Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức nguyên hàm $\int x^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ với $n=5$, ta có $\int x^5\mathrm{d}x=\frac{x^6}{6}+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $\frac{x^6}{6}$ là $x^5$, đúng. Kết quả khớp đáp án D (bảng đáp án mã đề 1001, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=3x^2-e^x$.
a) $F(x)=x^3-e^x+2026$ có $F^{\prime }(x)=3x^2-e^x=f(x)$, nên $F$ là một nguyên hàm của $f$. Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=6x-e^x=g(x)$, tức $f$ là một nguyên hàm của $g$. Đúng.
c) Theo công thức Newton–Leibniz, ${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(0)$. Đúng.
d) ${\int }_0^{1}f(x)dx={\left[x^3-e^x\right]}_0^1=(1-e)-(0-1)=2-e\ne 1-e$. Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn ĐĐĐS (mã đề 1212).
a) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=3x^2-e^x=f(x)$ nên $F$ là một nguyên hàm của $f$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=6x-e^x=g(x)$, do đó $f$ là một nguyên hàm của $g$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo Newton–Leibniz: ${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^1(3x^2-e^x)dx={\left[x^3-e^x\right]}_0^1=2-e\ne 1-e$.

$\int \cos xdx=\sin x+C$ — 1đ

(AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính của tích phân bất định: $\int [f(x)\pm g(x)]\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x\pm \int g(x)\mathrm{d}x$ và $\int kf(x)\mathrm{d}x=k\int f(x)\mathrm{d}x$ (với $k\ne 0$) đều đúng, nên A, B, C đúng. Không có tính chất nào cho tích phân của thương hai hàm dưới dạng thương của các tích phân. Ví dụ với $f(x)=x$, $g(x)=1$: vế trái $\int x\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}+C$, vế phải $\frac{\int x\mathrm{d}x}{\int 1\mathrm{d}x}=\frac{x^2/2}{x}=\frac{x}{2}$, không bằng nhau. Vậy khẳng định D sai, khớp đáp án nguồn (mã đề 1212, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức nguyên hàm cơ bản $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ với $a>0,a\ne 1$, ta có $\int 3^{x}dx=\frac{3^x}{\ln 3}+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $\frac{3^x}{\ln 3}$ là $\frac{3^x\ln 3}{\ln 3}=3^x$, đúng. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1212 (câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$ khi và chỉ khi $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Do đó mệnh đề đúng là A. Bảng đáp án của đề 1212 cũng cho câu 6 là A, khớp với kết quả.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=2x-e^x$.
a) $F^{\prime }(x)=2x-e^x+2026^{\prime }=2x-e^x=f(x)$, nên $F(x)=x^2-e^x+2026$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=2-e^x=g(x)$, nên $f(x)$ là một nguyên hàm của $g(x)$. Đúng.
c) Theo công thức Newton-Leibniz, ${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(0)$, còn đề phát biểu $f(0)-f(1)$. Sai.
d) ${\int }_0^1(2x-e^x)dx={\left[x^2-e^x\right]}_0^1=(1-e)-(0-1)=2-e$. Đúng.
Đối chiếu đáp án mã đề 1211: Đ Đ S Đ — khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=2x-e^x=f(x)$ nên $F$ là một nguyên hàm của $f$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=2-e^x=g(x)$ nên $f$ là một nguyên hàm của $g$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(0)$, không phải $f(0)-f(1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^1(2x-e^x)dx=[x^2-e^x{]}_0^1=2-e$.

$\int \sin xdx=-\cos x+C$ (1đ)

