\int \left(e^x+\frac{1}{x}+x^2\right)dx=e^x+\ln |x|+\frac{x^3}{3}+C$$ — mỗi ý 0.25đ