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân của tích hai hàm số không bằng tích hai tích phân. Ví dụ với $f(x)=g(x)=x$ thì $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$ còn $\int xdx\cdot \int xdx=\left(\frac{x^2}{2}+C\right)\left(\frac{x^2}{2}+C\right)$, hai kết quả khác nhau nên khẳng định A sai. Các khẳng định B, C, D đều là các tính chất đúng của nguyên hàm (đạo hàm của $f(x)+C$ là $f^{\prime }(x)$; tính tuyến tính của tích phân theo tổng và hiệu). Đáp án khớp với mã đề 1211: Câu 4 = A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ nên $F^{\prime }(x)=f(x)$ và $\int f(x)dx=F(x)+C$ (C, D đúng). Đồng thời $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C$ (A đúng). Mệnh đề B khẳng định $f^{\prime }(x)=F(x)$ là sai vì quan hệ đúng là $F^{\prime }(x)=f(x)$, không phải ngược lại. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức nguyên hàm hàm mũ $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ với $a>0,a\ne 1$. Với $a=2$: $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $\frac{2^x}{\ln 2}$ là $\frac{2^x\ln 2}{\ln 2}=2^x$, đúng. A sai vì mẫu là $\ln x$; B sai vì thiếu phép chia cho $\ln 2$; D sai vì đó là công thức của $\int x^{n}dx$. Bảng đáp án mã đề 1211, câu 8: C, khớp với kết quả.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (2x+4)dx=\int 2xdx+\int 4dx=x^2+4x+C$. Kiểm tra: $(x^2+4x+C{)}^{\prime }=2x+4=f(x)$ đúng. Vậy họ nguyên hàm là $x^2+4x+C$, tương ứng đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1122, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (2x+4)dx=x^2+4x+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $x^2+4x+C$ là $2x+4=f(x)$. Đáp án khớp với mã đề 1121, câu 6: A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức nguyên hàm $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ với $n=2026$, ta có $\int x^{2026}dx=\frac{x^{2027}}{2027}+C$. Vậy họ các nguyên hàm của $f(x)=x^{2026}$ là $\frac{x^{2027}}{2027}+C$, khớp với đáp án C (bảng đáp án mã đề 1202, câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F^{\prime }(x)=(3\cos x-2x{)}^{\prime }=-3\sin x-2$. Vậy $F(x)=3\cos x-2x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=-3\sin x-2$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: $\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$ với $F^{\prime }(x)=f(x)$, tức là nguyên hàm của $f(x)$ chứ không phải $f(x)+C$. Do đó mệnh đề A sai. Các mệnh đề B, C, D đều là các tính chất đúng của phép lấy nguyên hàm (tuyến tính): nguyên hàm của tổng/hiệu bằng tổng/hiệu các nguyên hàm, và hằng số $k\ne 0$ có thể đưa ra ngoài. Vậy mệnh đề sai là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F^{\prime }(x)=(3\cos x-2x{)}^{\prime }=-3\sin x-2$. Vậy $F(x)=3\cos x-2x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=-3\sin x-2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức nguyên hàm $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (với $n\ne -1$), áp dụng cho $n=2026$ ta được $\int x^{2026}dx=\frac{x^{2026+1}}{2026+1}+C=\frac{x^{2027}}{2027}+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left(\frac{x^{2027}}{2027}\right)}^{\prime }=\frac{2027x^{2026}}{2027}=x^{2026}=f(x)$. Kết quả trùng với bảng đáp án mã đề 1201, câu 4: A.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)$ là $F(x)+C$ với $F^{\prime }(x)=f(x)$, chứ không phải $f(x)+C$. Do đó mệnh đề A sai. Các mệnh đề B, C, D đều là các tính chất đúng của tích phân (tuyến tính). Đáp án khớp với mã đề 1201: A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int f(x)dx=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$ (trên từng khoảng của $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, hằng số $C$ có thể khác nhau trên $(0;+\infty )$ và $(-\infty ;0)$).

a) Sai: nguyên hàm đúng là $\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$, không phải $3+x-2\ln |x|+C$ (thiếu hệ số $\frac{3x^2}{2}$).

b) Sai: với $F(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$ và $F(3)=15$ thì $\frac{27}{2}+3-2\ln 3+C=15\Rightarrow C=15-\frac{33}{2}+2\ln 3$, nên $F(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+15-\frac{33}{2}+2\ln 3$, khác biểu thức đã cho (thay $x=3$ vào biểu thức đã cho không cho $15$).

c) Đúng: ${\int }_1^{2}f(x)dx=\left(\frac{3x^2}{2}+x-2\ln x\right){|}_1^2=(6+2-2\ln 2)-\left(\frac{3}{2}+1\right)=\frac{11}{2}-2\ln 2$.

d) Đúng: Vì $G$ là nguyên hàm trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, viết $G(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C_1$ với $x>0$ và $G(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C_2$ với $x<0$. Từ $G(2)=1$: $8-2\ln 2+C_1=1\Rightarrow C_1=-7+2\ln 2$. Từ $G(5)+G(-5)=10$: $\left(\frac{75}{2}+5-2\ln 5+C_1\right)+\left(\frac{75}{2}-5-2\ln 5+C_2\right)=75-4\ln 5+C_1+C_2=10\Rightarrow C_2=-58+4\ln 5-2\ln 2$. Khi đó $G(-10)=150-10-2\ln 10+C_2=140-2\ln 2-2\ln 5-58+4\ln 5-2\ln 2=82+2\ln 5-4\ln 2$. Vậy $a=-4,b=2,c=82\Rightarrow a+b+c=80$. Khớp với đáp án nguồn (S, S, Đ, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$, không phải $3+x-2\ln |x|+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $F(3)=15$ suy ra $C=15-\frac{33}{2}+2\ln 3$, nên biểu thức $F(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+15$ đã cho không thỏa $F(3)=15$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2\left(3x+1-\frac{2}{x}\right)dx={\left[\frac{3x^2}{2}+x-2\ln x\right]}_1^2=8-2\ln 2-\frac{5}{2}=\frac{11}{2}-2\ln 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hằng số nguyên hàm khác nhau trên hai khoảng $x>0$ và $x<0$: $C_1=-7+2\ln 2$ (từ $G(2)=1$), $C_2=-58+4\ln 5-2\ln 2$ (từ $G(5)+G(-5)=10$). Suy ra $G(-10)=82+2\ln 5-4\ln 2$, tức $a=-4,b=2,c=82$, vậy $a+b+c=80$.